Les polyèdres

5 août 2013  - Ecrit par  Claudi Alsina Voir les commentaires (1)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre.

Peut-on admirer les mille facettes de la beauté géométrique ?

Préface de Valerio Vassallo, maître de conférences à l’Université Lille 1 et mathématicien en résidence à la Cité des Géométries

Les milles facettes de la beauté géométrique ? Parler de beauté mathématique
semble incroyablement difficile, mais parler des mille facettes de la beauté géométrique
semble une entreprise pratiquement impossible. Les mathématiques restent toujours mal
connues et, peut-être à cause de cela, mal aimées. Pourquoi le compositeur autrichien
Franz Schubert et ses symphonies sont-ils plus connus que le mathématicien allemand
Hermann Schubert et ses travaux qui portent maintenant le nom de « calcul de
Schubert » ? Pourquoi les symphonies de Schubert feraient-elles plus vibrer que les
magnifiques idées contenues dans les calculs du mathématicien ? Est-ce une question
de sensibilité ? De culture personnelle ? D’attrait naturel ? Ces questions ne sont pas
nouvelles. Pourquoi préférer le compositeur Schubert à Mozart, le réalisateur Clint
Eastwood à Quentin Tarantino, le sculpteur Auguste Rodin à Edgar Degas, le peintre
Pablo Picasso à Fernand Léger ?…

Qu’est-ce donc la « beauté » ?

Certains diraient que c’est une affaire de goût et d’entraînement des cinq sens : audition,
vision, toucher, goût, odorat. D’autres affirmeraient que c’est culturel, c’est-à-dire
que les connaissances entrent en jeu d’une façon déterminante ; d’autres prétendraient
que c’est génétique, en expliquant qu’une passion pour tel ou tel objet, passerait
d’une génération à une autre. D’autres encore diraient que l’attrait pour tel ou tel aspect
de la créativité humaine dépend aussi de la personne qui nous la fait découvrir et de la
manière dont elle approche le sujet. Pour faire découvrir la beauté mathématique, l’auteur
choisit le vaste sujet des polyèdres et donne à son ouvrage un titre qui joue avec les
mots : d’un côté, les mathématiques réservent à elles seules mille facettes de beauté, de
l’autre, les polyèdres peuvent en posséder quatre, cinq, voire mille et plus !

Quel monde riche de surprises qu’est celui de ces objets géométriques !

On trouve les formes polygonales et polyédrales partout dans la nature, comme
dans les objets de la vie quotidienne. Les polyèdres sont des véritables diamants ! Pour
les dénicher il faut creuser la question, savoir de quoi l’on parle. Sans un peu d’effort,
les mathématiques restent cachées, et encore davantage leur beauté. Mais pourquoi
demandent-elles autant d’efforts, y compris aux mathématiciens ? Pour mieux
comprendre,
on pourrait oser la comparaison entre les mathématiciens et les sommeliers.
Ces derniers, avant de pouvoir conseiller les clients lors d’un repas, ont eu besoin
d’intégrer une quantité énorme de connaissances : les procédés pour transformer
le raisin en vin, la localisation du vignoble, les cépages autorisés par appellation, les
appellations par région, les plats régionaux, le vocabulaire adapté pour décrire chaque
vin... On s’étonne souvent des connaissances d’un mathématicien, mais celles d’un
bon sommelier sont tout à fait comparables ! La récompense pour un sommelier doit
être semblable à celle d’un mathématicien qui arrive à distinguer une fonction d’une
autre, une structure algébrique d’une autre, un objet géométrique d’un autre et, dans
chaque cas, il arrive à en donner les propriétés caractéristiques qui font que l’objet
étudié devient presque unique et beau !

Pour apprivoiser les polyèdres, il est conseillé de faire un tour là où ils vivent, à « 
Polygoland ». On y trouvera le terreau où les polyèdres poussent, les pièces maîtresses
avec lesquelles ils sont faits : les polygones. Il y a toute sorte de polygones, des plus
célèbres, comme les triangles, les carrés, les quadrilatères, les pentagones, les hexagones,
les heptagones, les décagones, les hendécagones, les dodécagones..., aux moins
connus, à mille côtés, voire plus. Il y en a une infinité qui sont réguliers, mais d’autres,
qui, sans l’être, ont également leur charme.

