Les doutes de Sébastien Chabal sont-ils fondés ?

Commentaire sur la procédure de tirage au sort de la H. CUP.

Piste verte Le 24 janvier 2012  - Ecrit par  Gérard Grancher Voir les commentaires

Nous tentons ici de répondre à la question qui nous a été posée par Stéphane COLINEAU [1] :
« Dans son autobiographie [2], Sébastien CHABAL s’étonne que les tirages au sort
pour la constitution des poules de la H. Cup aient avantagé outrageusement
Biarritz. Au cours de sept des huit dernières années, il y avait un club italien
dans sa poule. Les soupçons de Chabal sont-il justifiés ?
 »

L’organisation de la H. CUP

Pour ceux qui n’ont pas une grande culture rugbystique, rappelons que :

  • la H. CUP est la coupe d’Europe des clubs de rugby [3],
  • les clubs italiens de rugby ont la réputation d’être de faible niveau [4]. Ces dernières années seules 2 des 6 poules comportent une équipe italienne. Avoir un club italien dans sa poule semble être un avantage important : sur les 6 matchs disputés, les 2 joués contre le club italien sont presque à coup sûr gagnés [5], et souvent en marquant beaucoup d’essais et donc en bénéficiant du point de bonus offensif.

La répartition des 24 clubs, dans 6 poules de 4, est complexe.
Les clubs sont classés en 4 niveaux, notés de I à IV, du plus au moins fort. Chaque poule doit comporter un club de chaque niveau.
De plus, chaque poule doit comporter des clubs, tous de nationalités différentes ...
quand cela est possible ! En effet il arrive que 7 des 24 clubs soient anglais [6], comme cette année, ou français, comme l’an dernier. Dans ce cas, une des poules comportera deux clubs de même nationalité, mais l’un d’eux sera choisi au hasard parmi les plus mal classés de sa nation.

Biarritz favorisé ? Toulouse pénalisé ?

Répondre à la question de S. Colineau n’est pas simple, car le calcul de la probabilité qu’un club français de niveau I soit dans la même poule qu’un club italien [7]
doit prendre en compte toutes les contraintes.
Aussi nous allons tenter de répondre à une question plus simple :
« Biarritz a-t-il eu plus de chance que Toulouse ? »

Biarritz et Toulouse ont toujours été de même niveau [8] ... et de même nationalité !
Aussi en ne retenant que les années où un seul de ces deux clubs a joué contre un
club italien :
une année sur deux, Biarritz devrait être celui-là, une année sur deux Toulouse.
Sur les 7 années où cela s’est produit, cela fut toujours Biarritz et
jamais Toulouse !
Un tel événement n’a qu’une chance sur 128 ($= 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2$) de se produire, cela est faible mais pas totalement impossible.

Mais il faut être extrêmement prudent [9]
sur l’analyse de la survenue d’un évènement considéré a priori comme rare.
En effet, nous nous sommes posé cette question au vu des
observations, et non de manière indépendante.
Notre question aurait plutôt dû être :
« Si au cours de 7 ans, de Biarritz et Toulouse, un seul a dans sa poule un club italien, quelle est la probabilité que cela soit toujours le même club français ? ».
La probabilité d’un tel événement vaut 1/64.

De plus nous avons choisi arbitrairement de ne retenir que les 8 dernières années, en oubliant qu’au cours de ses 5 premières participations à la H. CUP,
Biarritz n’a jamais eu un club italien dans sa poule. Le sort ne l’a pas favorisé tant que
cela.

En résumé, le sort a plutôt récemment favorisé Biarritz, et a été peu clément avec Toulouse.
De plus si on considérait toutes les compétitions sportives,
on en trouverait bien une où un compétiteur a été encore plus favorisé que Biarritz dans la H CUP, et un autre qui a été encore plus défavorisé que Toulouse.

Nous n’avons pas répondu de manière complètement satisfaisante à la question de S. Chabal. Mais peut-être pourrions-nous le faire dans l’avenir ?

