Les diagrammes de Feynman 1

Piste rouge Le 28 septembre 2016  - Ecrit par  Nils Berglund Voir les commentaires (3)

Les diagrammes de Feynman, introduits à la fin des années 1940 par le physicien américain Richard Feynman, permettent de représenter des calculs algébriques compliqués sous forme graphique. C’est un parfait exemple de visualisation de formules par des dessins, permettant à la fois d’alléger les notations et d’éviter les erreurs de calcul.

Cette première partie d’un article qui en comprend trois est en piste rouge. Certains blocs dépliants passent toutefois au niveau piste noire, voire hors piste.

Le physicien américain Richard Feynman (1918—1988) est connu, entre beaucoup d’autres choses [1], pour avoir introduit une représentation graphique en théorie quantique des champs, qu’on appelle aujourd’hui diagrammes de Feynman.

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Richard Feynman lors d’une visite au Fermilab. Copyright 1984 Tamiko Thiel, CC BY-SA 3.0

La théorie quantique des champs décrit le comportement de particules élémentaires, telles que les électrons, les photons et les quarks. Par exemple, le diagramme de Feynman ci-dessous (tiré de l’article Wikipedia) décrit l’annihilation d’un électron et d’un positron, pour former un photon. Le photon se désintègre ensuite en une paire quark-antiquark, et l’antiquark émet peu après un gluon. Cela paraît raisonnablement simple, non ?

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Exemple de diagramme de Feynman. $e^-$ et $e^+$ représentent respectivement un électron et un positron (anti-électron), $\gamma$ un photon, $q$ et $\bar q$ un quark et un antiquark, et $g$ un gluon.

La réalité est en fait beaucoup plus subtile que cette représentation graphique ne le suggère. Les équations de la théorie quantique des champs sont compliquées à écrire, et il n’est pas du tout évident d’y reconnaître les particules élémentaires telles que les photons, électrons, etc. La théorie donne plutôt accès à des probabilités : par exemple, on peut s’intéresser à la probabilité d’observer à la fois un photon à Paris à cet instant, et un photon à Rome dans une seconde.

Déduire ces probabilités des équations de la théorie quantique des champs n’est pas non plus chose facile. On n’y arrive en général que par approximations successives, par ce que l’on appelle un calcul perturbatif. Chaque étape de ce calcul peut être représentée par un ou plusieurs diagrammes de Feynman.

L’oscillateur harmonique à température $T$

Au lieu de la physique quantique des champs, nous allons considérer des modèles issus de la physique statistique. Leur traitement est très similaire à celui des modèles de la physique quantique, mais en évite certaines difficultés (liées en particulier à la présence de nombres complexes).

Pour commencer, considérons une bille attachée au bout d’un ressort dont l’autre extrémité est fixée. Si la force exercée par le ressort sur la bille est proportionnelle à l’élongation du ressort, on dit qu’on a affaire à un oscillateur harmonique. Si aucune autre force n’agit sur la bille, celle-ci va osciller verticalement, et l’élongation en fonction du temps suivra une sinusoïde . Si la bille est également soumise à un frottement, la sinusoïde s’amortira au cours du temps.

Nous sommes toutefois intéressés par le cas où la bille est très petite, par exemple de la taille d’un grain de pollen, et plongée dans un fluide de température $T$. Sous l’effet des chocs des molécules du fluide, le mouvement de la bille devient beaucoup plus erratique, à peu près comme ceci :

En physique statistique, on renonce à décrire précisément le mouvement de la bille, pour ne s’intéresser qu’à la probabilité qu’elle se trouve en différents endroits. Pour cela, la quantité importante est l’énergie potentielle de la bille [2]. Celle-ci est donnée par
\[ E = \frac12 k X^2 \]
où $k$ désigne la constante de raideur du ressort, et $X$ la différence entre la longueur du ressort et sa longueur au repos.

Le principe fondamental de la physique statistique, dû à Ludwig Boltzmann et Willard Gibbs, prend ici la forme suivante [3] :

Si le système est à l’équilibre à température $T$ (mesurée en degrés Kelvin, donc par rapport au zéro absolu), alors la déformation $X$ du ressort suit une loi normale, centrée, de variance
\[ V = \frac{k_{\rm B}T}{k} \]
où $k_{\rm B}$ désigne la constante de Boltzmann, qui vaut $1,\!38064852 \times 10^{−23}$ Joules par degré Kelvin.

