Le trou noir

Piste bleue Le 1er avril 2009  - Ecrit par  Thierry Barbot Voir les commentaires (5)

L’objet du mois est cette fois-ci une entité bien réelle, à la fréquentation notoirement dangereuse : le trou noir. Véritable colosse du cosmos, il bouleverse par sa simple présence tout son environnement. Mais quelle est sa nature ... mathématique ?

De nos jours, bien rares sont ceux qui ne connaissent pas cette fabuleuse entité galactique, si bien médiatisée, appelée trou noir. Terrible prédateur du cosmos, il a une puissance phénoménale qui lui permet de déchiqueter tout astre imprudent folâtrant trop près. Nous invitons toute âme sensible à éviter le spectacle épouvantable présenté dans le film suivant :

(crédit animation : ESA)

(qu’on se rassure, il s’agit d’une reconstitution fictive, aucun objet céleste n’a été malmené pour les besoins de cette séquence).

La définition même d’un trou noir est d’être une région de l’espace dont la lumière elle-même, aussi véloce soit-elle, ne peut s’échapper. Aucun rayon lumineux ne peut donc nous parvenir de cette zone, qui nous reste opaque.

Ce fabuleux pouvoir attractif ne se limite pas bien sûr à la lumière.
Dans le dessin suivant [1], sont représentés un trou noir, en haut à gauche, et une étoile à neutron, en bas à droite. Chacun de ces astres est dessiné enrobé du gaz d’une (défunte !) étoile compagnon [2]. L’accumulation des gaz sur la surface de l’étoile à neutron produit un phénomène de brillance, alors que dans le cas du trou noir, cette concentration et l’effet lumineux associé nous restent cachés.

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Trou noir / étoile à neutron
Credit : NASA/CXC/M.Weiss

Des précurseurs

Il a fallu quelque temps pour que l’humanité puisse concevoir cet « inconcevable ».
Il y eut des prémisses poétiques de cette idée tragique, mais pour qu’elle puisse parvenir au statut de réalité possible, il a d’abord fallu mettre sur pied une théorie de la gravitation ; en l’occurence, la loi de la gravitation universelle de Newton. Celle-ci, comme chacun sait, stipule que tout corps massif exerce une force d’attraction proportionnelle à sa masse. En particulier, selon cette théorie, il imprime à toute particule une accélération dirigée vers le corps massif lui-même, et peut ainsi, au moins de manière théorique, produire l’effet « trou noir ». Il est remarquable qu’un peu plus d’un siècle après l’introduction de la loi de l’attraction universelle, on soit parvenu à formuler cette étonnante possibilité théorique, sans qu’aucune observation astronomique (à l’époque) ne puisse la corroborer :

Il existe donc dans les espaces célestes, des corps obscurs aussi considérables, et peut-être en aussi grand nombre, que les étoiles. Un astre lumineux de même densité que la terre, dont le diamètre serait deux cent cinquante fois plus grand que celui du soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ; il est donc possible que les plus grands corps lumineux de l’univers soient par là-même invisibles.

Pierre Simon de Laplace, 1796. [3]

Il est frappant que Laplace ait eu cette vision précoce sur laquelle aujourd’hui s’accordent la très grande majorité des astrophysiciens : notre univers est véritablement grêlé de trous noirs, et très vraisemblablement, toutes les galaxies renferment en leur cœur des trous noirs supermassifs.

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Un trou noir au centre de la galaxie M81
Credit : X-ray : NASA/CXC/Wisconsin/D.Pooley & CfA/A.Zezas ; Optical : NASA/ESA/CfA/A.Zezas ; UV : NASA/JPL-Caltech/CfA/J.Huchra et al. ; IR : NASA/JPL-Caltech/CfA

La relativité générale

Cependant, la certitude qu’un tel phénomène astronomique puisse réellement se produire n’a pu prendre de l’ampleur qu’avec l’émergence et la confirmation de la validité de la relativité générale.

Avant tout chose, pour bien saisir ce qui va suivre, il convient de mettre en avant une des révolutions conceptuelles qu’Einstein a introduit dans notre perception de l’univers. Avant lui, ainsi qu’aujourd’hui encore pour la plupart de nos contemporains, l’univers physique était considéré comme un substrat immuable, un contenant à trois dimensions correspondant à l’image intuitive que l’on se fait : celle de l’espace euclidien, exploré mathématiquement et axiomatisé par les grecs.