Nous pouvons définir un événement à venir, peu probable, du type Biarritz
rencontrera un club italien au cours de chacune des 7 prochaines années
,
et si cet événement se réalise, alors nous pourrons être presque certains [10]) qu’il y a « triche » !

Mais une telle démarche n’est pas très opérationnelle.
Outre que nous n’aurons une réponse que dans 7 ans, que durant toute cette
période Biarritz devra rester dans le top six européen,
il faudra encore savoir calculer, pour chaque année (et cela change
chaque année), la probabilité que Biarritz rencontre un club italien.
Cette probabilité pourra être nulle (par exemple dans le cas : 6 clubs anglais, dont deux au niveau I et 4 au
niveau IV avec deux italiens) ou égale à 1 (par exemple dans le cas : 6 clubs français, dont deux au niveau I et 4 au niveau IV avec deux italiens).
Et peut-être que 7 ans ne suffiront pas, ce sera peut-être 8 ou 9 !!!

En attendant, essayons de calculer la probabilité qu’une année donnée, Biarritz soit dans la même poule qu’un club italien.

Comment l’ERC procède au tirage au sort ?

Prenons par exemple l’année 2012.
On trouvera sur le site web de l’European Rugby Club (ERC) une vidéo de ce tirage au sort dont le résultat fut :

Poule 1 Poule 2 Poule 3Poule 4 Poule 5 Poule 6
Niveau I Munster Cardiff Leinster Leicester Biarritz Toulouse
Niveau II Northampton London Irish Bath Clermont Ospreys Harlequins
Niveau III Scarlets Edinburgh Glasgow Ulster Saracens Gloucester
Niveau IV Castres Racing Métro Montpellier Aironi TrevisoConnacht

Les 6 clubs de niveau I (deux français, deux irlandais, un anglais et un
gallois) ont été d’abord répartis par tirage au sort dans les 6 poules.

Ensuite les 4 clubs anglais de niveau II ont été répartis par tirage au sort de 4 poules parmi 5 ; la
poule 4 qui contient déjà un club anglais, Leicester, a été exclue de ce tirage au sort.
La poule 4 et la poule 5 qui n’a pas été dotée, par le tirage au sort, de club anglais de niveau II, devaient accueillir l’une Clermont et l’autre Ospreys. Clermont, qui ne pouvait pas rejoindre la poule 5 qui contient déjà un club français est allé dans la poule 4 [11].

Les clubs de niveau III et IV sont répartis de la même façon.

Par ce procédé, Clermont a une chance sur 5 d’être dans la même poule que Cardiff.

L’ERC aurait pu procéder autrement pour répartir les clubs de niveau II et choisir d’abord par tirage au sort la poule (une parmi les 4 possibles) qui accueillera Clermont et ensuite répartir le club gallois et les 4 clubs anglais.
Selon cette seconde procédure, Clermont a une chance
sur 4 d’appartenir à la même poule que Cardiff.

Nous venons d’illustrer que la procédure retenue par
l’ERC, qui privilégie un ordre de tirage au sort, a une incidence sur la
probabilité d’atteindre chacune des répartitions des clubs dans les 6
poules. En particulier il n’y a aucune raison que la procédure de l’ERC
soit équivalente à choisir une composition des poules au hasard parmi
toutes celles possibles, chacune ayant la même probabilité d’être
choisie. C’est en ce sens que l’on peut qualifier la procédure de l’ERC
de « biaisée » [12].

Nous avons conçu un programme informatique [13], qui simule la constitution des poules en appliquant la procédure de l’ERC. Après 100 millions de simulations, nous estimons à 63,334% la probabilité que Biarritz ait un club italien dans sa poule.
Il en est évidemment de même pour Toulouse.
En serait-il de même si le tirage était non-biaisé ?

Comparaison avec un tirage au sort non-biaisé

On peut concevoir une procédure de tirage au sort non-biaisé en prenant en compte
globalement, et non pas niveau par niveau, l’ensemble des contraintes.
Une telle procédure est donc radicalement différente de celle de l’ERC.