En d’autres termes, la probabilité que $X$ soit compris dans l’intervalle $[a;b]$ est donnée par l’aire délimitée par cet intervalle et la fameuse courbe en cloche, comme indiqué sur la figure suivante :

La position moyenne, que nous noterons $\langle X \rangle$ [4] est nulle par symétrie. La variance est par définition la moyenne de la position au carré : $V = \langle X^2 \rangle$. On voit sur la figure qu’il est très probable que la position $X$ soit comprise entre $-3\sqrt{V}$ et $3\sqrt{V}$. Le principe de Boltzmann—Gibbs implique que plus la température est élevée, plus les fluctuations de la position de la bille seront importantes. Inversement, si le ressort est plus rigide, sa constante $k$ est plus grande et les fluctuations seront moindres.

D’autres valeurs moyennes peuvent être calculées à l’aide du théorème suivant, qui est un cas particulier simple des équations de Schwinger—Dyson que nous rencontrerons dans la deuxième partie de cette article.

Théorème : Pour tout entier $n>0$, on a \[ \langle X^{n+1} \rangle = n V \langle X^{n-1} \rangle \]

Il n’est pas nécessaire de connaître la preuve de ce résultat pour lire la suite. Toutefois, les lecteurs familiers avec le calcul intégral la trouveront dans l’encadré ci-dessous.

Démonstration

La valeur moyenne de $X^{n+1}$ est donnée par l’intégrale généralisée
\[ \langle X^{n+1} \rangle = \frac{1}{\mathcal{N}} \int_{-\infty}^\infty x^{n+1} e^{-x^2/2V} dx = \lim_{L\to\infty} \frac{1}{\mathcal{N}} \int_{-L}^L x^{n+1} e^{-x^2/2V} dx \]
où $\mathcal{N} = \sqrt{2\pi}V$ est une constante de normalisation qui ne jouera aucun rôle dans la suite. Définissons $u(x) = e^{-x^2/2V}$ et $v(x) = -Vx^n$. Alors la fonction à intégrer s’écrit $u'(x)v(x)$, et une intégration par parties nous fournit
\[ \int_{-L}^L x^{n+1} e^{-x^2/2V} dx = \left[ -Vx^n e^{-x^2/2V} \right]_{-L}^L + \int_{-L}^L nV x^{n-1} e^{-x^2/2V} dx \]
Le premier terme du membre de droite tend vers $0$ lorsque $L$ tend vers l’infini [5], alors que l’intégrale tend vers $\mathcal{N} \cdot n V \langle X^{n-1} \rangle$. Une preuve tout à fait analogue montre que
\[ \langle X f(X) \rangle = V\langle f'(X)\rangle \]
pour toute fonction dérivable $f$ telle que $f(x) e^{-x^2/2V}$ tende vers $0$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$.

Ce théorème nous permet de calculer, par récurrence, toutes les valeurs moyennes de la forme $\langle X^n\rangle$ (qu’on appelle les moments de $X$) :

  • Si $n$ est impair, alors $\langle X^n\rangle = 0$.
  • Si $n$ est pair, comme nous savons déjà que $\langle X^2\rangle = V$, nous obtenons par récurrence $\langle X^4\rangle = 3\cdot V^2$, $\langle X^6\rangle = 5\cdot 3\cdot V^3$, $\langle X^8\rangle = 7\cdot 5\cdot 3\cdot V^4$ et ainsi de suite.

Chaînes d’oscillateurs

Passons maintenant à un système plus compliqué, composé d’un grand nombre $N$ de billes. Chaque bille peut se déplacer verticalement, et est attachée par un ressort de constante $k_1$ à un point d’ancrage, équidistant des points d’ancrage de ses deux voisines. De plus, chaque bille est attachée à ses voisines par des ressorts de constante $k_2$. Nous supposons que la longueur au repos des ressorts entre billes est plus petite que la distance entre les points d’ancrage, de sorte qu’à l’équilibre toutes les billes se trouvent à la même hauteur.

Ce système n’est pas choisi par hasard. En effet, en théorie quantique des champs, les particules sont assimilées à des modes vibratoires d’un champ, assez semblables aux modes propres de vibration de chaînes de particules couplées par des ressorts. D’ailleurs, les vibrations de réseaux cristallins sont appelés phonons en physique du solide.

