Les courbes en créneaux

Piste rouge Le 8 février 2017  - Ecrit par  Sylvain Barré Voir les commentaires (7)

En jouant avec des bouts de papiers, Henri démontre son premier théorème à 11 ans.

Jouer avec rien, voilà qui est très formateur et stimule la créativité. Le jeune Henri aime construire des objets en pliant du papier. Au hasard des parcours de vidéos sur internet, il tombe sur un élément
de base fabriqué avec un petit rectangle, avec lequel il semble amusant de
composer divers objets. Sur ces images, nous avons utilisé des papiers de 5,25cm x 11,5cm.

Le voici dans tous ses états :

Il suffit d’imbriquer ces pinces les unes dans les autres pour obtenir à loisir toutes sortes d’objets. Notez que quand on commence une composition, il n’est possible de la continuer que d’un seul côté, celui qui présente une pince « ouverte », celle qu’on vient de poser pour fermer la précédente. Les experts choisiront même l’orientation interne de la pince qu’ils mettent en fonction de la place de la suivante afin de ne pas être gênés dans l’imbrication par les bords de ses plis.


Si on se contente de placer ces éléments dans le plan le jeu paraît un peu moins amusant... quoi que ? Une ligne polygonale d’Henri est une courbe simple (sans superposition) composée de segments horizontaux ou verticaux, de longueur un
de telle sorte que jamais deux consécutifs soient alignés. À une telle courbe correspond un serpentin plan en créneau composé d’éléments de base, et réciproquement.

Pour plus de solidité, il est préférable de fabriquer des lignes polygonales fermées. Techniquement, pour refermer une réalisation, il faut un peu d’habileté et s’aider d’une petite lame de couteau. En effet, il faut déplier les volets du dernier élément pour venir entourer la première brique.

Ces courbes fermées réalisent de belles plaques avec lesquelles on aimerait paver le plan. Si ces plaques présentaient des trous, il faudrait les combler avec d’autres plaques.

Arrive donc tout naturellement la question suivante :

Quels sont les motifs que l’on peut fabriquer comme cela, avec une courbe fermée d’Henri qui ne laisse aucun trou ?

Henri se pose cette question et très vite, par tâtonnement arrive à la conclusion : il n’y a que ces motifs là, c’est-à-dire des créneaux qui partent dans une seule direction.


La photo montre une réalisation avec 2 créneaux, les segments horizontaux correspondent aux pinces vertes et les verticaux aux roses. Le dessin ci-dessous représente une surface avec 4 créneaux dans la direction horizontale.

C’est un peu décevant.

Oui, un peu, mais en est-on sûr ? Henri nous dit que c’est évident. Et il avait raison. Mais moi j’ai mis un moment à trouver une preuve simple, même très longtemps !

Pourquoi par exemple, les escaliers ci-dessous ne peuvent-ils pas se refermer sans laisser de trou ?

Vous avez peut-être déjà trouvé, au hasard de votre parcours de ces lignes, votre preuve du théorème d’Henri, sinon vous pouvez regarder celle cachée ici :

 [1]
mais cherchez la vôtre, qui sera peut-être plus belle ? Je peux juste vous assurer qu’Henri avait raison, c’est évident !

Avant de trouver une preuve courte (et « évidente »), je suis passé par la formule de Pick, des tentatives de formules de Stokes pour tomber enfin dans les surfaces de translations (qui ici s’appellent aussi origami !). Profitons de l’occasion pour en parler un peu, même si ce détour n’est pas du tout nécessaire pour trouver une preuve !

C’est un peu comme si on fabriquait un tore (une bouée à une place) à partir d’un
carré en recollant (abstraitement c’est plus facile) les côtés opposés parallèles entre eux. Pour une ligne polygonale d’Henri, sont identifiés les côtés opposés parallèles qui se correspondent via l’intérieur du domaine délimité par une translation horizontale ou verticale (lettres ou chiffres identiques).

À toute courbe fermée d’Henri, on peut associer une belle surface plate à singularités coniques entières (multiples de $2\pi$). Autour de chaque sommet, viennent se recoller au moins quatre coins de carrés encerclés par la courbe. Ce qui au passage signifie que la surface obtenue est à courbure négative ou nulle. Le gros point noir à l’intérieur est un sommet non parcouru par la courbe, il correspond à un trou dans la réalisation avec les pinces en papier. La photo juste au-dessus est une réalisation du premier dessin.

Les surfaces minimales (celles qui n’ont pas de sommet intérieur) d’Henri sont de genre $k+1$ pour $k$ créneaux. Pas de créneau, c’est-à-dire un simple carré formé avec 4 pinces, donne un tore plat de genre un. Le genre d’une surface est le nombre de places si on la pense comme une bouée. Sur le premier dessin, la surface associée est de genre 4, la seconde de genre 6. La première a un seul (gros) sommet singulier de courbure $-12\pi$ alors que l’autre en a trois (un gros de $-12\pi$ et deux petits comme dans la surface d’Henri de $-4\pi$).

Pour aller plus loin, on peut aussi se demander si ces surfaces d’Henri sont extrémales parmi toutes les surfaces de translations en un sens à définir. On peut aussi déterminer les courbes qui laissent des trous qui se pavent par les modules d’Henri. Aussi, qu’en est-il d’un analogue en dimension trois où un couple de cubes serait la brique ? Attention, Henri ne nous suit plus sur ce terrain avec ses bouts de papier...

Post-scriptum :

L’auteur remercie Romain Dujardin pour ses remarques et conseils, ainsi que les relecteurs Jean-Romain, Walter et Marie Lhuissier pour leurs lectures attentives et commentaires constructifs qu’il a beaucoup appréciés.

Article édité par Romain Dujardin

Notes

[1Preuve du théorème d’Henri : Considérer les segments horizontaux et verticaux intérieurs à cette courbe polygonale. Puisqu’il n’y a pas de sommet intérieur et que la courbe d’Henri est simple et sans prolongement rectiligne, ces segments s’organisent en une union de courbes fermées. Ces courbes ne peuvent être que des cercles... et même que des petits carrés. Sans l’hypothèse d’absence de trou, les arêtes bleues forment un graphe, comme sur le dessin. La suite est évidente, il suffit de voir comment ces petits carrés (bleus sur le dessin) s’assemblent les uns avec autres. Il faut penser un carré bleu muni de ses 4 antennes doubles aux quatre coins qui sont les arêtes de la courbe dans son voisinage immédiat. Partons de l’un d’eux. S’il n’est pas tout seul, c’est qu’un autre vient s’assembler avec lui dans une direction. Alors, on vérifie immédiatement que toutes les éventuelles ouvertures dans la direction transverse sont impossibles. Dès que deux carrés bleus sont assemblés, disons horizontalement, les branchements verticaux sont rendus impossibles.

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Pour citer cet article :

Sylvain Barré — «Les courbes en créneaux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Alan Souquet, graphiste à l’Université Bretagne Sud

Commentaire sur l'article

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  • Les courbes en créneaux

    le 12 février à 09:40, par Sylvain Barré

    Oui, ces pliages imbriqués doivent donner de belles images, qu’il est certainement intéressant de comprendre plus précisément....

    Répondre à ce message

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