Les aiguilles tournent, le mystère demeure

La conjecture de Kakeya

Piste bleue 21 septembre 2014  - Ecrit par  Vincent Borrelli, Jean-Luc Rullière Voir les commentaires (10)

Une question anodine datant de 1917 et concernant la « plus petite surface du plan à l’intérieur de laquelle on puisse retourner une aiguille » va nous conduire jusqu’aux nombres premiers.

La question semble idiote. Du genre de celles qu’on imagine tout droit sorties d’un esprit tordu et désœuvré : quelle est la plus petite figure du plan à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ?

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Le disque, une solution « évidente »...

Méfiance cependant. L’implacable dictature des évidences pourrait nous tromper une fois de plus : le disque dont le diamètre est l’aiguille n’est pas la bonne réponse. Il permet certes le renversement de l’aiguille mais d’autres figures plus économes l’autorisent également ; le triangle de Reuleaux par exemple

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Le retournement d’une aiguille dans un triangle de Reuleaux : l’aire balayée est plus petite que celle d’un disque de diamètre l’aiguille

ou encore un triangle dont la hauteur est l’aiguille.

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Ce triangle possède une aire plus petite que celle du triangle de Reuleaux

Le calcul des aires

On convient que la longueur de l’aiguille vaut l’unité. L’aire d’un disque dont le diamètre est l’aiguille est donc \[\pi\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\pi}{4}=0,785...\]
L’aire du triangle de Reuleaux s’obtient au moyen d’une décomposition en formes élémentaires.

Cette décomposition fait apparaître un demi-disque d’aire $\frac{\pi}{2}$ et deux triangles équilatéraux de côté 1 dont chacun a une aire égale à $\frac{\sqrt{3}}{4}.$ L’aire du Reuleaux est donc : \[\frac{\pi-\sqrt{3}}{2}=0,704...\]
Cette aire est effectivement plus petite que celle du disque.
Quant à l’aire d’un triangle équilatéral dont la hauteur est l’aiguille, c’est le quotient
du carré de sa hauteur par le nombre $\sqrt{3},$ elle vaut donc
\[\frac{1^2}{\sqrt{3}}=0,577...\]
ce qui est bien inférieur à 0,704...

Une question qui pique l’intérêt

A défaut d’être exaltante de profondeur ou de transcendance, la question ne se laisse pas résoudre instantanément. Loin de là. Le champ des figures possibles est infini et trouver la plus petite d’entre elles est une véritable gageure. Pourtant, assez rapidement, un candidat semble s’imposer : la deltoïde. Il s’agit d’une sorte de triangle amaigri dont la forme générale rappelle la lettre grecque Delta. Il se dessine naturellement lorsque l’on suit un point du bord d’un disque roulant intérieurement sur contour d’un disque trois fois plus grand.

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Un mécanisme à deux roulettes permettant le retournement d’une aiguille dans une deltoïde

Non seulement l’aiguille peut se retourner dans une telle figure mais le mouvement lui-même est incroyablement optimisé. Pendant que les deux extrémités de l’aiguille se meuvent chacune sur un arc, un point intermédiaire vient s’appuyer sur la troisième portion de la deltoïde. A ce mouvement remarquable s’ajoute une coïncidence intrigante : la surface de cette deltoïde est exactement la moitié de celle du disque ayant pour diamètre l’aiguille.

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Soïchi Kakeya et un texte de sa main : « Smallest domain of revolution »

En dépit de ces propriétés, démontrer que la deltoïde est la figure optimale ne s’avère pas facile du tout et le problème va sérieusement irriter bon nombre de mathématiciens. Énoncée en 1917 par le japonais Soïchi Kakeya, la question du retournement de l’aiguille acquiert en quelques années une popularité surprenante pour être considérée, dès 1925, comme la question non résolue des mathématiques la plus fascinante après le théorème des quatre couleurs [1]. Sa réputation finira par atteindre les oreilles d’un mathématicien russe que la tourmente de la révolution d’octobre avait effacé quelque peu, Abram Besicovich. Au cours de ses recherches sur l’intégrale de Riemann, il avait construit des ensembles mathématiques étranges qui allaient donner à la question de Kakeya une réponse totalement inattendue.

