Un cône familier

Prenons un cornet de glace : et mangeons la crème glacée. Que reste-t-il ? Un cône, que voici, un peu aseptisé et la tête en bas : Maintenant coupons ce cône d’un geste vif mais précis : Ah il y a encore de la glace à l’intérieur... posons une fine plaque de verre sur le cône coupé : retirons la plaque du cône, et regardons-la par dessus. Que voit-on ? Un beau disque rouge : Et si nous avions coupé le cône original, mais de manière oblique ? Voici ce que l’on pourrait obtenir : La zone rouge sur la plaque, que l’on va appeler une coupe, a maintenant une forme différente : c’est une ellipse. Si on coupe le cône verticalement, on obtient une hyperbole à une branche : Et si l’incision suit l’inclinaison du cône, on obtient une parabole : Nous obtenons ainsi la fameuse famille des coniques déjà bien étudiées pendant l’Antiquité, et mentionnées par exemple au début de cet article.

Un cône plus compliqué

Il existe cependant d’autres cônes que notre cornet glacé, aux géométries plus complexes, mais également plus intéressantes. Ces cônes sont difficiles à visualiser car ils vivent dans des espaces de grande dimension. Ci-dessus nous avons observé le cône du cornet glacé, un objet vivant dans un espace tri-dimensionnel, à l’aide de coupes planes, c’est-à-dire bi-dimensionnelles. Pour ces notions de dimensions, on pourra consulter ce film.

Ci-dessous nous allons observer les coupes tri-dimensionnelles d’un cône bien particulier, le cône semi-défini. Une coupe du cône semi-défini s’appelle un spectraèdre. Cette terminologie sera motivée par la suite.

L’équation quadratique et son spectraèdre

Pour se familiariser avec les spectraèdres, démarrons avec l’équation quadratique

$ax^2+bx+c=0$.

Le mathématicien Laurent Schwartz mentionne dans son autobiographie [1] que pendant son enfance, son père — dont les souvenirs de mathématiques n’étaient guère brillants — lui dit un jour « tu apprendras plus tard que $ax^2+bx+c$ est toujours égal à zéro ». Pour le contredire, essayons de trouver les conditions que doivent satisfaire les nombres réels $a$, $b$ et $c$ pour que l’inégalité quadratique

$ax^2+bx+c \geq 0$

soit vérifiée pour tout nombre réel $x$. Tout d’abord remarquons que $a\geq 0$ puisque notre inégalité doit rester valable quand $x$ est très grand. Ensuite remarquons que les solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$ sont bien connues des lycéens, à savoir les racines $(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a$ pour autant que le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ soit positif. Si le discriminant est nul ou négatif, c’est-à-dire si $4ac-b^2\geq 0$, alors il n’y a pas de racines réelles distinctes, et le terme $ax^2+bx+c$ ne peut pas changer de signe, donc notre inégalité est satisfaite. Dans l’espace de coordonnées $a$,$b$,$c$ la région délimitée par les inégalités

$a \geq 0, \quad 4ac-b^2 \geq 0$

est un ensemble qui n’est pas borné, le voici : Le lecteur attentif aura sans doute remarqué que cet ensemble ressemble étrangement au cône du cornet de glace ci-dessus (avec d’autres couleurs). En fait il s’agit du même ensemble, à la différence près que le cornet est borné. Voici l’ensemble non-borné sous un autre angle : On peut multiplier un point de coordonnées $a$,$b$,$c$ dans l’ensemble par n’importe quel réel positif $k$, et le point résultant de coordonnées $ka$, $kb$, $kc$ appartient également à l’ensemble, cela montre bien que l’ensemble n’est pas borné. C’est d’ailleurs la définition d’un cône : un ensemble invariant par multiplication par un scalaire positif. L’ensemble que nous avons obtenu est le cône quadratique, l’un des plus simples des spectraèdres.

Convexité du spectraèdre

Une autre propriété intéressante de l’ensemble obtenu est sa convexité, c’est-à-dire la propriété de contenir tout segment reliant deux de ses points. Voir par exemple cet article pour une étude de la convexité du logo du CNRS.

Une coupe déjà rencontrée

Dans l’espace de coordonnées $a$, $b$, $c$, notre spectraèdre est un objet tri-dimensionnel décrit par les deux inégalités $a \geq 0$ et $4ac - b^2 \geq 0$. En posant par exemple $a=1$ nous obtenons, dans le plan de coordonnées $b$, $c$ un objet bi-dimensionnel qui est décrit par l’inégalité $4c-b^2 \geq 0$. Cela revient à couper le spectraèdre par le plan $a=1$ : et la région rouge ainsi délimitée est une parabole de la même famille que celle obtenue auparavant avec notre cornet glacé. C’est également un spectraèdre, mais cette fois-ci il est planaire. Par ailleurs on peut montrer facilement que les sections coniques mentionnées auparavant sont toutes des spectraèdres.

