Les PAPAS

Les PAPAS

Promenades Aléatoires en Paysage Aléatoire

Piste rouge Le 20 mai 2012  - Ecrit par  Nadine Guillotin-Plantard, Françoise Pène Voir les commentaires

Comment les PAPAS permettent de comprendre l’écoulement d’un fluide en milieu poreux ?

Nous montrons le lien entre les Promenades Aléatoires en Paysage Aléatoire et les marches aléatoires sur des réseaux stratifiés orientés modélisant le déplacement d’un liquide dans un milieu poreux stratifié.

Les modèles présentés ici sont des modèles probabilistes. Il sera donc utile de se rappeler qu’une probabilité mesure la chance qu’a un événement de se produire.
La probabilité qu’a un événement $A$ de se produire est un nombre $P(A)$ compris entre $0$ (=0%) et $1$ (=100%).

  • $P(A)=0$ signifie que l’événement $A$ ne se produit jamais.
  • $P(A)=1$ signifie que l’événement $A$ se produit toujours.

Précisions pour les lecteurs

Précisions pour les lecteurs plus avancés dans la théorie des probabilités :

on aurait dû ajouter ici le mot « presque » et écrire « presque jamais » au lieu de « jamais » et « presque toujours » au lieu de « toujours ».

Marches aléatoires (MA) en dimensions 1 et 2

Considérons un marcheur se déplaçant au hasard sur des sites placés sur une droite et numérotés par $....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$.
Un marcheur se trouve au temps 0 à l’origine 0 et se déplace de la manière suivante : à chaque instant, il lance un dé et se déplace en fonction
du résultat du dé :

  • s’il obtient « 1 ou 2 », il va se placer sur le site situé à droite de sa position,
  • s’il obtient « 3 ou 4 », il va se placer sur le site situé à gauche de sa position,
  • s’il obtient « 5 ou 6 », il ne bouge pas.

On note $S_n$ la position du marcheur à l’instant n (en numérotant les sites comme sur la figure).

Exemple : si les sept premiers lancers de dé donnent 6, 2, 5, 6, 1, 5, 4, le marcheur se déplace de la manière suivante :
  • à l’instant 0, le marcheur est en $S_0=0$,
  • à l’instant 1, le lancer de dé donne 6, donc le marcheur reste sur
    place et $S_1=0$,
  • à l’instant 2, le lancer de dé donne 2, donc le marcheur va sur le site de droite et
    $S_2=1$,
  • à l’instant 3, le lancer de dé donne 5, donc le marcheur reste sur
    place et $S_3=1$,
  • et ainsi de suite : $S_4=1$, $S_5=2$, $S_6=2$ et $S_7=1$.

Ce modèle est une marche aléatoire en dimension 1. On peut aussi s’intéresser à des marches en
dimension supérieure, par exemple à la « marche aléatoire simple » en dimension 2 (le marcheur se déplace
sur les quatre sites voisins avec une chance sur 4 pour chaque site [1]).

Récurrence/transience : le problème du retour à l’origine

De nombreuses questions se posent concernant les marches aléatoires décrites ci-dessus. On peut notamment se demander quelle est la probabilité que le marcheur revienne à son point de départ.

Si cette probabilité est 1, on dit que la marche considérée est récurrente. Dans ce cas, on peut montrer que le marcheur reviendra une infinité de fois à l’origine (avec probabilité 1).

Si cette probabilité n’est pas 1, on dit que la marche est transiente. Dans ce cas, on peut montrer que le marcheur ne reviendra à l’origine qu’un nombre fini de fois (avec probabilité 1).

Un critère

La propriété de récurrence/transience est reliée à la probabilité $P(S_n=0)$ que le marcheur soit revenu à son point de départ à l’instant $n$. La marche sera d’autant plus transiente que la probabilité $P(S_n=0)$ tend vite vers 0. Plus précisément, on peut montrer que la transience de la marche est équivalente au fait que la suite
$(P(S_1=0)+P(S_2=0)+...+P(S_n=0))_n$ admette une limite finie.

Précisions :

La somme $P(S_1=0)+...+P(S_n=0)$ est égale au nombre moyen de passages du marcheur à l’origine entre les instants 1 et n. Si la suite croissante $(P(S_1=0)+P(S_2=0)+...+P(S_n=0))_n$ admet une limite finie, cela signifie que le promeneur ne retourne à l’origine qu’un nombre fini de fois (avec probabilité 1) et donc que la marche est transiente.La réciproque n’est pas évidente.