Les constructions insaisissables de Besicovich

Cette réponse inopinée va découler de la conjonction troublante de deux propriétés des ensembles de Besicovich. D’une part, ils contiennent l’aiguille dans toutes les directions du plan et d’autre part, ils ne recouvrent aucune aire. Il est facile d’imaginer des figures géométriques qui ne recouvrent aucune aire ; par exemple un point ou encore une aiguille font l’affaire, mais se représenter mentalement une figure d’aire nulle qui contient une vertigineuse infinité de segments... c’est une autre affaire ! En réalité, les ensembles de Besicovich sont d’une telle complexité qu’il est impossible de les représenter. Il nous faudra donc, pour le reste de notre propos, les improviser comme des objets abstraits.

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Représentation schématique d’un ensemble de Besicovich.

Il y a cependant une subtile différence entre ce que réclame la question de Kakeya et ce qu’offrent les figures de Besicovich : dans ces dernières, on ne peut pas retourner l’aiguille, on peut simplement la disposer dans n’importe quelle position. Pour que l’aiguille puisse effectivement se déplacer continûment, Besicovich doit modifier sa construction initiale en y rajoutant de nombreuses extensions. Ceci a pour effet de créer de nouvelles figures qui permettent le retournement de l’aiguille mais dont la surface n’est plus nulle. Toutefois, parmi toutes ces nouvelles figures, il s’en trouve certaines qui ont des aires extrêmement petites. Mieux, pour tout nombre aussi petit soit-il —mais non nul— on y trouve des figures dont l’aire est plus petite que ce nombre. D’où la réponse surprenante de Besicovich à la question de Kakeya : on peut retourner une aiguille dans une figure dont l’aire est aussi petite que l’on veut !

Dimension fractale

Nous sommes alors en 1928. La question de Kakeya n’a donc survécu que onze petites années aux assauts des mathématiciens. Elle serait probablement oubliée aujourd’hui, si tel un Phœnix, elle n’avait resurgi de ses cendres. Comment ? Grâce à deux mots magiques : dimension fractale. Deux mots qui vont révéler que les ensembles de Besicovich sont encore plus stupéfiants qu’ils n’y paraissent...

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Des objets d’aire nulle et de dimension croissante
De gauche à droite et de haut en bas : l’île de Gosper, l’empilement d’Apollonius, le flocon, une variation autour du triangle de Sierpiński et enfin deux bouquets en couronnes, l’un pentagonal, l’autre heptagonal.

La dimension fractale est une généralisation de la notion de dimension, une grandeur qui, contrairement à la dimension habituelle, se permet de n’être pas toujours un nombre entier. Cette grandeur mesure la façon dont un objet occupe l’espace dans lequel il vit, elle est d’autant plus élevée que cet objet remplit l’espace densément. Une exploration du monde des objets d’aire nulle —monde auquel appartiennent les ensembles de Besicovich— permet de se convaincre rapidement de l’intérêt de cette notion. Un promeneur qui partirait d’un point intérieur pour se diriger vers la frontière de ce monde abstrait verrait des figures tout d’abord très éthérées puis de plus en plus épaisses au fur et à mesure de sa progression. Une fois passée la frontière, il basculerait dans un monde où les objets sont si épais qu’ils en deviennent bidimensionnels, tels le disque ou un triangle plein.

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Un voyageur (sportif !) se dirigeant vers la frontière du monde des objets d’aire nulle
Les objets de dimension un, tels un segment ou une courbe, ont une aire nulle. Les objets usuels de dimension deux, tels le disque ou un triangle plein, ont une aire non nulle. Certains objets singuliers peuvent à la fois être de dimension deux et avoir une aire nulle. Ils habitent à la frontière du monde des objets d’aire nulle.

Si, au cours de son périple, le promeneur mesure la dimension fractale des objets rencontrés, il constatera que celle ci augmente graduellement passant de 1,12 pour l’île de Gosper à 1,83 pour le bouquet en couronne. De l’autre côté de la frontière, il observera que cette dimension vaut deux pour le disque ou un triangle plein, et plus généralement pour tous les objets qu’il croisera. Qu’en est-il pour les ensembles de Besicovich ? La question ne sera tranchée qu’en 1971 par le mathématicien Roy Davies : toute figure qui contient l’aiguille dans toutes les directions de l’espace possède une dimension fractale exactement égale à deux. Ainsi, les ensembles de Besicovich ne se dispersent pas au hasard dans le vaste monde des objets d’aire nulle. Ils se rangent sagement le long de sa frêle frontière au contact direct des objets bidimensionnels.