Il n’y a pas lieu
ici d’expliquer l’espace euclidien : soit vous connaissez déjà suffisament de géométrie pour savoir ce qu’est une géométrie non-euclidienne (et donc l’euclidienne), soit vous l’ignorez : dans ce deuxième cas, l’espace euclidien correspond exactement à l’image intuitive que vous vous faites de l’espace. Se défaire de cette intuition géométrique est un long exercice de pensée, et notre propos n’est pas ici d’initier ce long chemin. Nous nous contenterons tout au plus de préciser ici qu’un espace géométrique se décrit comme un lieu où tout chemin a une certaine longueur, et que la distance entre deux positions de cet espace est la longueur du plus petit chemin reliant ces deux positions. Dans l’espace euclidien, ce plus court chemin est la ligne droite, mais tout mathématicien aguerri connaît ou imagine facilement d’autres formes d’espace où le plus court chemin n’est plus la ligne droite. À vrai dire, tout un chacun ayant l’expérience d’une promenade dans les montagnes ou tout autre lieu escarpé a une perception intuitive de cette notion.

Toujours est-il que le principe même de la relativité générale est de destituer la géométrie euclidienne de sa tyrannie conceptuelle : non, la géométrie de l’univers n’est pas euclidienne. Elle est plus complexe, et dépend profondément de la matière même qu’elle contient. La force gravitationelle elle-même est entièrement due à la forme de l’espace : elle est traduite par le fait que tout corps, s’il n’est pas soumis à d’autres forces que la force gravitationnelle, se déplace en suivant le chemin le plus court. Par ailleurs, lui-même, par sa simple présence, déforme l’espace. Ce lien entre forme de l’espace et matière est le propos même des équations d’Einstein [4]. Lorsque les masses et les vitesses en jeu sont faibles (de l’ordre de celles du soleil par exemple), la mécanique Newtonienne est une excellente approximation de la relativité générale. Mais lorsque les masses en jeu sont plus importantes, elle devient tout simplement erronée.

Les trous noirs en relativité générale

L’histoire est assez fabuleuse : A. Einstein venait à peine de formuler sa théorie qu’un jeune astrophysicien allemand, Karl Schwarzschild, bien qu’engagé sur le front russe en tant qu’artilleur, en prit connaissance dans l’édition de 25 novembre 1915 des Comptes rendus de l’Académie de Prusse, et trouva une solution absolument remarquable de l’équation d’Einstein dans le vide. Cette solution, qui depuis porte son nom, est la seule qui admette une symétrie de révolution complète (Théorème de Birkhoff) et correspond donc à l’idée qu’on peut se faire d’un astre isolé, ou, plus précisément, de la géométrie du vide autour de l’astre.

Une particularité déconcertante de cette solution est la présence d’une singularité : l’espace s’arrête tout simplement brutalement, à une distance finie.
Un voyageur, allant à une vitesse constante, peut se retrouver en un temps fini... au bout de l’espace ! Un esprit non préparé peut trouver l’idée tout simplement absurde et inacceptable. Essentiellement sans doute parce qu’elle reste presque impossible à formuler si on se cantonne dans la perception géométrique euclidienne banale [5]. Mais cette absurdité peut être escamotée en considérant que cette singularité n’est qu’un artifice mathématique qui n’a pas de sens physique : elle se situe géométriquement au centre du modèle, là où est sensé se situer le corps céleste. Ainsi, il n’est pas logiquement valide d’y appliquer l’équation d’Einstein qui dans le cadre considéré suppose l’absence de matière.

Toujours est-il qu’on remarque dans la solution de Schwarzschild une zone particulière, ceinturée par une enveloppe immatérielle appelée horizon des événements, de laquelle nulle matière ni rayon lumineux ne peut s’échapper... la distance de cet horizon à la singularité centrale est appelée rayon de Schwarzschild. Un trou noir n’est alors rien d’autre qu’un corps céleste suffisamment dense et petit pour être entièrement contenu en deçà de son horizon, en d’autres termes, dont le rayon est inférieur au rayon de Schwarzschild. L’horizon des événements est ainsi le lieu limite à partir duquel un navire spatial en détresse deviendra invisible à tous nos instruments de mesure.