Par exemple, si $P(S_n=0)$ « se comporte comme » $n^{-a}$ avec $a>1$, la marche est transiente et si $P(S_n=0)$ « se comporte comme » $n^{-a}$ avec $a\le 1$, la marche est récurrente.

Se comporter comme...

On est ici confronté au problème suivant : il est facile de voir que pour la marche simple en dimension 2, $P(S_n=0)=0$ si $n$ est impair et $P(S_n=0)>0$ si $n$ est pair.

On dira donc ici que $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-a}$ si il existe un entier $r\ge 1$ tel que

  • si n n’est pas multiple de $r$, alors $P(S_n=0)=0$
  • et si la suite $(P(S_{rn}=0)/n^{-a}=n^aP(S_{rn}=0))_n$ admet une limite finie non nulle.

Avec cette définition, si $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-a}$, alors la suite $(P(S_1=0)+P(S_2=0)+...+P(S_n=0))_n$ converge si et seulement si la suite $(1^{-a}+2^{-a}+....+n^{-a})_n$ converge. La suite $(1^{-a}+2^{-a}+....+n^{-a})_n$ correspond à une série de Riemann. Un argument d’analyse permet ensuite de montrer que cette suite converge si et seulement si $a>1$.

Si $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-a}$ avec $a>1$, la suite $(P(S_1=0)+P(S_2=0)+...+P(S_n=0))_n$ admet une limite finie et donc la marche aléatoire est transiente.

Si $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-a}$ avec $a\le 1$, la suite $(P(S_1=0)+P(S_2=0)+...+P(S_n=0))_n$ diverge vers $+\infty$ et donc la marche aléatoire est récurrente.

Les calculs de Pólya (1921) montrent que, pour la marche ci-dessus, $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-1/2}$ et que, pour la marche simple en dimension 2, cette probabilité se comporte comme $n^{-1}$. Donc ces deux marches sont récurrentes (d’après le critère ci-dessus).

Promenade aléatoire en paysage aléatoire (PAPA)

Considérons à nouveau notre marcheur en dimension 1.
Avant que notre marcheur ne commence sa promenade, on associe au hasard
à chaque site la valeur 1 ou la valeur -1 (pour chaque site, on tire à pile ou face ; si on obtient pile la valeur est 1, si on obtient face la valeur est -1), ces valeurs sont fixées ainsi une fois pour toutes.
Imaginons maintenant que ce marcheur reçoit en récompense à chaque visite au site $k$ la valeur associée à ce site.
Sommons les récompenses collectées par notre marcheur le long de son périple avant le
temps $n$, que peut-on dire sur cette somme ?

Notons $Z_n$ la somme totale gagnée à l’instant $n$. Ce processus est
appelé Promenade aléatoire en paysage aléatoire (en abrégé PAPA),
le paysage aléatoire étant la suite des récompenses (aléatoires).

Exemple : dans l’exemple présenté sur la figure, les sites -2, 1 et 2 ont la valeur 1 et les sites -3, -1, 0 et 3 ont la valeur -1. supposons à nouveau que les premiers lancers du dé du marcheur donnent 6, 2, 5, 6, 1, 5, 4. Alors la somme détenue par le marcheur aux sept premiers instants est :
  • $Z_0=0$ (au départ),
  • $Z_1=-1$ (car le marcheur est en $S_1=0$, il gagne donc la valeur -1 associée
    au site 0),
  • $Z_2=0$ (car le marcheur gagne la valeur 1 associée au site $S_2=1$),
  • et ainsi de suite :
    $Z_3=1$, $Z_4=2$, $Z_5=3$, $Z_6=4$, $Z_7=5$.

Ce modèle a été introduit en 1979 de manière indépendante d’une part par Kesten et Spitzer [2] et d’autre part par Borodin [3].

En 2011, il a été démontré dans [4] que $P(Z_n = 0)$ se comporte comme $n^{-3/4}$.

Plusieurs problèmes concernant les PAPA restent non résolus. Par exemple, on ne sait toujours pas
aujourd’hui estimer la probabilité que le premier retour de $(Z_n)_n$ en 0 ait lieu après l’instant $n$. Il est
conjecturé qu’elle se comporte en $n^{-1/4}$.

Dans la suite, il sera utile de considérer la variante suivante de la PAPA (dont le comportement est analogue) : on suppose à présent que le marcheur ne gagne la récompense du site qu’il visite que lorsqu’il reste sur place. On note $X_n$ la somme des récompenses ainsi gagnées à l’instant $n$.

