Comment fonctionne le mécanisme des « subprimes » Ces prêts, accordés sur la totalité du bien immobilier, étaient renégociés en fonction de la hausse du prix de ce bien, et donnaient souvent lieu à d’autres prêts, accordés sans étude approfondie des ressources de l’emprunteur, le prêt étant garanti par la valeur du bien. Afin de financer un plus grand nombre de prêts, les banques titrisent ces créances par l’intermédiaire d’une société dite véhicule de titrisation qui les revend sous forme d’obligations à des épargnants. Les agences de notation interviennent alors pour « noter » ces nouveaux produits, en termes de risques, de très risqués à non risqués. Ces agences dépendaient directement des banques qu’elles notaient puisqu’elles étaient rémunérées par celles-ci. En certifiant certains de ces produits sans risque, elles ont clairement failli à leur mission.

Qu’est ce que la titrisation ?

Le principe sous-jacent à ces opérations de titrisation, qui existent depuis très longtemps dans les marchés, est celui de la diversification. Par exemple, au lieu de concentrer tous les risques de prêts dans une banque de détail, on les repartit par petites parts entre divers investisseurs. En général, cela réduit l’ampleur du risque final, sauf dans le cas qui nous intéresse, où par suite du krak les effets de contagion ont joué en priorité. Il n’y a pratiquement pas d’étape quantitative dans ce processus.

Une bulle spéculative

Une question légitime, qui reste sans réponse pour nous, est de savoir comment les autorités ont pu laisser le système s’emballer à ce point et sur des bases si fragiles. Cette question a déjà été posée après l’éclatement des bulles spéculatives (crise asiatique en 1998, crise des valeurs internet en 2000, etc..). Mais cette nouvelle crise a un impact social plus important tant à cause du nombre de gens durement touchés par les prêts de type « subprimes » que par ses retombées économiques notamment en termes de récession dues a l’ampleur du désastre.

Et les mathématiques

Les formations en mathématiques financières

Depuis plusieurs années, les marchés financiers ont absorbé un grand nombre de jeunes étudiants et ingénieurs "mathématiciens quantitatifs", à des salaires élevés, créant ainsi un attrait manifeste vers ce domaine. Les masters de mathématiques financières recrutent des centaines d’étudiants, les formations se multiplient, au détriment d’autres formations. Dans le même temps, cela a contribué à attirer plus d’étudiants vers des études scientifiques, dans le domaine des probabilités en particulier. Les « Mathématiques financières », qui, au même titre que le bon vin, sont apparues comme une « success story » française, ont été très médiatisées, et mais aussi vite chargées de tous les maux, certains allant jusqu’à dire que la crise étaient une conséquence de l’utilisation de mauvais modèles.

C’est à juste titre que la communauté mathématique se pose la question de la responsabilité des mathématiques et des mathématiciens dans cette crise financière. Nous nous proposons d’apporter quelques précisions dans le débat pour permettre aux uns et aux autres d’avoir plus d’éléments pour en juger. Notons pour commencer qu’on utilise assez peu de mathématique dans le monde de la finance en général, en dehors des statistiques élémentaires. Toutefois, deux secteurs en font un usage beaucoup plus intensif : les marchés des produits dérivés, et plus récemment les « hedge-funds », ou fonds d’arbitrage. Les formations de mathématiques financières concernent surtout le premier marché, que nous présentons ci-dessous.

Les marchés de produits dérivés

Les mathématiques jouent un rôle déterminant dans les marchés financiers qui permettent de prendre des positions dans le futur, sur des monnaies, des actions, du change, des matières premières, soit dans un but de couverture, soit dans une optique spéculative. Garantir des flux dans le futur permet de transférer les risques de l’investisseur vers le vendeur, la banque en général. C’est dans cette activité qu’on trouve la part la plus importante et la plus utilisée de mathématiques. Cette mathématisation est intervenue au début des années 1970 aux Etats-Unis après la création à Chicago du premier marché organisé de produits dérivés. La couverture dynamique des risques est indissociable de cette activité, les modèles servant plus à mettre en place les stratégies de couverture qu’à donner le prix de marché des produits.