Mais l’histoire ne s’arrête pas là ! Entretemps, en 1960, Kruskal et Szekeres ont découvert que la singularité de Schwarzschild n’en était pas véritablement une, et ne provenait que d’un mauvais choix de l’écriture de la solution, c’est-à-dire, de la manière de paramétrer avec trois nombres les trois dimensions de l’espace. Comme le poète s’évadant d’une vision trop étriquée de l’existence pour investir un nouveau monde de sentiments et de pensées, Kruskal et Szekeres ont montré qu’il existait un espace-temps plus vaste que celui de Schwarzschild, et où la singularité de Schwarzschild s’évanouit, montrant qu’elle n’était due qu’à un défaut d’imagination.

Mais le problème n’est que repoussé : un voyageur peut là encore atteindre l’extrémité de l’espace de Kruskal et Szekeres en un temps fini. Mais d’une part, cette incongruité reste invisible aux observateurs pantoufflant bien à l’écart. Et par ailleurs, il ne s’agit pas cette fois d’une singularité de l’espace, mais plutôt ... une singularité du temps !

De l’espace et du temps

Je vois le lecteur froncer le sourcil et protester contre un manque certain d’explication. Nous voilà lancés dans une fuite en avant, où chaque nouvelle notion sensée expliquer l’aberration précédente se révèle encore plus délirante !

La difficulté est double [6] qui prend à bras le corps le défi d’expliquer la notion de courbure en géométrie, ainsi que quelques aspects du temps relativiste.]] : d’une part, il faut acquérir un langage mathématique suffisant pour disserter sur la géométrie en tant que telle et échapper au diktat de la vision géométrique empirique employée par chacun de nous dans sa quête de pitance quotidienne. Ensuite, il faut se pénétrer d’un des concepts fondamentaux de la relativité (générale ou restreinte), sans lequel on ne peut comprendre l’espace de Kruskal-Szekeres : le temps et l’espace sont intimement liés. La différence de nature que nous percevons intuitivement entre eux n’apparaît pas dans les équations de la relativité, qui les entremêlent sur un pied d’égalité. On peut néanmoins dans ce cadre discerner une dimension temporelle des choses, et une autre spatiale, mais cette différence s’énonce de manière bien plus subtile que celle latente dans notre inconscient collectif.

Dans le cadre de la relativité générale, il n’existe plus de paramètre de temps universel, une sorte d’horloge cosmique dont chaque bip signale la simultanéité
des événements. Prenons deux événements au hasard : l’explosion d’une supernova (on appellera cet événement A), et la naissance d’un prophète (on l’appellera B). On remarquera que ces événements se caractérisent non seulement par le lieu où ils se se produisent, mais aussi par leur date : de manière plus adéquate (puisqu’il est question ici de dire que la notion de « date » n’est pas aussi claire qu’on peut le penser au premier abord !) ce sont des points de l’espace-temps.

Si A et B sont suffisament éloignés, il se peut que certains observateurs percoivent A comme antérieur à B, et que d’autres observateurs perçoivent le contraire ! L’aspect essentiel de notre notion intuitive de l’écoulement du temps qui perdure dans le cadre de la relativité est la notion de causalité. Il ne s’agit pas, comme pourrait le faire penser le choix des mots, de la relation entre cause et effet, mais du fait que s’il existe une particule matérielle pouvant se déplacer au sein de l’espace-temps de A vers B
(c’est-à-dire, à une vitesse au plus égale à celle de la lumière), alors tout observateur quel qu’il soit (mieux : où et quand il soit) percevra A avant B
 [7].

Et pourtant, il tourne !

Les espaces de Schwarzschild et de Kruskal-Szekeres - le second n’étant qu’une extension du premier - correspondent à des corps célestes idéaux sans mouvement de rotation sur eux même. Si maintenant on cherche des solutions de l’équation d’Einstein dans le vide mais correspondant à des corps célestes tournant sur eux-mêmes, on obtient la fameuse solution dite de Kerr.