Exemple : considérons encore le cas de l’exemple présenté sur la figure précédente (les sites -2, 1 et 2 ayant la valeur 1 et les sites -3, -1, 0 et 3 ayant la valeur -1) et supposons à nouveau que les premiers lancers du dé du marcheur donnent 6, 2, 5, 6, 1, 5, 4. Alors, la somme détenue par le marcheur aux premiers instants est :
  • $X_0=0$ (au départ),
  • $X_1=-1$ (car le marcheur reste sur place donc gagne la valeur -1
    associée au site $S_1=0$),
  • $X_2=-1$ (car le marcheur se déplace donc ne gagne rien),
  • et ainsi de suite : $X_3=0$, $X_4=1$, $X_5=1$, $X_6=2$, $X_7=2$.

Marches aléatoires sur un réseau avec stratifications orientées (MARSO)

En dimension 2, on place des sens interdits sur les droites horizontales ; c’est-à-dire qu’on les
oriente soit vers la gauche, soit vers la droite, les droites verticales ne sont pas
orientées. On considère un marcheur partant de l’origine et se déplaçant au hasard, à chaque pas : vers le haut (si le lancer de dé donne « 1 ou 2 »), vers le bas (si le lancer de dé donne « 3 ou 4 ») ou dans la seule direction horizontale autorisée (si le lancer de dé donne « 5 ou 6 »).

Le premier modèle de MARSO que nous considérons est celui avec orientation périodique (MARSOP).

Le second modèle de MARSO est celui avec orientation aléatoire (MARSOA), dans lequel l’orientation de chaque ligne
horizontale a été choisie en tirant à pile ou face.

Alors que le premier modèle (MARSOP) se comporte de manière analogue à la marche aléatoire simple en dimension 2 et est en particulier
récurrent, le second modèle (MARSOA) est transient, ce qui signifie que l’on ne revient au point de départ qu’un nombre fini de fois. Ceci a été mis en évidence par Campanino et Pétritis dans [5] et présenté par Schapira dans [6].

Ce comportement différent de la MARSOA s’explique par le lien de ce modèle avec une PAPA. Notons $M_n$ la position à l’instant $n$ d’un marcheur dans ce modèle.

Remarquons que la position verticale à l’instant $n$ correspond au $S_n$ de la marche en dimension 1. En effet, le marcheur se déplace vers le haut quand le lancer de dé donne « 1 ou 2 », vers le bas lorsque le lancer de dé donne « 3 ou 4 » et reste sur la même ligne horizontale si le lancer de dé donne « 5 ou 6 ».

D’autre part, la position horizontale à l’instant $n$ correspond au $X_n$ de la variante de la PAPA. En effet, la position horizontale ne change pas si le marcheur change de ligne horizontale ; si le marcheur ne change pas de ligne horizontale, la position horizontale augmente de 1 si la ligne est orientée vers la droite et diminue de 1 si la ligne est orientée vers la gauche.

Exemple : l’exemple de MARSOA représenté sur la figure ci-dessus correspond à l’exemple donné pour les PAPA : les droites horizontales -2, 1 et 2 sont orientées vers la droite (cela correspondait à la valeur 1 dans le cas des PAPA) et les droites horizontales -3, -1, 0 et 3 sont orientées vers la gauche (cela correspondait à la valeur -1 dans le cas des PAPA). Pour cet exemple et toujours avec les lancers de dé 6, 2, 5, 6, 1, 5, 4, le marcheur suit la trajectoire bleue dessinée sur la figure et se déplace donc de la manière suivante :
  • au départ, sa position verticale est $S_0=0$ et sa position horizontale est $X_0=0$,
  • à l’instant 1, il se déplace horizontalement, donc sa position verticale ne change pas $S_1=0$ et il se déplace dans le sens de l’orientation c’est à dire vers la gauche. Sa position horizontale est donc bien $X_1=-1$,
  • à l’instant 2, il se déplace vers le haut, donc sa position verticale est $S_2=1$ et sa position horizontale est inchangée et est $X_2=-1$,
  • et ainsi de suite, ses positions verticales successives aux instants 3 à 7 sont bien :
    $S_3=1$, $S_4=1$, $S_5=2$, $S_6=2$, $S_7=1$ ; et ses positions horizontales successives aux temps 3 à 7 sont bien : $X_3=0$, $X_4=1$, $X_5=1$, $X_6=2$, $X_7=2$.