L’idée très innovante, proposée par Black, Scholes et Merton en 1973, est de décomposer un « risque long terme » en une addition de petits risques court terme (la journée) plus aisés à gérer. Le problème est celui d’une cible aléatoire, que l’on cherche à approcher au mieux à l’aide d’une stratégie dynamique d’achats et de vente de titres. Les modèles interviennent très précisément pour quantifier cette stratégie. Dans le cas où le titre sous-jacent est modélisé par un brownien géométrique, et où la garantie porte sur le prix maximum auquel le titre peut être acheté, il existe une formule explicite pour le prix du contrat appelée formule de Black et Scholes, et pour sa couverture qui est donnée par la dérivée du prix. Mais la stratégie est adaptative et se corrige au jour le jour, ce qui permet de minimiser « l’erreur de modèle ». La détermination des paramètres se fait en s’ajustant aux prix de marché des produits disponibles les plus liquides. Absence d’arbitrage et couverture dynamique

Le principe qui maintient une certaine cohérence dans tout ce mécanisme est celui du fonctionnement idéal du marché sans arbitrage, c’est-à-dire suffisamment liquide et sans coûts de frottement, pour que :

Il n’y a pas d’arbitrage dans le marché, c’est-à-dire que deux produits financiers qui garantissent les mêmes flux dans tous les états du monde ont la même valeur à toute date dans le futur.

La méthodologie de type Black et Scholes est établie dans des conditions de liquidité parfaite à l’achat et à la vente, ce qui n’est pas le cas en période de crise où intervenants n’effectuent pas de ventes à découvert. Les modèles mathématiques sont efficaces en période de stabilité financière, lorsque les volatilités ne sont pas trop élevées. Cette méthodologie est néanmoins assez robuste pour être utilisée lorsque ses conditions d’applications ne sont pas parfaitement vérifiées, parce que les praticiens ont besoin de quantifier leur stratégie de couverture.

Jon Danielson (London School of Economics ) cite l’anecdote suivante :

" A well-known American economist, drafted during World War II to work in the US Army meteorological service in England, got a phone call from a general in May 1944 asking for the weather forecast for Normandy in early June. The economist replied that it was impossible to forecast weather that far into the future. The general wholeheartedly agreed but nevertheless needed the number now for planning purposes." [1]

Il conclut en notant qu’une logique similaire s’applique dans la crise présente. Les modèles sont efficaces dans des situations de calme relatif, où les techniques de backtesting permettent de calibrer les paramètres de modèle.

Le monde réel est par nature « imparfait », notamment de nombreux risques ne sont pas couvrables (on dit que le marché est incomplet). Le rôle des mathématiques et des « quants » est d’aider à décider lorsqu’on peut rester malgré tout dans le monde à la Black-Scholes, en quantifiant le « risque résiduel » associé aux stratégies mises en place.

Calibration des modèles

Dans une classe de modèles dynamiques, la question de trouver le niveau adéquat des paramètres est évidemment l’étape cruciale. Pour comprendre les techniques mises en place dans ces marchés, il n’est pas inutile de rappeler deux points essentiels :

• le premier est un point de bon sens : les lois de la finance ne sont pas des lois physiques, et l’on ne peut pas répéter une expérience.

• le deuxième concerne la nature de l’activité en jeu. Le problème n’est pas d’estimer des rendements et des volatilités, mais de capter la variation quotidienne d’un cours, et du produit dérivé associé

Les paramètres des modèles mathématiques décrivant la dynamique des prix des sous-jacents sont ajustés (calibrés) aux prix des produits dérivés liquides côtés par le marché. On parle alors de paramètres implicites.

