Les Lumières et les ondes

30 mars 2013  - Rédigé par  Pierre Pansu Voir les commentaires

Le 27 mars 2013, à la Bibliothèque Nationale de France, c’est de Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) qu’il s’agit.

Quel drôle de nom ! Abandonné à sa naissance sur les marches de la chapelle Saint Jean le Rond (elle jouxte Notre Dame de Paris), on lui a donné le nom du saint, c’était la coutume à l’époque pour les enfants trouvés. Il a été élevé par une nourrice chez qui il a habité la plus grande partie de sa vie. Ses parents ont voulu rester dans l’ombre. Son père était un officier de l’armée du roi et sa mère, une chanoinesse issue d’une grande famille noble. Son père va veiller sur lui à distance et lui verser une petite rente, mais il ne lui donnera pas son nom. Son nom, D’Alembert l’a choisi lui-même.

Pour moi, souvenir de lycée oblige, D’Alembert est l’auteur du Discours Préliminaire de l’Encyclopédie, l’un des textes qui symbolisent la pensée du mouvement des Lumières. Le projet de l’Encyclopédie, l’idée que la connaissance se construit des briques posées par des grands hommes et des milliers d’inconnus, que les savoir-faire des artisans y ont leur place à côté des intuitions des génies, que ce savoir doit être mis à la disposition du public, tout cela, nous sommes nombreux à le partager. D’Alembert est un philosophe et un écrivain, c’est certain.

D’Alembert, un scientifique ? Un mathématicien ? Je l’ignorais. Je savais son nom associé au théorème fondamental de l’algèbre (tout polynôme en une variable possède au moins une racine complexe), mais je savais aussi que la démonstration en était due à Gauss, et non à D’Alembert. Cela compte t’il ?

Pourtant, D’Alembert a été passionné par les mathématiques dès l’adolescence. Il a raconté à Condorcet que le virus l’a atteint lorsqu’il était élève au Collège des Quatre Nations. Alors qu’il commençait des études de droit et de médecine, il a dû confier ses livres de mathématiques à un ami pour ne pas être distrait. Mais il n’a tenu bon que quelques semaines, bientôt, un livre suivant l’autre, il s’est laissé distraire et a abandonné ses études pour se consacrer entièrement aux mathématiques. Il en a été le plus heureux des hommes.

Ce soir, Patrick Gérard a choisi de nous parler d’un texte de D’Alembert publié en 1749 par l’Académie Royale des Sciences de Prusse, à Berlin, intitulé « Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration ».

L’intérêt pour les cordes vibrantes remonte à l’Antiquité. Au commencement est le son fondamental d’une corde (Pythagore), sa fréquence (nombre d’oscillations par seconde) est inversement proportionnelle à la longueur. Autrement dit, une corde deux fois plus courte donne un son situé une octave au-dessus. Au XVIIème siècle, Brook Taylor donne une formule pour la fréquence du son fondamental, et décrit la forme de la corde qui oscille à sa fréquence fondamentale, c’est une sinusoïde. Cette courbe, D’Alembert l’appelle « compagne de la cycloïde allongée ». A l’époque, la sinusoïde n’était pas d’usage courant. En revanche, la cycloïde, elle, était bien connue (c’est la trajectoire du chewing-gum collé sur une roue de vélo). La transformation de Robertval (qui permet de calculer l’aire sous l’arche) fait de la cycloïde une sinusoïde.

D’Alembert s’intéresse aux petites vibrations et leur forme en général. Il déduit du principe fondamental de la dynamique une équation aux dérivées partielles satisfaite par le déplacement vertical de la corde. De nos jours, elle est connue sous le nom d’équation des ondes. Elle se trouve partout autour de nous, car nous sommes entourés d’ondes : sonores dans l’air, électriques dans les fils, électromagnétiques (radio, micro-onde, lumière visible), sismiques dans le sol.