En savoir plus sur la dimension fractale

Le terme de dimension fractale recouvre plusieurs façons différentes de généraliser la notion de dimension. Nous allons donner une idée informelle de l’une d’entre elles, la dimension de Hausdorff. Le point de départ consiste à recouvrir l’objet dont on veut définir la dimension par des objets dont on contrôle la taille, par exemple des disques (si on est dans le plan) ou des sphères pleines (si on est dans l’espace).

Dans les illustrations ci-dessus, un segment de longueur un est recouvert par des disques dont les rayons sont divisés par deux d’un dessin à l’autre : d’abord $\frac{1}{2}$, puis $\frac{1}{4}$ et enfin $\frac{1}{8}.$ En conséquence, le nombre de disques nécessaires au recouvrement augmente, il est successivement égal à 1, puis 2, puis 4. Si l’on continue le procédé, la taille des rayons tend à devenir nulle et le nombre de disques se multiplie à l’infini. L’observation importante, c’est que le produit du rayon $r$ et du nombre de disques $N(r),$ lui, reste stable :
\[N(r)\times r=1\times\frac{1}{2}=2\times\frac{1}{4}=4\times\frac{1}{8}=...=\frac{1}{2}\]
La raison de cette stabilité est évidente, un disque de rayon $r$ recouvre une portion de longueur $2r$ sur le segment, le nombre de disques nécessaires au recouvrement du segment est donc inversement proportionnel à $2r.$ Si l’on entreprend une démarche similaire avec un carré de côté 1, le nombre minimal de disques requis pour le recouvrir sera de l’ordre de $\frac{1}{\pi r^2}$ puisque
chaque disque de rayon $r$ couvre une surface de $\pi r^2.$ Le produit
\[N(r)\times r^2\]
ne sera certes pas constant, mais il variera peu au fur et à mesure que $r$ deviendra petit. Autrement dit, la limite de ce produit quand $r$ tend vers zéro existe et elle est finie et non nulle. Pour un objet géométrique du plan plus compliqué qu’un segment ou qu’un disque — une figure de Besicovich par exemple — la démarche est la même mais en général le nombre $N(r)$ n’est pas inversement proportionnel à $r$ ou à $r^2.$ On dit que l’objet en question a une dimension de Hausdorff égale à $d$, où $d$ est un nombre entre 0 et 2, si l’on peut montrer que le produit
\[N(r)\times r^d\]
a une limite finie et non nulle quand le rayon $r$ décroît vers 0. Il existe néanmoins des objets pour lesquels une telle démarche n’aboutit pas et c’est la raison pour laquelle il est en réalité nécessaire de modifier l’approche que nous avons suivie pour définir rigoureusement la dimension de Hausdorff. Le lecteur intéressé pourra se reporter à la page Wikipédia correspondante.

La conjecture de Kakeya

Que se passe-t-il si, au lieu de se restreindre aux figures planes, on considère le problème dans l’espace tridimensionnel ? Dans ce cadre, il est moins évident de formuler la question de Kakeya en terme de retournement de l’aiguille. En revanche, à condition d’abandonner le mouvement pour ne s’intéresser qu’aux positions, il devient possible de poser une question nouvelle et pertinente ; une question dont l’énoncé rappelle celle que Besicovich avait initialement traitée : quel est le plus petit objet de l’espace tridimensionnel qui contient une aiguille dans toutes les directions ?

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La sphère pleine et le tétraèdre contiennent l’aiguille dans toutes les directions de l’espace

Il est aisé, à partir des ensembles de Besicovich, de construire des objets dont le volume est nul et qui contiennent l’aiguille dans toutes les directions. On est donc rapidement conduit à une interrogation similaire à celle du cas planaire : ces objets se répartissent-ils au hasard dans le monde des objets de volume nul où se placent-ils comme leurs frères bidimensionnels docilement sur la frontière ? En d’autres termes, quelle est leur dimension fractale ? La question est loin d’être facile. En effet, la détermination d’une dimension fractale est une opération subtile et difficile à mettre en œuvre, tellement difficile que personne n’en est jusqu’à présent venu à bout pour ce type d’objets. La plupart des spécialistes pensent néanmoins que leur dimension fractale vaut trois, autrement dit, que ces objets sont précisément localisés sur la frontière. Cette conviction est affirmée au travers d’une conjecture dite « de Kakeya ». Puisqu’il n’y a aucune difficulté formelle à généraliser le problème aux espaces de dimension plus grande, quatre, cinq, six,... la réponse que formule la conjecture concerne toutes les dimensions.