Par exemple, il va de soi qu’un modèle basé sur des processus de Lévy permettra, dû au plus grand nombre de paramètres, une meilleure adéquation aux données observées qu’un modèle basé sur un mouvement Brownien. Mais ensuite le modèle sera utilisé par les intervenants pour déterminer les couvertures de produits dérivés. Dans un modèle où le sous-jacent suit une diffusion markovienne, cela revient à calculer la dérivée du prix du produit dérivé par rapport au sous-jacent. En marché incomplet, notamment dans les modèles avec sauts, la question de la couverture dynamique reste largement à définir. Les travaux académiques sont très nombreux dans ce domaine, mais considérés comme difficilement implémentables dans les marchés. La pratique actuelle est de s’insensibiliser contre des variations des paramètres du modèle calibré, sans vérifier si l’erreur résiduelle est acceptable.

Une des conséquences de cette pratique est le peu d’importance accordée de fait aux données passées, (aussi appelées données historiques). Cette remarque est à nuancer puisque depuis quelques années on voit des hedge-funds qui tire profit du décalage entre les paramètres estimés statistiquement sur les données historiques et les paramètres implicites.

Comment le marché procède-t-il avec de nouveaux types de produits , puisque dans ce cas il n’y a pas de marché liquide ?

Par exemple, depuis 2000, une nouvelle activité a vu le jour dans les organismes financiers : les dérivés de crédit, qui sont des options sur les pertes générées par les faillites pendant une période donnée d’un ensemble d’une centaine d’entreprises. Les facteurs conduisant à la faillite peuvent être des facteurs spécifiques de chaque entreprise, mais aussi des facteurs communs à toutes, comme le taux d’inflation, les niveaux des taux d’intérêt, etc... Intégrer toutes ces informations est opérationnellement très coûteux en temps de calcul. Devant cette complexité, les méthodes employées ont d’abord été très rudimentaires : les dépendances sont modélisées de manière statique, la valeur de chaque entreprise à l’horizon étant représentée par une variable gaussienne, corrélée à un facteur commun supposé lui aussi gaussien. Le défaut apparaît si la valeur de l’entreprise passe en dessous d’un niveau (connu). Ce modèle basique a permis de faire des transactions autour d’une représentation consensuelle. Une couverture en sensibilité était mise en place. Ce qui était présenté comme une première étape, en fait n’a été amélioré qu’à la marge. Comme historiquement, les faillites d’entreprises étaient très rares, la couverture analysait plus les risques de variation des probabilités de défaut cotées par le marché que les montants des pertes en cas de défaut effectif. Parallèlement, une recherche académique active a été développée autour de ces problèmes ; mais aucun modèle dynamique n’a réussi à s’imposer comme le standard du marché car toujours considéré comme trop complexe à implémenter. Il faut dire qu’obtenir un prix « calibré » en moins d’une seconde oblige à des simplifications. Ces dernières années, l’intérêt porté à la recherche dans ce domaine s’était nettement relâché, notamment parce que ce secteur générait de grands profits. Dans un tel contexte, la maîtrise des risques n’était pas la préoccupation première.

Peut-être les dérivés de crédit sont-ils un bon exemple d’application de la remarque de John Seo, gérant de hedge-funds, dans laquelle il faudrait remplacer Black-Scholes, par « copule gaussienne » :

"The model created markets, markets follow models. So these markets spring up, and the people in them figure out that, at least for some of it, Black-Scholes doesn’t work. For certain kinds of risk-the risk of rare, extreme events-the model is not just wrong. It’s very wrong. But the only reason these markets sprang up in the first place was the supposition that Black-Scholes could price these things fairly." [2]

Questions de responsabilité

Une responsabilité technique

La couverture dynamique des produits dérivés a été un élément essentiel de leur développement, et les mathématiques ont été un élément décisif dans le développement de cette technologie du risque.