Le dessin ci-dessous reproduit la structure causale de cet espace-temps :

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Structure causale de l’espace de Kerr
crédit : alpheccar

Cette figure a été extraite, avec autorisation de l’auteur, du blog suivant que nous invitons à aller visiter : on trouvera notamment des explications plus détaillées que celles ébauchées ici, ainsi qu’une applet proposant un petit voyage aventureux dans un espace de Kruskal-Szekeres.

On distingue dans le dessin des zones I tout à fait semblables à l’extérieur de l’horizon des événements d’un espace de Schwarzschild, c’est-à-dire, de notre brave espace-temps aux péripéties restant dans le cadre du raisonnable. Ces deux zones sont adjacentes à une zone III - justement, le long de l’horizon des événements - dans laquelle un aventurier ne peut pénétrer sans dire adieu à ses amis restés frileusement dans I. De là, où peut-il aller ? Si les circonstances lui permettent de garder son intégrité physique, il pourra passer par les zones IV, puis III’ [8]. Une fois en III’, il pourra traverser la frontière invisible pour se retrouver dans la zone I’, tout à fait similaire à son point de départ, à ceci près que la rotation de l’espace-temps est inversée. Si la zone III peut être pensée comme un trou noir - une fois la frontière franchie, on ne peut revenir en arrière (quoique...) - la zone III’ est elle une « fontaine blanche » : toute particule, pour peu qu’elle perdure suffisament longtemps, est vouée à quitter III’ pour émerger en I’, et sans pouvoir y retourner.

Il s’agit très précisément de l’espace-temps modèle source de la notion d’univers parallèles chère à la science-fiction : notre Ulysse spatio-temporel, indifférent aux charmes de I’ peut poursuivre son périple, franchir un nouvel horizon des événements et pénétrer dans II’, traverser des zones IV’ tout aussi étranges que IV pour réémerger dans un nouvel univers parallèle. Et on peut ainsi concevoir une suite sans fin de tels univers, ou bien - qui sait ? - se renfermant sur lui-même : rien n’interdit de penser qu’après un nombre fini de péripéties notre voyageur puisse retrouver son Ithaque natale et narrer à ses amis ses aventures spatio-temporelles.

On voit ainsi dans cet exemple que contrairement à la première idée qu’on peut s’en faire et reprise au début de ce texte, un trou noir n’est pas nécessairement un corps céleste suffisament dense et massif, mais peut être seulement dû à une conformation de l’espace-temps, sans qu’il soit nécessaire de mettre en jeu la présence d’une matière dense et concentrée. Il ne s’agit alors que d’un sas opaque vers d’autres lieux de l’espace-temps.

Toute cette description est bien sûr théorique, et de plus échappe à toute expérimentation - il n’y a pas moyen d’enquêter sur ce qui existe au-delà de l’horizon, puis en revenir pour faire son rapport ! De toute manière, les forces physiques en jeu au voisinage des trous noirs sont redoutablement hostiles et ne permettent guère de s’en approcher de manière sereine.

Et les mathématiques dans tout ça ?

Beaucoup de mathématiciens s’intéressent à la relativité générale, mais bien souvent dans un cadre excluant les scénarii un peu fantastiques dépeints ici.
Ils se cantonnent alors dans un cas où un temps global existe bien - mais qui diffère du temps propre de chaque observateur présent dans l’espace-temps. La forme de l’espace est alors immuable, seule varie avec le temps sa géométrie. Le problème est alors de comprendre comment cette géométrie varie avec le temps, pour peu que les équations d’Einstein soient satisfaites.

Cependant, un des grands défis de la science moderne est de trouver une formulation de la relativité générale compatible avec la physique quantique. Il s’agit d’une véritable quadrature du cercle - espérons qu’elle ne connaîtra pas le même destin que ce dernier problème, à l’impossibilité avérée ! Toujours est-il que l’étude des « pathologies cosmiques » décrites ci-dessus prennent un intérêt, devenant autant d’indices sur ce que doit satisfaire la formulation que l’on cherche à « quantifier ».

