6 novembre 2012

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Les Mardis « Maths et Industrie »

Traductions de quelques « Success Stories »

Paul Vigneaux

Maître de conférences ENS Lyon (page web)

Nous publions une série de Billets consacrés à des témoignages d’échanges fructueux entre industrie et mathématiques, au niveau européen. Au travers de ces textes, on verra une illustration de l’impact des mathématiques tant dans l’industrie que dans la société. Les mathématiques ont un clair potentiel pour dynamiser une innovation basée sur les dernières avancées académiques, c’est à dire une clé pour une économie européenne compétitive dans un marché globalisé.

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Les Billets sont des traductions des « Success Stories » recueillies dans le cadre du projet Forward Look « Mathematics and Industry ».
Plus précisément, la Fondation pour la Science Européenne (ESF) a financé un programme dit « Forward Look » (voir ci-dessous) sur les Mathématiques et l’Industrie et en a confié la coordination scientifique au Comité de Mathématiques Appliquées de la Société de Mathématiques Européenne (EMS). Ce sont des membres de ce Comité, entourés notamment d’autres mathématiciens proches de l’ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry), qui ont coordonné et favorisé le recensement des expériences communes entre industriels et chercheurs dans les laboratoires de mathématiques des organisations académiques européennes. Nous tenons à remercier les auteurs de ces histoires (chercheurs et ingénieurs impliqués dans ces succès) ainsi que tous les acteurs susnommés pour nous avoir autorisés à en publier une traduction en français sur Images des Mathématiques. Et en particulier, Maria J. Esteban (CNRS et Université Paris - Dauphine) pour avoir rendues possibles ces traductions.

L’ESF (European Science Foundation) est une organisation non gouvernementale indépendante dont les 79 membres sont les agences de financement, les opérateurs de recherche, académies et sociétés savantes de 30 pays. Sa force réside dans l’influence de ses membres et sa capacité à rassembler les différents domaines de la science européenne pour répondre aux grandes questions de demain. L’action stratégique de l’ESF est illustrée par une activité phare : les « Forward Looks ». Ils permettent à la communauté scientifique européenne, en interaction avec les acteurs politiques, de développer des analyses à moyen et long termes pour les développements de recherche futurs. Le but est de définir les agendas de recherche aux niveaux national et européen. Les Forward Looks sont pilotés par ses Organisations Membres et, par extension, la communauté académique européenne.

L’EMS (European Mathematical Society) est une société savante qui représente les mathématiciens dans toute l’Europe. Elle promeut le développement de tous les aspects des mathématiques sur le continent, en particulier, la recherche, les relations entre les mathématiques et la société, les relations avec les institutions européennes et la formation en mathématiques. Les membres de l’EMS se répartissent entre 60 sociétés mathématiques en Europe, 20 centres de recherche en mathématiques et 3000 le sont à titre personnel.

Pour accompagner cette série de textes, il nous semble utile de donner une brève description de la démarche de modélisation au sens large car elle est souvent évoquée implicitement dans une histoire conçue pour tenir en une page.

La modélisation, au sens large, consiste à considérer un phénomène — appartenant à la physique, la biologie ou la finance, par exemple — , en extraire les paramètres prépondérants de manière à construire des équations mathématiques qui le régissent et finalement à mettre en œuvre des méthodes performantes de résolution de ces équations. Les calculs obtenus sont alors une simulation de ce phénomène qui peut être comparée avec ce qui se passe dans la réalité.

Quels sont les avantages de la modélisation ? Elle permet d’obtenir des résultats qui ne peuvent pas (ou difficilement) être mesurés dans la réalité soit par inaccessibilité dans le système (certaines parties d’un moteur) soit par le caractère « extrême » de la situation (réaction nucléaire ... ou rentrée d’une navette dans l’atmosphère). C’est de plus grâce à la modélisation que le temps de mise sur le marché d’une voiture est passé de plusieurs années à quelques mois : les temps de conception sont fortement diminués. Par ailleurs, on améliore les coûts notamment parce qu’on ne détruit plus réellement les prototypes (pensons aux crash-test de voitures contre des murs qui sont désormais réalisés « virtuellement » sur ordinateur).

Un exemple en quelques mots

Le phénomène : un écoulement de deux fluides qui se rencontrent et se mélangent de manière immiscible (comme de l’eau et de l’huile). On peut penser à du carburant injecté dans un moteur de voiture, comme ici (détails sur la page de S. Zaleski).