• L’une des premières conséquences en a été la création de produits dérivés permettant de couvrir des risques " dits de seconde génération ", plus difficiles à appréhender par les investisseurs. Les produits de première génération couvraient contre le risque de hausse ou de baisse des marchés. Ceux de deuxième génération vont couvrir contre les risques de variation quotidienne : un exemple typique est le risque de volatilité, pour lequel il existe maintenant un marché assez liquide. C’est un phénomène bien connu des assureurs automobiles, qui observent que la plus grande sécurité des véhicules pousse de nombreux conducteurs à prendre d’autres risques.

• L’innovation financière que ces techniques ont permis de développer n’est pas à remettre en cause en soi, mais comme pour les autres secteurs de la crise, cette activité doit être moins

débridée et se recentrer autour des produits dont la finalité est plus claire.

• Mais cela ne veut pas dire disparition des risques : la couverture au jour le jour minimise le rôle des effets macroéconomiques de long terme, la croissance de la taille des positions peut conduire à risques résiduels qui ne sont plus acceptables.

• Les dérivés de crédit montrent plutôt les difficultés de couverture dans les marchés en train de se créer, et la nécessité d’une vigilance (réglementation) accrue quand le marché s’emballe. Par ailleurs, il faut former des ingénieurs quantitatifs, dominant très bien la technicité des modèles, pour être capables de résister à la pression du « business » et signaler quand les modèle « consensus » paraît notoirement insuffisant.

• Un point de méthodologie qui n’a jamais été remis en cause est la calibration aux prix de marché des dérivés liquides. Cette pratique a eu comme conséquence de minimiser la vision dynamique de la couverture. Par ailleurs, elle donne une importance sans doute excessive dans les modèles aux prix observés, qui peuvent être entachés d’imperfections. D’autre part, en ne confrontant pas ces prix avec les données historiques, on peut entériner une vision très spéculative des prix

La crise n’est pas due aux modèles, elle ne sera pas résolue en introduisant des nouveaux modèles et la crise prochaine (dans 10 ans ?) ne sera pas évitée par une plus grande utilisation de mathématiques, ni par une abolition de toute forme de mathématique dans les institutions.

Par contre, une meilleure surveillance (par analogie à celle mise en place pour la surveillance des tempêtes et autres catastrophes météorologiques) et une meilleure régulation sont des outils déterminants pour un fonctionnement plus raisonnable de ces marchés.

Notre rôle, en tant que mathématiciens, se réduit à faire de notre mieux pour expliquer la limitation de ces modèles, leurs conditions d’utilisation et la signification des structures aléatoires, et, de façon plus positive, plus dynamique, d’introduire de nouvelles réflexions sur leur utilisation.

Une responsabilité sociale

Les marchés financiers sont des éléments déterminants d’une organisation économique et politique du monde, le capitalisme libéral.

En formant des ingénieurs quantitatifs pour les marchés, en faisant de la recherche en mathématiques financières, nous avons été un des éléments de la chaîne qui a conduit aux débordements que l’on observe, et qu’honnêtement nous n’aurions jamais cru possibles. La technicité peut faire écran.

La question de la responsabilité est de même nature que celle du scientifique fasse au monde réel : doit-on en être ou pas ? La position du mathématicien dans le domaine de la finance est-elle différente de celle du physicien ou du biologiste face à des grands enjeux de société, le nucléaire, les OGM, par exemple ? Le fait que le support de l’activité soit l’argent ne doit pas apparaître comme un élément discriminant, même si cela rajoute une complexité supplémentaire, celle des individus face à l’argent.

Le nouvel équilibre politique et économique qui résultera de cette crise sans précédent n’évacuera pas cette question, car deux éléments fondamentaux persisteront : l’ampleur de la masse monétaire qui circule sur les marchés (pensez aux retraites), et les moyens de calculs actuellement disponibles qui ont été plus que les mathématiques des éléments déterminants de l’évolution des transactions dans les marchés.

La finance quantitative ne disparaîtra pas, mais peut devenir uniquement « informatique ». Il vaudrait mieux que les mathématiques financières ne disparaissent pas, car elles restent un ferment du débat et du questionnement.