Conjecture de Kakeya. – La dimension fractale d’un objet qui contient l’aiguille dans toutes les directions d’un espace de dimension quelconque est égale à la dimension de cet espace.

Cette conjecture, qui n’est qu’une généralisation directe du résultat de Roy Davies des années 70, s’obstine à résister aux mathématiciens. Après des années d’effort, elle n’est encore résolue pour aucune dimension plus grande que deux. En dimension trois, Thomas Wolff a montré en 1995 que la dimension d’un objet qui contient l’aiguille dans toutes les directions est au minimum égale à 2,5. Ce résultat a été amélioré en 2000 par Nets Katz, Izabella Laba et Terence Tao qui ont porté ce minimum jusqu’à la valeur de... 2,5000000001 ! Et l’on n’a pas fait mieux depuis. Les autres dimensions sont tout aussi rétives. Par exemple en dimension 100, le meilleur minimum connu vaut 59,23 ce qui est à peine plus de la moitié de la valeur prédite par la conjecture.

Une conjecture saugrenue ?

Au delà de la difficulté de cette conjecture et des résultats obtenus jusqu’à présent, une question naturelle et un brin iconoclaste se pose : quelle mouche a bien pu piquer les mathématiciens pour qu’ils acceptent de dépenser du temps et de l’énergie sur une simple aiguille ? Une mouche aventurière, exploratrice de tous les continents mathématiques assurément. En effet, au cours de leur étude, les mathématiciens ont mis à jour de surprenantes connexions entre la question de Kakeya et d’autres domaines des mathématiques portant des noms plus ou moins exotiques : l’« analyse harmonique », l’« équation des ondes », les « séries de Dirichlet », etc. Ces connexions montrent que non seulement la conjecture de Kakeya n’est pas isolée mais qu’elle semble se situer à un carrefour de plusieurs routes la reliant à d’autres conjectures illustres. C’est l’existence de telles routes, souvent dissimulées, toujours inattendues, qui provoque l’imagination et suscite un intérêt considérable pour le problème de Kakeya.

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C. Fefferman, T. Gowers, J. Bourgain et T. Tao

L’histoire de la découverte de ces routes est tout à fait passionnante et elle met en scène d’éminents mathématiciens comme Charles Fefferman (médaille Fields en 1978), Jean Bourgain (médaille Fields en 1994), Timothy Gowers (médaille Fields en 1998) ou Terence Tao (médaille Fields en 2006). Et surtout, elle regorge de rebondissements. Le dernier en date remonte à 2009. Le mathématicien Zeev Dvir, en réussissant l’exploit de démontrer un analogue de la conjecture de Kakeya dans le cadre des « corps finis », a permis la découverte d’une nouvelle route joignant l’aiguille de Kakeya au problème de la « génération de nombres aléatoires ».

Encore plus récemment, le prestigieux Prix Abel a été attribué à un mathématicien dont l’un des plus grands résultats n’est pas sans lien avec la question de Kakeya. Il s’agit de Endre Szemerédi et le résultat en question concerne les progressions arithmétiques. Une progression arithmétique est un ensemble de nombres également espacés, comme 5, 11, 17, 23, 29 ou encore 359, 389, 419, 449, 479, 509. Elles sont très recherchées notamment dans l’étude des nombres premiers car elles semblent témoigner de la présence d’un peu d’ordre dans le chaos apparent de leur répartition. Par exemple, si l’on range les nombres par paquets de six et que l’on figure en ocre les nombres premiers, ceux-ci se rangent sagement le long de barrettes qui sont autant de progressions arithmétiques.