Dire que le marcheur est revenu à son point de départ à l’instant $n$ signifie que $M_n=0$, c’est-à-dire que $S_n$ et $X_n$ sont tous deux nuls.
Rappelons que $P(S_n=0)$ se comporte comme $n^{-1/2}$ et que $P(X_n=0)$ se comporte comme $n^{-3/4}$. Il a été démontré en 2011 dans [4] que $P(M_n=0)=P(X_n=S_n=0)$ se comporte comme $n^{-1/2}\times n^{-3/4}=n^{-5/4}$. Ceci redonne la transience de la MARSOA (comme $5/4>1$ et en utilisant le critère de transience donné dans le paragraphe sur la récurrence/transience).

Un modèle d’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux stratifié

En hydrologie, de nombreux modèles mathématiques ont été proposés afin de modéliser l’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux. Nous présentons ici le modèle introduit dans [7] par Matheron et de Marsily. Le modèle de MARSOA, présenté ci-dessus et introduit par Bouchaud, Georges, Koplik, Provata et Redner dans [8], en est une version discrète simplifiée.

Un milieu poreux (couche de terrain, roche, ...) peut être vu comme un ensemble de grains solides (sables, graviers, ...) autour desquels existent des espaces vides appelés pores, qui peuvent être connectés ou non.
Il est dit stratifié lorsqu’il est divisé en zones reflétant la porosité du milieu.

Lorsque le soluté (par exemple un polluant ou un traceur) pénètre dans le milieu, il est transporté par l’eau présente dans la partie poreuse. Il va alors être soumis au cours du temps à des vitesses dépendant des différentes strates visitées par le liquide.

Matheron et de Marsily proposent un modèle bi-dimensionnel, dans lequel ces vitesses sont aléatoires, horizontales et constantes sur chaque strate (horizontale).

Ces derniers montrent le comportement sur-diffusif de leur modèle, qui se traduit par la transience de la MARSOA.

Précisions :

les hydrologistes s’intéressent particulièrement à l’évolution dans le temps de la concentration $c$ du soluté. Dans le modèle de Matheron et de Marsily, celle-ci est donnée comme la solution de l’équation aux dérivées partielles (aléatoire) suivante
\[ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 c}{\partial y^2}-v(y) \frac{\partial c}{\partial x} =\frac{\partial c}{\partial t}\]
Elle est égale à la probabilité de trouver le polluant au point $(x,y)$ au temps $t$, soit à la loi du couple
\[ \left\{\begin{array} {ll} X_t = B_t^{(1)} +\int_0^t v (Y_s) ds\\ Y_t = B_t^{(2)} \end{array} \right. \]
$(B^{(1)}_t)_t$ et $(B^{(2)}_t)_t$ sont ici deux mouvements Browniens indépendants et $(v(y))_{y\in R}$ est le champ de
vitesse (aléatoire) constant sur tout intervalle $[y; y + 1]$.
Le modèle est sur-diffusif au sens où la distance parcourue jusqu’au temps $t$ se comporte comme $t^\alpha$ avec $\alpha>1/2$.

Une question importante dans ce type de modèle est la persistance, c’est-à-dire le temps mis par le soluté pour atteindre une zone prédéterminée (par exemple une droite verticale). Ce problème correspond exactement au problème du temps d’atteinte d’une valeur donnée par la PAPA.

Références

[1] F. Pène (2011) Marches aléatoires et modèle de Lorentz : une approche de la théorie du chaos

[2] H. Kesten, F. Spitzer (1979) A limit theorem related to a new class of self-similar processes. Z. Wahrsch. Verw.
Gebiete 50 (1979), No. 1, 5 - 25.

[3] A. N. Borodin (1979) A limit theorem for sums of independent random variables defined on a recurrent random
walk.
(Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 246, No. 4, 786 - 787.

[4] F. Castell, N. Guillotin-Plantard, F. Pène, Br. Schapira (2011) A local limit theorem for random walks in random scenery and on randomly oriented lattices.
Annals of Probability, Vol. 39, No 6, 2079 - 2118.

[5] M. Campanino, D. Pétritis (2003) Random walks on randomly oriented lattices. Markov Processes and Related Fields, 9, 391 - 412.

[6] Br. Schapira (2011) Des marches aléatoires pas comme les autres

[7] G. Matheron, G. de Marsily (1980) Is transport in porous media always diffusive ? A counterexample. Water resources research, Vol. 16, No 5, 901 - 917.

[8] J.P. Bouchaud, A. Georges, J. Koplik, A. Provata, S. Redner (1990) Superdiffusion in random velocity fields. Phys. Rev. Lett. 64, 2503 - 2506.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et les auteurs remercient, pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Aurélien Djament
Raphaël et régis Goiffon.

Article édité par Frédéric Le Roux

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Pour citer cet article :

Nadine Guillotin-Plantard, Françoise Pène — «Les PAPAS» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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