Le spectraèdre de Cayley

Maintenant essayons de généraliser et considérons l’inégalité quadratique

$ax^2+bx+c+dy+exy+fy^2 \geq 0$

où nous avons maintenant deux variables $x$ et $y$. Quelle est la géométrie de l’ensemble $K$ des coefficients réels $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ tels que cette inégalité soit satisfaite pour tous réels $x$ et $y$ ?

Il est bien difficile de représenter l’ensemble $K$ car il vit dans un espace à six dimensions ! Ce que l’on peut faire, comme auparavant, c’est fixer certains coefficients pour diminuer le nombre de degrés de liberté. Par exemple en posant $a=c=f=1$ on ne garde que les trois coefficients $b$, $d$, $e$. C’est ce que l’on appelle une section ou coupe affine, et géométriquement cela revient effectivement à couper l’ensemble $K$, tout comme nous avons initialement coupé le cornet glacé. Voici ce que l’on obtient dans l’espace $b$, $d$, $e$ quand on coupe $K$ par les trois plans $a=1$, $c=1$, $f=1$ : Cet ensemble, que l’on peut dénommer le spectraèdre de Cayley, ressemble à un tétraèdre régulier : l’un des cinq solides de Platon. En effet, il a les mêmes quatre sommets, mais ses six arêtes ne sont pas saillantes, et ses quatre faces sont bombées. C’est comme si on avait gonflé le tétraèdre régulier pour obtenir le spectraèdre de Cayley.

Arthur Cayley (1821-1895)

Arthur Cayley était un mathématicien britannique du XIXème siècle. Il a étudié le spectraèdre ci-dessus en travaillant sur les surfaces cubiques aux alentours de 1850. En effet, ce spectraèdre est la composante connexe convexe de la surface cubique dite de Cayley. On trouvera cette surface, ainsi que plein d’autres, sur divers sites dédiés aux surfaces cubiques, comme celui-ci ou encore celui-là.

Pour les curieux, dans l’espace des paramètres $b$,$d$,$e$ définis ci-dessus, le spectraèdre de Cayley est défini par les deux inégalités suivantes

$4+bde \geq b^2+d^2+e^2, \quad 12 \geq b^2+d^2+e^2$.

D’autres spectraèdres

On peut encore généraliser en considérant des inégalités quadratiques à trois, quatre, cinq variables, ou plus. L’ensemble des polynômes quadratiques qui restent partout positifs définit ainsi un cône semi-défini, dont toute coupe est un spectraèdre. Inversément, chaque point du spectraèdre correspond à un polynôme. On appelle le degré du spectraèdre le nombre de variables de ces polynômes quadratiques. On peut ainsi générer plein de spectraèdres, dont voici quelques coupes tri-dimensionnelles :

Coupe d’un spectraèdre de degré quatre

Coupe d’un spectraèdre de degré quatre

Coupe d’un spectraèdre de degré quatre

Coupe d’un spectraèdre de degré cinq

On remarquera que ces spectraèdres ont tous les mêmes caractéristiques : convexité, bien sûr, mais également présence de sommets, que l’on appelle singularités.

Pour résumer, on peut dire que les spectraèdres sont faciles à visualiser pour autant qu’on les découpe en tranches de dimension suffisamment faible. Dans un prochain article on étudiera une autre technique de visualisation des spectraèdres, qui utilise la notion géométrique de projection.

Pourquoi le nom spectraèdre ?

Comme mentionné auparavant, ces objets sont tous des coupes affines du cône semi-défini. Pour les spécialistes, il s’agit plus précisément du cône des matrices symétriques à valeurs propres non-négatives. Cela motive d’ailleurs l’appellation « spectraèdre », par analogie avec le terme « polyèdre », puisque le spectre d’une matrice est l’ensemble de ses valeurs propres.

A quoi servent les spectraèdres ?

Certains ingénieurs et mathématiciens rencontrent de tels spectraèdres quand ils étudient des problèmes de commande des systèmes (par exemple comment assurer que le lanceur Ariane 5 suive bien sa trajectoire atmosphérique même en présence de rafales de vent) ou alors d’optimisation de structures (pour concevoir les pièces d’une construction, pour assurer qu’un pont soit suffisamment solide, voir aussi ces travaux qui n’utilisent cependant pas les spectraèdres mais d’autres techniques mathématiques).

Les spectraèdres correspondants sont de dimensions allant de la dizaine au millier, et il est bien sûr vain de vouloir les visualiser, le nombre de coupes de faible dimension étant trop important. Il est cependant important de pouvoir les manipuler efficacement, et c’est l’objet de la programmation semi-définie et des inégalités matricielles linéaires (LMI), une branche moderne de l’optimisation qui permet aux ingénieurs de résoudre sur leurs ordinateurs divers problèmes de conception. Par exemple, la programmation semi-définie a permis de réduire de 15% à 20% le poids d’une partie de la voilure de l’Airbus A380 [2].