La construction des équations régissant le phénomène : nous sommes en présence d’un problème de mécanique des fluides dont les équations génériques sont connues depuis plus d’un siècle et s’appellent les équations de Navier-Stokes (En réalité, pour l’exemple ci-dessus, une version un peu plus sophistiquée. On n’a pas encore trouvé de solution analytique au système complet ; seuls quelques cas simplifiés ont pu être résolus de manière exacte. D’autres solutions ont été approchées numériquement grâce au développement des ordinateurs et surtout des méthodes de résolutions issues de l’analyse numérique dont nous parlons à l’étape suivante). Sans rentrer dans les détails de ces équations, nous dirons simplement

  • qu’elles traduisent deux principes physiques fondamentaux : la conservation de la masse et celle de la quantité de mouvement (Deuxième loi de Newton) ;
  • qu’en les résolvant, on détermine les inconnues que sont la vitesse, la pression et la position des deux fluides.

La résolution des équations fait appel à plusieurs facettes des mathématiques :

  • l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) régissant le phénomène, qui permet de démontrer l’existence et l’unicité des solutions ;
  • l’analyse numérique qui permet de construire des méthodes de résolution programmables sur des ordinateurs ;
  • l’informatique qui permet de programmer ces méthodes et de faire exécuter les calculs par les ordinateurs.

Par ailleurs à la lumière de la description précédente, nous ajoutons un petit lexique de quelques termes fréquents associés à la modélisation, que l’on rencontre au fil de ces Success Stories (par souci de concision, nous n’expliquerons pas tous les termes spécifiques à l’application concernée par chaque témoignage). Il faudrait probablement dédier un article complet pour décrire plus amplement les notions suivantes.

  • Bibliothèque (ou Code) de calcul. Un ensemble ordonné de lignes de code informatique qui implémentent pour un ordinateur plusieurs solvers. Ces bibliothèques peuvent être payantes (car achetées sous forme de licences) ou développées en interne par une entreprise ou un laboratoire.
  • Discrétisation. Lorsqu’un modèle mathématique est continu, comme c’est le cas pour une EDP, cela signifie qu’il décrit un phénomène pour un nombre infini de points (en espace, comme en temps). Comme un ordinateur ne peut faire un calcul avec un nombre infini de points, il faut transformer les équations continues en une version discrète (aussi fidèle à la version continue que possible) pour faire une simulation. C’est ce qu’on appelle faire une discrétisation du problème. Au cours de ce processus, un domaine en espace continu (un disque) est approché par un maillage comme ici. On peut faire pareil sur un avion, comme .
  • Conditions aux limites. Lors de la construction des équations, mentionnée dans la description ci-dessus, une étape importante est celle de l’écriture des « conditions aux limites » (en général, il s’agit des limites en « espace » mais, cela peut aussi être en « temps » ; on parle alors de « conditions initiales »). Elles sont fondamentales pour que le problème complet soit soluble. Ces conditions donnent la valeur des inconnues (ou de leurs dérivées, etc) sur les « bords » du domaine, c’est à dire la frontière physique de l’objet étudié et, lorsque le phénomène évolue dans le temps, des valeurs à l’instant où l’on veut initier la simulation. Intuitivement, on comprend bien qu’il faut quand même un peu d’informations sur les inconnues pour « cadrer » la résolution du problème. Un code ne peut pas « inventer », par exemple, la valeur de la vitesse sur les bords de l’injecteur de carburant évoqué plus haut, ou la position initiale respective de l’essence et de l’air dans la chambre de combustion.
  • EDP , pour équations aux dérivées partielles. Pour construire un modèle mathématique, il existe plusieurs grandes classes d’outils. Les EDP en sont un exemple. Certaines sont très célèbres : les équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides, les équations de Boltzmann pour la dynamique des gaz et bien d’autres encore. Parmi les autres outils, on peut mentionner les Modèles Discrets et Aléatoires.
  • Pre-processing ou Pré-traitement. Un calcul sur ordinateur pour simuler un phénomène nécessite de préparer un certain nombre d’entités avant de pouvoir lancer effectivement ce calcul, on parle de pré-traitement. L’exemple typique est la création d’un maillage 3D pour décrire la géométrie d’un avion, avant de calculer la pression qui s’exerce sur sa structure.
  • Solver (anglicisme). Un solver est un ensemble de lignes écrites avec un langage de programmation qui implémente une méthode mathématique de résolution d’un problème donné. Un simulateur ou une bibliothèque de calcul peuvent contenir plusieurs solvers.

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Image à la une — Courtesy Dr Johan Carlson - FCC Chalmers

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Pour citer cet article : Paul Vigneaux, « Les Mardis « Maths et Industrie » »Images des Mathématiques, CNRS, 2012.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Les-Mardis-Maths-et-Industrie.html

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