En particulier, la barrette isolée dans le tableau ci-dessus fait réapparaître notre premier exemple de progression arithmétique. Un tableau à 30 lignes permettrait de retrouver le second exemple. Ce second exemple possède six nombres, si l’on veut le poursuivre, il faudrait rajouter 539 mais ce nombre n’est pas premier (49x11). Peut-on trouver des progressions arithmétiques de nombres premiers aussi longues que l’on veut ? La question est très ancienne et elle est réputée pour sa difficulté. Le fameux résultat de Szemerédi porte précisément sur l’existence de progressions arithmétiques de toute taille mais sur d’autres ensembles que celui des nombres premiers. A priori, aucun rapport avec la question de Kakeya donc. Et pourtant... Longtemps après, le résultat de Szemerédi inspire un autre mathématicien, Gowers, qui le redémontre à sa façon. Cette nouvelle démonstration tombe ensuite entre les mains de Bourgain qui prend conscience qu’elle peut s’adapter pour fournir des valeurs minimums aux dimensions fractales des ensembles qui contiennent une aiguille dans toutes les directions. Une route joignant le problème de Kakeya à celui des progressions arithmétiques venait d’être découverte !

Un lieu incertain

Qu’en est-il de la question de l’existence de progressions arithmétiques de nombres premiers de toute taille ? On connaît la réponse depuis 2004... et elle est positive. Ce résultat magnifique est dû à Ben Green et Terence Tao. Leur démonstration s’inspire de l’approche de Szemerédi mais elle n’emprunte pas la fameuse route Gowers-Bourgain.

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Endre Szemerédi et Natalie Barney

Pour être franc, la force du lien entre le problème de Kakeya et les progressions arithmétiques reste encore aujourd’hui bien incertaine. Plus généralement, les routes qui semblent parfois relier deux domaines des mathématiques à travers la question de Kakeya ne sont jamais directes. Elles demeurent tout à la fois ténébreuses et hasardeuses. Le doute est donc permis. N’est-on pas trop optimiste en imaginant tant de vertu à la question de Kakeya ? Ne ferait-on pas mieux de concentrer les énergies sur des voies plus classiques ? Personne ne peut le dire mais comme l’écrit la poétesse Natalie Barney [2], c’est parfois une bassesse que de placer son espoir en lieu sûr [3].

Post-scriptum :

Merci à Shalom Eliahou, Quentin Gendron, Bruno Martin, Sébastien Martinez et Walter pour leur relecture et leurs commentaires. Un des relecteurs nous a fait découvrir un jeu vidéo où il est question de faire tourner une aiguille...

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1George Birkhoff, The Origin, Nature and Influence of Relativity

[2La citation de Natalie Barney figure dans le passage Entre les routes de l’ouvrage Pensées d’une Amazone.

[3Le lecteur intéressé par cette conjecture pourra trouver plus de détails dans l’ouvrage en téléchargement libre En cheminant avec Kakeya

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Pour citer cet article :

Vincent Borrelli, Jean-Luc Rullière — «Les aiguilles tournent, le mystère demeure» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - L’horloge astronomique de la cathédrale de Chartres, photo extraite de ce site
Endre Szemerédi et Natalie Barney - Pour la photo de Szemerédi, pour celle de Barney
C. Fefferman, T. Gowers, J. Bourgain et T. Tao - Photos piochées dans les pages wiki et/ou professionnelles des quatre mathématiciens en question
Soïchi Kakeya et un texte de sa main : « Smallest domain of revolution » - Le portrait provient de cette page et la page manuscrite de celle-ci

Commentaire sur l'article

  • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

    le 29 octobre 2015 à 15:32, par Marc JAMBON

    A partir du paragraphe

    Les constructions inssaisisables de Besicovich,

    tout est effectivement insaisissable !

    Répondre à ce message
    • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

      le 29 octobre 2015 à 18:26, par Vincent Borrelli

      L’article est en effet plus difficile à lire à partir de ce paragraphe. Nous en sommes bien désolés. Il a beaucoup d’idées et peu de place pour les exposer. Nous avons écrit un ouvrage sur la question de Kakeya qui est en téléchargement gratuit ici. Nous vous invitons à y jeter un oeil. Le chapitre 6 est entièrement consacré à la construction de Besicovich et les chapitres suivants expliquent en détail la conjecture de Kakeya. Bonne lecture !