Pour apprécier les polyèdres, il est utile de passer par les polygones, sans lesquels, les
polyèdres n’existeraient pas. Dans cet ouvrage, le voyage au pays des polyèdres se poursuit
avec la découverte d’immenses champs de la culture, où ils vivent en dehors des
mathématiques, dans l’art, dans les jeux, en architecture, dans le design... On y aborde
également le fait bien connu depuis l’Antiquité qu’il y a seulement cinq polyèdres réguliers
 ! Voilà, une toute première surprise que l’on appréciera davantage, si on cherche à
comprendre pourquoi il n’y en a pas six, sept ou mille. Rappelons qu’un polyèdre est
formé de sommets, d’arêtes et de faces. Le cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces. Si on
effectue 8 + 6 – 12, on trouve 2. Chacun des cinq polyèdres réguliers a cette propriété,
c’est-à-dire que la somme algébrique indiquée est toujours égale à 2 ! Mais la surprise
est encore plus grande lorsqu’on découvre que tout polyèdre simple (c’est-à-dire sans
trous) a cette propriété : découverte par René Descartes (XVIe siècle), puis démontrée
par Leonhard Euler (XVIIIe siècle), et généralisée par Henri Poincaré (XIXe siècle), elle a
fait l’objet d’une magnifique démonstration par Augustin Cauchy au XVIIIe siècle. Le
mot « démonstration » est souvent difficile à entendre, car il évoque parfois de mauvais
souvenirs d’école ; néanmoins, connaître au moins une démonstration est l’un des
secrets pour apprécier la beauté des résultats mathématiques !

Extrait du Chapitre 4 - Les polyèdres en architecture et en art

Richard Buckminster Fuller (1895-1983)

Intellectuel américain unique en son genre, Fuller s’est consacré
à la conception, l’ingénierie et l’architecture. Il est à l’origine de
nombreuses inventions et a rédigé des livres consacrés à la défense de l’environnement.

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Ses dômes géodésiques constituent
son œuvre la plus importante. Des composés chimiques ont été
nommés fulleriens en son honneur.
Sa forme préférée a toujours été le tétraèdre, à l’origine de beaucoup de ses créations.

Les dômes de Fuller

Richard Buckminster Fuller, architecte et ingénieur américain de génie, a révolu-
tionné (et breveté) la réalisation de maillages en créant de nouvelles formes avec
des tétraèdres ou des dômes spectaculaires, notamment celui du pavillon américain
de l’Exposition universelle de 1967 à Montréal. L’idée du dôme géodésique, bre-
vetée par Fuller en 1947, était d’abandonner la construction en pierre ou en béton
(exigeant un étayage ingénieux) pour privilégier la stabilité structurelle des formes
polyédriques triangulaires, qu’elles soient déterminées par des barres en acier ou par
la juxtaposition de modules tridimensionnels adéquats.

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Un dôme de Fuller.

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Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Valerio Vassallo. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Claudi Alsina — «Les polyèdres» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli

Commentaire sur l'article

  • Les polyèdres

    le 20 août 2013 à 11:24, par Audibert

    Dans le livre N°20 Le texte de Platon cité aux pages 29 et 30 se réfère au texte plus sophistiqué du Timée paragraphes 53 et 54. G.A.

    Dans le livre N°20 fort intéressant me manque un peu une des plus fondamentale remarque sur le cube , mais elle a peut-être échappé à ma lecture. Le cube est la réunion de trois pyramides à base carrée(une face du cube) ; ce qui explique bien le 1/3 intervenant dans le volume de la pyramide .Ces trois pyramides proviennent d’ailleurs du fait que le cube est conservé par les rotations de 0° , 120° et 240° autour d’une diagonale du cube (Ah ! le joli groupe de rotation du cube). G.A.

    Dans le livre N°20 Hans Freudenthal est cité deux fois aux pages 45 et 61. En plus de ses talents de mathématicien je voudrais dire à quel point cet homme était charmant .Il a consacré assidument la fin de sa carrière et la fin de sa vie à promouvoir ,défendre et améliorer l’enseignement des mathématiques, faisant parti et même présidant la Commission Internationale pour l’Étude et l’Amélioration de l’Enseignement des Mathématiques(CIEAEM) .Il parlait très bien le français qu’il avait appris très jeune , initié par la phrase suivante : « Les pies nich’nt-elle haut ? Oui les pies nich’nt haut » « (Essayez cet phrase sur vos amis). G.A.

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