Pour calculer l’énergie de notre chaîne, nous allons faire l’hypothèse simplificatrice que la longueur au repos des ressorts entre particules est négligeable par rapport à la distance $L_0$ entre les points d’ancrage. Lorsque le système est dans son état d’équilibre, son énergie est alors donnée par $E_0=\frac12(N-1)k_2L_0^2$, puisque seuls les $N-1$ ressorts de constante $k_2$ ne sont pas au repos.

Dans le cas général, notons $X_i$ la position verticale de la $i$ème bille par rapport à sa position d’équilibre. Le théorème de Pythagore nous apprend que le carré de la longueur du ressort entre les billes $i$ et $i+1$ est égal à $L_0^2 + (X_{i+1}-X_i)^2$. L’énergie du système vaut donc
\[ E = E_0 + \frac12 k_1\left(X_1^2+X_2^2+\dots+X_N^2\right) + \frac12 k_2 \left( (X_2-X_1)^2 + \dots + (X_N-X_{N-1})^2\right) \]
Comme cette expression est un polynôme du second degré, le principe de Boltzmann et Gibbs affirme que si la chaîne est à l’équilibre à la température $T$, alors le vecteur $(X_1,\dots,X_N)$ suit une loi normale multivariée centrée. C’est une généralisation de la loi normale du cas d’une seule bille (obtenue, justement, en remplaçant l’exposant $-x^2/(2V)$ par un polynôme du second degré).

Dans le cas d’une seule bille, tous les moments $\langle X^n \rangle$ étaient déterminés par la variance $V$ de la distribution. Dans le cas présent, un rôle analogue est joué par les covariances, c’est-à-dire les valeurs moyennes
\[ C_{ij} = \langle X_i X_j \rangle \]
(si $i=j$, $C_{ii}$ n’est autre que la variance $V_i$ de $X_i$) [6]. Comme son nom le suggère, la covariance $C_{ij}$ nous renseigne sur la tendance qu’ont $X_i$ et $X_j$ à se ressembler : si $C_{ij}$ est positif, alors il y a plus de chances que la $i$ème et la $j$ème bille se trouvent du même côté de leur position d’équilibre. Si $C_{ij}$ est négatif, alors elles auront tendance à se trouver de côtés opposés [7].

Les différentes covariances peuvent être calculées en termes des coefficients $k_1$, $k_2$ et de la température [8]. Le théorème d’Isserlis—Wick affirme que la moyenne de tout produit des $X_i$ s’exprime en fonction des covariances.

Théorème d’Isserlis—Wick : Soit $(X_1,\dots,X_n)$ un vecteur aléatoire suivant une loi normale multivariée centrée, et soit $Y$ un monôme de degré $n$ dans les variables $X_1,\dots,X_N$.
  • Si $n$ est impair, alors $\langle Y \rangle = 0$.
  • Si $n$ est pair, alors $\langle Y \rangle$ s’écrit comme une somme de produits des covariances. Chaque terme de la somme est un produit de $n/2$ covariances, obtenu en regroupant deux à deux les indices du monôme. Il y a exactement un terme pour chaque regroupement possible.

Par exemple, ce théorème affirme que
\[ \langle X_1 X_2 X_3 X_4 \rangle = \langle X_1 X_2 \rangle \langle X_3 X_4 \rangle + \langle X_1 X_3 \rangle \langle X_2 X_4 \rangle + \langle X_1 X_4 \rangle \langle X_2 X_3 \rangle \]
car il y a exactement $3$ manières de regrouper deux à deux les indices $1,2,3,4$. Les indices ne sont pas obligés d’être distincts. Par exemple, s’ils sont tous égaux, on retrouve l’expression $\langle X_1^4 \rangle = 3 \langle X_1^2 \rangle^2 = 3V_1^2$ que nous avons obtenue plus haut.

Il est commode de représenter ces relations de manière graphique. En dénotant les covariances par

on peut visualiser le théorème de Wick pour $4$ variables comme ceci :

Cette représentation graphique constitue notre premier exemple de diagrammes de Feynman.

Exercice 1 : Représentez graphiquement $\langle X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 \rangle$.

Réponse

C’est une somme de $15$ termes. Dans la figure suivante, nous avons omis les numéros des sommets. La seule chose qui compte est de toujours les numéroter dans le même ordre. La formule algébrique correspondante se trouve par exemple ici.