Un exemple particulièrement intéressant est le dernier-né de la petite famille des trous noirs : les trous noirs BTZ. [9] Ils présentent une structure causale tout à fait similaire à celle de l’espace de Kerr. Mais par ailleurs, ils sont de dimension 3 : deux dimensions d’espace et une dimension temporelle. Dans cette basse dimension, que d’aucuns trouveront un tantinet irréaliste, l’équation d’Einstein dans le vide se simplifie considérablement : elle revient à exprimer que l’espace-temps est localement homogène, en d’autres termes, réduit la relativité générale à la relativité restreinte, dont l’analyse mathématique est beaucoup plus aisée à mener. On entrevoit alors de quelle manière la quantification peut être menée dans ce cadre simplifié...

Mais là ne se résume pas pour un mathématicien l’intérêt des trous noirs. La relativité introduit de nouveaux concepts purement géométriques. Depuis les temps immémoriaux, les géomètres envisagent leur sujet de prédilection d’une manière « statique », qu’on peut qualifier de Newtonienne ; excluant la dimension temporelle. Typiquement, un triangle dans le plan est pensé comme éternel, ou plus exactement, en dehors du temps. Or, bien des objets mathématiques traditionnels admettent une dimension relativiste inexplorée qui recèle pourtant de précieuses informations sur eux-même. De même que les nombres complexes et p-adiques ont permis de mieux comprendre les nombres réels prosaïques, les idées et concepts relativistes [10] ouvrent un vaste monde encore à découvrir pour l’essentiel.

Article édité par Étienne Ghys

Notes

[1Extrait comme la plupart des autres images de ce texte, du site de l’observatoire de Chandra.

[2Si le trou noir est le tyranosaurus rex du cosmos, l’étoile à neutron n’est guère moins fréquentable !

[3Cette citation est empruntée au livre « Les trous noirs », par Jean-Pierre Luminet.

[4La formule bien connue $E=mc^2$, même si elle traduit une égalité frappante et étonnante entre masse et énergie, n’est qu’un aspect bien partiel des véritables équations d’Einstein !

[5Il est utile de relever sur ce point que Schwarzschild avait étudié les travaux de Poincaré, et aussi défendu l’idée que la géométrie de l’univers soit non-euclidienne.

[6Et ce n’est pas en quelques lignes que nous pourrons traiter cette double difficulté ! J’invite le lecteur intéressé, mais pas spécialement motivé pour s’attaquer à un livre scientifique, la BD de Jean-Pierre Petit. Les plus ambitieux peuvent se reporter à l’excellent livre L’univers élégant de Brian Greene. Enfin, les plus motivés peuvent s’engager dans des études de longue haleine en physique et/ou en mathématiques !

[7Il convient sans doute d’apporter quelques commentaires supplémentaires à notre exemple d’inspiration biblique. La proximité relative à l’échelle galactique entre les rois mages et le lieu de la naissance du prophète laisse à penser que, puisque certains photons issus de l’explosion de la supernova atteignent leurs rétines, d’autres photons issus du même phénomène céleste atteignent l’auréole du nouveau né, et donc, qu’il y a antériorité causale entre A et B.
Ainsi, la précision divine ne consiste pas en une simultanéité entre A et B - qui est fausse de tout point de vue - mais dans le fait que l’arrivée des photons sur la terre coincide avec la naissance, ce qui est tout aussi miraculeux.

[8Il pourra au passage admirer à la jonction de ces zones une « singularité paradoxale » fascinante : un lieu de l’espace-temps où une particule peut tourner en boucle, revenant périodiquement au même point de l’espace et du temps.

[9Ainsi dénommés selon les initiales de leurs géniteurs : Bañados, Teitelboim, Zanelli.

[10Je ne peux m’empêcher, même si cela reste discutable, de voir l’idée de R. Hamilton qui a abouti à la preuve spectaculaire de la conjecture de Poincaré comme un concept à la forte saveur relativiste, dans la mesure où il s’agit de considérer l’évolution d’une géométrie au cours du temps. Du reste, il n’est pas interdit de penser que l’évolution d’une géométrie selon les équations d’Einstein régularise elle aussi, tout comme le flot de Ricci, et que son étude amène à une nouvelle preuve de cette conjecture. Cette démarche a d’ailleurs été tentée par certains mathématiciens, avant Perelman. Elle garde son intérêt, à la fois scientifique, comme un moyen de mieux comprendre la puissance des équations d’Einstein, mais aussi un certaine dimension symbolique : la conjecture de Poincaré a été énoncée en 1905, la même année que la relativité restreinte !