      Répondre à ce message
  • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

    le 30 octobre 2015 à 14:53, par Marc JAMBON

    A partir du paragraphe

    Les constructions insaisissables de Besicovich,

    tout est effectivement insaisissable !

    Merci de m’avoir répondu une première fois.

    Le problème posé initialement a apparemment une nature physique. Toutefois une aiguille d’épaisseur nulle n’a aucune réalité physique. Pour être convaincant, il y aurait lieu de résoudre le problème pour une aiguille de longueur a, a > 0, et d’épaisseur b, b > 0, b arbitrairement petit pouvant tendre ensuite vers 0. Les trois premières propositions de votre article s’accommodent très bien de cette méthode.

    Qu’en est-il de la suite qui reste pour le moment insaisissable ?

    Au passage, je vous signale que, contrairement à ce que vous annoncez : je vous cite

    « l’ouvrage sur la question de Kakeya qui est en téléchargement gratuit ici »

    n’est en fait pas téléchargeable gratuitement.

    Répondre à ce message
    • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

      le 30 octobre 2015 à 17:21, par Vincent Borrelli

      Passionnante question ! Il est fréquent que les mathématiciens présentent leurs problèmes sous un déguisement physique pour ne les étudier ensuite que sous une forme idéalisée. Dans le problème de Kakeya, si on donne une épaisseur à l’aiguille la construction de Besicovich ne produit évidemment plus un ensemble d’aire nulle. Toutefois, la démarche consistant à imaginer une réelle épaisseur à l’aiguille puis à faire tendre cette épaisseur vers zéro reste très naturelle même pour étudier une situation idéalisée. En particulier, elle est effectivement utilisée pour déterminer la dimension fractale des ensembles de Besicovich. Nous abordons cette question dans le dernier chapitre de l’ouvrage. Le sujet étant relativement technique, nous ne décrivons que les idées générales.

      Le livre est bel et bien en téléchargement libre. Il faut cliquer sur l’inscription « Version PDF gratuite » (sous la vignette représentant la couverture).

      Bien cordialement.

      Répondre à ce message
  • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

    le 2 novembre 2015 à 16:25, par Marc JAMBON

    J’ai lu une partie de votre livre, ce qui concerne vraiment la conjecture de Kakeya et la méthode de Besicovich.
    Comme la méthode de Besicovich est basée sur le déplacement d’une aiguille d’un côté à l’autre d’un parallélogramme, j’ai commencé à regarder ce qui se passe pour une aiguille de longueur a d’épaisseur b, b petit par rapport à a et je l’ai déplacée d’un côté à l’autre d’un rectangle de largeur h < a. Pour appliquer la méthode de Besicovich, j’introduis l’angle de mesure t , angle du secteur angulaire introduit dans la méthode. On obtient une aire A(a, bh, t) qui décroit lorsque t diminue de + ∞ (au lieu de 0 qu’on obtiendrait pour b = 0) à une valeur minimum Am que j’ai évaluée par développement limité avec l’infiniment petit b :
    Am (a, b, h,) ≈ 2Rac(2bh)
    ensuite cette aire croit jusqu’ à l’aire de deux secteurs angulaires augmentée de l’aire de deux rectangles traduisant l’épaisseur de l’aiguille (ce qu’on obtient sans appliquer la méthode de Besicovich) :
    Artan (h /a) + ba + Rac( a^2 +h^2) ) )
    Conclusion, le minimum de l’aire tend lentement vers 0 lorsque b tend vers 0, lentement au sens : comme Rac(b).

    Application numérique

    a = 10 cm
    b =1 mm
    h = 5 cm
    L’aire minimum obtenue est alors sensiblement :

    20 cm2

    Aire à comparer avec l’aire des deux secteurs angulaires augmentée de l’aire des deux rectangles représentant l’épaisseur de l’aiguille, sensiblement :

    48 cm2 

    On obtiendrait sensiblement 46 cm2 avec une aiguille d’épaisseur nulle.

    Reste à traiter, de la même façon, le problème du retournement de l’aiguille, là les calculs seront plus lourds, je soupçonne qu’avec la même application numérique, on gagnera encore moins que précédemment : aire minimum comparée à celle du deltoïde.