Exercice 2 : Si $n$ est pair, combien y a-t-il de manières de regrouper les indices $1,\dots,n$ deux à deux ?

Réponse

Notons $P_n$ ce nombre. Il y a évidemment une seule façon de regrouper $2$ indices, et nous avons vu qu’il y a $3$ façons de regrouper $4$ indices. Nous savons donc que $P_2 = 1$ et $P_4 = 3$.

Dans le cas général, commençons par choisir la paire contenant l’indice $1$. Il y a exactement $n-1$ façons de choisir l’indice que l’on va regrouper avec $1$, ce qui nous donne $n-1$ choix pour la première paire.

Pour chaque choix de la première paire, il nous reste $n-2$ indices à regrouper (dont le plus petit est soit $2$, soit $3$). Il existe $n-3$ choix pour la paire contenant ce plus petit indice, donc en tout $(n-1)(n-3)$ manières de choisir les deux premières paires.

En continuant ainsi jusqu’à avoir constitué $n/2$ paires, on constate qu’il y a en tout
\[ P_n = (n-1)(n-3) \dots 3 \cdot 1 \]
possibilités.

Remarquons que c’est exactement le coefficient de $V^{n/2}$ du moment $\langle X^n\rangle$ d’une variable normale centrée, comme nous l’avons vu plus haut. C’est normal, car le théorème d’Isserlis—Wick ne requiert pas que les indices soient tous différents, en particulier ils peuvent être tous égaux.

Les blocs dépliants ci-dessous contiennent deux preuves différentes du théorème d’Isserlis—Wick. La première est une généralisation directe de la preuve du théorème pour une loi normale d’une variable, qui nécessite toutefois de connaître la notion de dérivée partielle. La seconde preuve n’utilise que des manipulations de polynômes, mais elle est plus longue.

Une démonstration courte du Théorème d’Isserlis—Wick

En généralisant la démonstration du théorème précédent au cas de plusieurs variables, on obtient l’expression
\[ \langle X_i f(X) \rangle = C_{i1} \langle \partial_1 f(X) \rangle + \dots + C_{iN} \langle \partial_N f(X) \rangle \]
où $\partial_j f(X)$ désigne la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $X_j$. Par exemple, dans le cas du monôme $Y = X_1X_2X_3X_4$, posons $i=1$ et $f(X)=X_2X_3X_4$. Alors la somme comporte trois termes non nuls, provenant de $\partial_2 f(X) = X_3X_4$, $\partial_3 f(X) = X_2X_4$ et $\partial_4f(X) = X_2X_3$, ce qui conduit à l’expression donnée en exemple ci-dessus. La formule générale s’obtient alors par récurrence sur le degré du monôme.

Une autre démonstration, plus longue mais moins abstraite

Voici une démonstration alternative du théorème. Celle-ci évite l’utilisation de dérivées partielles, mais occasionne des calculs plus longs. Nous allons la donner uniquement dans le cas $n=4$.

Fixons $4$ nombres réels $s_1, s_2, s_3$ et $s_4$, et considérons la quantité
\[ Y = s_1 X_1 + s_2 X_2 + s_3 X_3 + s_4 X_4 \]
Une propriété importante de la loi normale affirme qu’une combinaison linéaire de variables suivant cette loi suit encore une loi normale. Par conséquent, $Y$ suit une loi normale, qui est centrée puisque les $X_i$ le sont. Sa variance est donnée par la moyenne
\[ V = \langle Y^2 \rangle \]
qui s’écrit comme une somme de $4^2=16$ termes de la forme $s_i s_j\langle X_i X_j \rangle$. Parmi ces $16$ termes, $4$ sont de la forme $s_i^2 \langle X_i^2\rangle$. Puisque $\langle X_i X_j \rangle = \langle X_j X_i \rangle$, les $12$ autres termes peuvent être regroupés en $6$ paires de la forme $2 \cdot s_i s_j \langle X_i X_j \rangle$ avec $i$ différent de $j$.

Calculons alors le moment $\langle Y^4\rangle$ de deux manières différentes. La première consiste à développer entièrement $Y^4$. Si l’on ne regroupe pas les termes, c’est une expression contenant $4^4$ termes. Nous sommes toutefois intéressés uniquement au coefficient du produit $s_1s_2s_3s_4$. Sa moyenne vaut
\[ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \langle X_1X_2X_3X_4\rangle \]
Le coefficient $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ correspond au nombre de quadruplets contenant $4$ indices différents parmi $1,2,3,4$.