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Pour citer cet article :

Thierry Barbot — «Le trou noir» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Le trou noir

    le 23 mai 2009 à 21:37, par andro

    Bonjour,

    Votre revue va dans un très bon sens. Pour ajouter une couche, je suis convaincu que l’on peut expliquer des choses complexes concrètement, sans trop d’image poétiques, peut être en faisant appel à des mathématiques de base (d’un lycéen), pourquoi pas ? A partir de la, je pense que cet article pouvait être encore plus parlant. Quand on parlait de géométrie non euclidienne, les phrases sont dévenues poétiques et vagues. Physicien égaré et déguisé en économiste, je trouve que l’on pouvait être plus concret, en prenant son temps. Et mieux expliqué le lien Eistein - géométrie non euclidienne. Ensuite, le trou noir arrive tout naturellement, ou presque..
    Encore une chose, s’il faut vulgarisé il ne faut pas trop abusé de concepts.. mais les expliquer. J’ai fait de la physique et je sais qu’il est possible de maîtriser son explication, notamment en bien expliquant son univers de travail, d’OU on part et les HYPOTHESES. Je me rappelle encore d’un cours brillant d’un prof quand il faisait le lien entre Newton et Einstein.
    Il ne faut surtout pas tomber dans le dicton des politiciens : il faut pas trop expliquer, ils ne comprennent pas !

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    • Le trou noir

      le 24 mai 2009 à 12:59, par Thierry Barbot

      Bonjour,

      Merci pour vos remarques pertinentes.
      Il est bien possible de pouvoir donner un peu plus d’explications. Mais d’une part, celà a déjà été fait : voir les livres de Luminet, entre autres, ou encore les BDs de Jean-Pierre Petit.

      Ensuite, je pense aussi qu’il est trop courant de donner en vulgarisation trop d’explications, en abusant de notations mathématiques, qui sont rébarbatives pour beaucoup de gens. Les maths de lycée ne permettraient que faire quelques pas supplémentaires, reproduisant à peine au bout de plusieurs heures d’effort la relativité restreinte - ce qui finalement reviendrait à reproduire un cours de premières années d’université. Est-ce là de la vulgarisation ?

      Pour moi, les grands succès de vulgarisation sont : le Big-Bang, l’ADN, les OGM... La plupart des gens ont la sensation de savoir de quoi il s’agit - et ce n’est pas trop faux, finalement ! Et pour les deux derniers, ont-ils suivi, pour la plupart, la lente aquisition des connaissances scientifiques sur leurs ingrédients ? Un exemple encore plus frappant est la physique quantique, tellement déroutante (et, au fonc, qui la comprend vraiment ?).

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  • Le trou noir

    le 9 juin 2009 à 00:37, par andro

    J’admire votre obs sur l’abus de notations math, c’est un vrai problème pour la connaissance - une infinité de langages inutiles - pour cacher ou pour frimer ?
    Sur le langage poétique, je ne cache pas mes préjugés. Faire de la poésie dans les domaines exacts c’est comme si on aller à l’opéra pour écouter du rock, ça ne marchera pas. En revanche, faire appel à la logique+sincérité, en abuser, cela oui. Sans nécessairement introduire trop d’auteurs ou de théories. Juste de la logique, faire appel aux hypothèses, et donc faire l’aveu des faiblesses de nos lois, montrer l’avenir. Voilà une (autre ?) vision aussi de la vulgarisation.

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    • Le trou noir

      le 29 juin 2015 à 15:53, par paris

      C’est avec beaucoup de plaisir que j’ai lu votre article.Merci de l’avoir publié.
      Merci pour toutes ces infos, voici une bonne lecture. J’ai appris différentes choses en vous lisant, merci à vous. Bonne journée à tout le monde ! serrurier paris

      Répondre à ce message
  • Le trou noir

    le 29 juin 2015 à 15:54, par paris

    J’aime beaucoup les l’informations utiles que vous avez mis sur votre site web à vos articles plombierelectricien paris
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