Cette équation, D’Alembert la résout. Il montre que toute solution est la somme de deux ondes progressives, voyageant en sens inverse, à la même vitesse, sans changer de forme. Les conditions aux limites entraînent que les deux ondes sont en fait égales et périodiques de période double de la longueur de la corde. Il retrouve les modes de vibration en sinusoïde, leurs fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale. Ce sont les ondes stationnaires. On peut donc voir une onde stationnaire comme somme de deux ondes progressives.

Et c’est la controverse ! De son côté, à Bâle, Daniel Bernoulli (1700-1782) a compris, à la physicienne, le principe de superposition (la somme de deux solutions de l’équation des ondes est encore une solution). Il affirme que toute solution est une somme de sinusoïdes. Rien à voir, apparemment, avec les solutions de D’Alembert ? C’est seulement en 1822 que Fourier expliquera pourquoi ils ont tous les deux raison. Euler aussi a sa propre vision des ondes. Il considère que toute onde progressive, même discontinue, peut être considérée comme une solution de l’équation de D’Alembert. Ce dernier ne va pas si loin, il rétorque qu’il ne doit pas y avoir de sauts de courbure. Il faudra attendre le milieu du XXème siècle pour que la théorie des distributions de Schwartz donne raison à Euler.

Au XIXème siècle, la famille des ondes s’élargit : l’équation des membranes vibrantes ressemble à celle des cordes, mais la condition aux limites, au bord de la membrane, fait que la résolution analytique n’est possible que pour des membranes de formes simples : rectangle (Poisson), cercle (Clebsch), triangle (Lamé), ellipse (Mathieu). Les ondes voyagent aussi en 3 dimensions : il faut cela pour qu’on puisse s’entendre. Maxwell établit les équations de l’électromagnétisme et montre qu’elles ont comme conséquence l’équation des ondes 3-dimensionnelles. Kirchhoff en donne la solution générale, qui s’apparente à celle de D’Alembert.

Au XXème siècle, l’équation des ondes sert de modèle pour la physique de l’infiniment petit, la mécanique quantique, initialement appelée mécanique ondulatoire. Pour un de ses inventeurs, L. de Broglie, prix Nobel 1929, D’Alembert est le fondateur de la physique mathématique, branche des mathématiques qui étudie la physique à travers ses équations. Et aussi, de l’infiniment grand : Einstein écrit, en 1916, que la matière modifie la géométrie de l’espace-temps. Sa théorie est gouvernée par des équations qui ne satisfont pas le principe de superposition. C’est Y. Choquet-Bruhat qui, en 1952, montre que les équations d’Einstein possèdent en elles la signature de l’équation des ondes, ce qui lance un courant de recherche très fort. Elle sera la première femme élue à l’Académie des Sciences en 1978.

Le XXIème siècle, à peine commencé, n’est pas en reste. N. Anantharaman revisite la propagation des ondes dans les tambours chaotiques. Chaotique signifie que, vu comme billard, les trajectoires visitent tout le tambour. Dans ce cas, les modes de vibration eux aussi remplissent tout le tambour. S. Klainerman (américain d’origine roumaine), I. Rodnianski (américain d’origine ukrainienne) et J. Szeftel (français d’origine française) montrent que les moyennes quadratiques de la courbure de l’espace-temps contrôlent la gravitation. Ces progrès sont intimement liés à l’équation des ondes.

Et P. Gérard de conclure avec cet extrait du Discours préliminaire : « Les notions les plus abstraites, celles que le commun des hommes regarde comme les plus inaccessibles, sont souvent celles qui portent avec elles une plus grande lumière ».

Le sujet, qui aurait pu sembler ardu, avait réuni un public assez nombreux, avec des lycéens des lycées Bascan, Condorcet, Montesquieu, Charlemagne, d’Arsonval... qui a offert une intéressante séance de questions. Pourquoi utilise-t-on les nombres complexes pour décrire les ondes ? Qu’est-ce qui fait avancer les maths, une passion interne ou un désir de comprendre le monde ?

Prochaine (et dernière) conférence du cycle 2013 le 10 avril : W. Werner sur le découpage des formes.

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Pour citer cet article :

Pierre Pansu — « Les Lumières et les ondes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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