La seconde manière de calculer $\langle Y^4\rangle$ repose sur le premier théorème que nous avons prouvé, qui affirme que
\[ \langle Y^4\rangle = 3 \cdot V^2 \]
Il est suffisant de calculer le terme en $s_1s_2s_3s_4$ de $V^2$, qui dépend uniquement des $6$ termes de $V$ contenant des produits $s_i s_j$ avec $i$ et $j$ différents. On trouve ainsi
\[ 8\cdot (C_{12}C_{34} + C_{13}C_{24} + C_{14}C_{23}) \]
pour le coefficient de $s_1s_2s_3s_4$ de $V^2$.

En comparant les deux expressions de $\langle Y^4\rangle$ on obtient bien le résultat du théorème d’Isserlis—Wick dans le cas $n=4$. Si $n$ est plus grand, on peut procéder de la même manière en introduisant des variables allant de $s_1$ à $s_n$.

Le modèle $\Phi^4$

Dans l’étude de la chaîne de billes, nous avons fait l’approximation que la longueur au repos des ressorts connectant les billes était négligeable par rapport à la distance entre les points d’ancrage. Si cette hypothèse n’est pas satisfaite, l’énergie potentielle n’est plus un polynôme du second degré : elle contient des racines carrées. On sort alors du monde des distributions normales (aussi appelées Gaussiennes), et on ne dispose plus de résultats aussi puissants que le théorème d’Isserlis—Wick.

En théorie quantique des champs, l’énergie a la forme d’un polynôme du second degré dans le cas de particules libres, c’est-à-dire qui n’interagissent pas. Par exemple, des photons et des électrons qui ne se « voient » pas et vivent leur vie de manière complètement indépendante sont décrits par une énergie de ce type. Dès qu’on tient compte de l’interaction entre les particules, des termes non-quadratiques font leur apparition, et la distribution de probabilité devient non gaussienne.

Le modèle $\Phi^4$ (lire « phi-quatre ») a été introduit en physique afin de comprendre des distributions non Gaussiennes dans un cas relativement simple. Cela revient, dans notre système, à supposer que les ressorts connectant chaque bille à son point d’ancrage ne sont plus harmoniques, mais que leur énergie est de la forme
\[ \frac12 k_1 X_i^2 + \frac 14 a X_i^4 \]
Les termes proportionnels à $a$ ont pour effet d’ajouter à l’énergie $E$ un terme
\[ W = \frac a4 \left( X_1^4 + X_2^4 + \dots + X_N^4 \right) \]
La nouvelle énergie $E+W$ donne lieu, par le principe de Boltzmann—Gibbs, à une nouvelle distribution de probabilité, qui n’est plus Gaussienne (sauf bien sûr si $a=0$).

Pour des distributions non Gaussiennes, le théorème d’Isserlis—Wick ne s’applique plus, et il n’est pas du tout évident de calculer des valeurs moyennes. On peut cependant espérer que si $a$ est petit, ces moyennes ne seront par très différentes de leur valeurs dans le cas Gaussien. En d’autres termes, on considère le terme $W$ comme un terme de perturbation de l’énergie. C’est ce calcul de perturbation qui donne lieu aux diagrammes de Feynman, comme nous allons le voir dans la deuxième partie de cet article.

Post-scriptum :

L’auteur remercie vivement les relecteurs Claire Lacour, Denis Chadebec, Rémi Molinier, Himynameisarno, Gérald Grandpierre et Sébastien Breteaux, dont les remarques ont grandement contribué à la lisibilité de cet article.

Article édité par Nils Berglund

Notes

[1Richard Feynman est également connu pour ses cours de physique, édités sous forme de livres, pour avoir obtenu le Prix Nobel de Physique en 1965 pour ses travaux sur l’électrodynamique quantique, pour avoir participé à l’enquête sur l’accident de la navette Challenger, et pour les nombreuses anecdotes qui circulent à son égard, notamment sur la période qu’il a passée à Los Alamos pour travailler sur le projet Manhattan.