    Répondre à ce message
    • Errata

      le 2 novembre 2015 à 17:07, par Marc JAMBON

      A la ligne 6 du commentaire précédent : remplacer
      t diminue
      par
      t décrit l’intervalle ] 0, Artan(h /a)]

      A la ligne 11 :
      (a^2) Artan (h /a) + b( a + Rac( a^2 + h^2) ) )

      Répondre à ce message
  • Avancée sur la question de Kakeya et l’énigme des domaines étoilés

    le 3 novembre 2015 à 06:05, par Marc JAMBON

    Je trouve dans votre livre : Avancée sur la question de Kakeya pages 92 à 97 et L’énigme des domaines étoilés pages 117 à 119. Ces deux chapitres se ressemblent aussi bien par la méthode que par les figures, ce qui les différencie c’est qu’il y a en plus des glissements de l’aiguille sur elle même dans le chapitre : Avancée sur la question de Kakeya, dans ce cas le domaine obtenu n’est pas tout à fait étoilé, on peut dire qu’il y a des branches d’étoiles curviligne. Ceci dit, il n’est pas meilleur selon vos propres calculs que les étoiles du chapitre L’énigme des domaines étoilés. On peut même envisager les mêmes déplacements avec une aiguille d’épaisseur b, auquel cas l’aire balayée est augmentée d’un peu moins que le produit de b par la somme des longueurs de tous les arcs enveloppés, augmenté dans le premier cas d’autant de longueurs de l’aiguille que de glissements de l’aiguille sur elle même. Lorsque b tend vers 0, l’aire supplémentaire liée à son épaisseur, qui augmente avec le nombre de branches, tend encore vers 0, mais comme les résulats numériques sont très proches les uns des autres, on ne gagnera pas vraiment en passant de 11 à 25 ... jusqu’à 10001 branches. concrètement, sur un exemple numérique donné, par exemple, comme précédemment, avec une aiguille de 1 dm, d’épaisseur 0,01 dm, l’aire va augmenter en passant de 11 à 101 branches.

    Répondre à ce message
    • Avancée sur la question de Kakeya et l’énigme des domaines étoilés

      le 3 novembre 2015 à 15:33, par Vincent Borrelli

      Je suis ravi de voir à quel point vous vous passionnez pour la question de Kakeya ! Un des objectifs du livre était justement qu’il engage à l’initiative personnelle. La recherche d’une réponse « physique » à la question de Kakeya est un magnifique sujet qui a probablement été assez peu exploré. L’étude du cas étoilé est certainement déjà très riche. Je ne peux que vous encourager à poursuivre.

      Une petite coquille : j’ai l’impression qu’il manque un facteur a dans l’évaluation de Am(a,b,h)

      Répondre à ce message
  • Les aiguilles tournent, le mystère demeure

    le 3 novembre 2015 à 16:12, par Marc JAMBON

    Effectivement, dans mon commentaire du 2 novembre 16 h 25 :
    Am ≈ 2aRac(2bh)

    Répondre à ce message
  • La construction de Besicovich

    le 6 novembre 2015 à 05:26, par Marc JAMBON

    En se référant à votre livre, je trouve, pour la base du triangle isocèle d’angle au sommet pi/4, 2tan(pi/8) [et non 1], l’aire du triangle serait alors tan(pi/8) = Rac(2) – 1≈ 0,414..., mais pour faire tourner l’aiguille [sans épaisseur] de longueur unité autour d’une de ses extrémités, il suffit de l’aire du secteur angulaire d’angle pi/4, soit pi/8 ≈ 0,3927... et même mieux encore il suffit de faire tourner l’aiguille autour de son centre, l’aire balayée est alors pi/16 ≈ 0,1963.

    Dans la construction que vous décrivez pages 113 à 115 de votre livre,1ére étape des constructions de Bésicovich, vous vous donnez beaucoup de mal pour arriver seulement à une aire majorée, si j’en crois vos calculs, par 0,23167...
    A ce stade , mieux vaut faire tourner l’aiguille autour de son centre sans se fatiguer !

    Il reste néanmoins possible que la construction, développée en découpant en un plus grand nombre de secteurs angulaires, réalise une réelle diminution de l’aire balayée. Là je manque d’informations précises sur l’évaluation de l’aire, notamment sur l’intérêt qu’il y a à décomposer en étages.

    Répondre à ce message

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