[2Pour simplifier, nous ne tenons pas compte ici de l’énergie cinétique $\frac12 m v^2$ de la bille (où $m$ désigne sa masse et $v$ sa vitesse). Cette approximation se justifie si la bille est soumise à un frottement visqueux suffisamment fort.

[3Dans des cas plus généraux, il convient de remplacer dans cet énoncé la loi normale par une distribution de probabilité de densité proportionnelle à $e^{-E/(k_{\rm B}T)}$.

[4Nous empruntons ici à la physique la notation $\langle X \rangle$ pour la valeur moyenne. En mathématiques, on préfère en général la notation $\mathbb{E}(X)$, et on parle de l’espérance de $X$.

[5Pour le voir, on peut remarquer que la fonction exponentielle satisfait $e^t > t^k/k!$ pour tout entier positif $k$ et tout $t>0$. Cette méthode et d’autres donnant le même résultat sont décrites ici.

[6Nous nous servons ici du fait que les moyennes $\langle X_i\rangle$ et $\langle X_j\rangle$ sont nulles. En général, on définit la covariance par $C_{ij} = \langle X_i X_j \rangle - \langle X_i\rangle \langle X_j\rangle$.

[7Comme nous avons affaire à une loi normale, si la covariance $C_{ij}$ est nulle, alors les positions $X_i$ et $X_j$ sont indépendantes. Pour des distributions de probabilité plus générales, cela n’est plus vrai : l’indépendance implique une covariance nulle, mais il peut arriver que des variables ayant une covariance nulle ne soient pas indépendantes.

[8Définissons des nombres $K_{ij}$ tels que $(E-E_0)/k_{\rm B}T$ s’écrive comme la somme des $\frac12K_{ij}X_iX_j$. On peut assembler ces nombres dans une matrice $K$ de taille $N\times N$. Les covariances $C_{ij} = \langle X_i X_j \rangle$ sont alors données par les éléments de la matrice inverse de $K$.

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Pour citer cet article :

Nils Berglund — «Les diagrammes de Feynman 1» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Créée par l’auteur en tikz.
Richard Feynman lors d’une visite au Fermilab : Copyright Tamiko Thiel 1984 — OTRS communication from photographer, CC BY-SA 3.0.
Diagramme de Feynman : Article Wikipedia.
Ressort animé : Oleg Alexandrov (domain public), via Wikimedia Commons.

Commentaire sur l'article

  • Les diagrammes de Feynman 1

    le 12 octobre à 10:44, par mmanu

    Salut,

    excellent travail de vulgarisation, toutes mes félicitations à son auteur ! J’ai hâte de lire la suite. Le choix de l’étude statistique des chaines d’oscillateurs comme point de départ est brillant, rendant le sujet accessible avec un niveau de fin de lycée. Toute cette partie « introductive » n’est d’ailleurs pas sans me rappeler le « Quantum Field Theory in a Nutshell » d’Anthony Zee (qui mériterait d’être traduit en français) et ce n’est pas la moitié d’un compliment ;) !

    Continuez de pousser dans cette direction, la sphère numérique française a bien besoin d’articles de ce niveau et de cette qualité, particulièrement en physique fondamentale. Vous avez ouvert la voie pour monter jusqu’au sommet de la connaissance. En gardant un bon rythme, la théorie des cordes n’est pas si éloignée que ça !

    Cela faisait quelques temps que je cherchais un site en français de « transmission de savoir » de ce niveau et avec cette qualité pédagogique,dont on trouve quelques (trop rares) représentant dans la sphère anglophone. Je découvre ainsi votre site avec beaucoup d’espoirs. En lisant votre article ici, juste après avoir lu celui sur les travaux de Claire Voisin, il me parait évident que les cordes et leurs mathématiques sont en parfaite harmonie avec l’état d’esprit que l’on sent ici. Affaire à suivre ...

    Répondre à ce message
    • Les diagrammes de Feynman 1

      le 12 octobre à 20:58, par Nils Berglund

      Merci pour ce commentaire !

      Toute l’équipe d’Images de Mathématiques s’efforce d’offrir des articles de popularisation de qualité. Il est toujours agréable de savoir que nos efforts sont appréciés.

      La suite est prévue pour la fin de ce mois.

      Bien cordialement,
      Nils Berglund

      Répondre à ce message
  • Merci

    le 17 octobre à 16:37, par Walabiz

    Super article ! Merci beaucoup à vous Nils Berglund !

    Répondre à ce message

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