Structuration des répartitions en 6 poules

Il y a exactement 6 clubs français qui participent à la H. CUP 2011-2012.
Chaque poule contient donc un et un seul club français. Nous pouvons numéroter
les poules de A à F, de telle façon que Biarritz soit dans la poule A, Toulouse dans
la B, Clermont dans la C, Castres dans la D, Montpellier dans la E et Racing
Métro dans la F.

Par exemple, le ré-ordonnancement correspondant à la répartition produite par le tirage au sort de l’ERC est :

Poule A Poule B Poule C Poule D Poule E Poule F
I Biarritz Toulouse Leicester Munster Leinster Cardiff
II Ospreys Harlequins Clermont Northampton Bath London Irish
III Saracens Gloucester Ulster Scarlets Glasgow Edinburgh
IV Treviso Connacht Aironi Castres Montpellier Racing Métro

Ne retenons pour chacun des clubs non-français que la nationalité. Nous
obtenons ce que nous appellerons un squelette :

Poule A Poule B Poule C Poule D Poule E Poule F
I Biarritz Toulouse Angleterre Irlande Irlande Galles
II Galles Angleterre Clermont Angleterre Angleterre Angleterre
III Angleterre Angleterre Irlande Galles Écosse Écosse
IV Italie Irlande Italie Castres Montpellier Racing Métro

Dans tous les squelettes, la place de chaque club français est fixe.
À chaque squelette donné, sont associés $2 \times 24 \times (2 \times2) \times 2 $ soit 384 répartitions réordonnées. En effet il existe :

  • $2$ façons de répartir les clubs irlandais de niveau I,
  • $4\times 3\times 2\times 1$ façons de répartir les 4 clubs anglais de niveau II,
  • au niveau III, $2$ façons de répartir les deux clubs anglais et $2$ façons de
    répartir les deux clubs gallois,
  • au niveau IV, $2$ façons de répartir les deux clubs italiens.

Nous avons écrit un programme informatique qui énumère en quelques secondes tous les squelettes, il en existe 1476.

Procédure non-biaisée

Une fois dressée la liste des squelettes, on peut concevoir une répartition des clubs dans les poules par tirage au sort, qui fera que chacune des répartitions possibles aura la même probabilité d’apparaître.
Ce tirage au sort se fera en 2 grandes étapes :

  1. tirage au sort d’un squelette (un parmi les 1476 possibles),
  2. répartition par tirage au sort des équipes en respectant ce squelette.

Si on souhaite numéroter les poules de 1 à 6, il faudra ajouter une troisième étape
pour répartir au hasard les numéros de 1 à 6.

Pour déterminer la probabilité que Biarritz soit dans la même poule qu’un club italien,
il suffit de calculer la proportion de squelettes qui contiennent dans la poule A au niveau 4 les couleurs italiennes.

Avec la procédure non-biaisée, la probabilité que Biarritz soit dans la poule d’un club italien vaut 63,415%. L’écart, avec la procédure de l’ERC, est donc très faible.

Par contre, la probabilité que Cardiff soit dans la même poule que Clermont ne vaut que 14,6% contre 20% avec la procédure de l’ERC.

Les deux procédures conduiront donc à des probabilités de certains événements assez voisines, mais pour d’autres événements cela ne sera pas le cas.

Post-scriptum :

Merci à Élise Janvresse, Thierry de la Rue, Michele Triestino, Électron et Patrick Popescu-Pampu qui ont relu des versions précédentes de cet article.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Stéphane COLINEAU est journaliste sportif au JDD (Journal Du Dimanche).

[2Sébastien Chabal, Ma petite étoile, Flammarion (2011).

[3Chaque année, 24 clubs des nations disputant le Tournoi des 6 Nations (Angleterre, Écosse, France, Irlande, Italie, Pays de Galles) participent à la H. Cup. Chaque club rencontre chacun des autres clubs de sa poule (matchs aller et retour). Les 6 clubs vainqueurs de leur poule, ainsi que les deux meilleurs seconds disputent un tournoi avec élimination directe (quarts de finale, demi-finales et finale). Le vainqueur de la finale est le gagnant de la H. Cup de l’année.

[4À titre d’illustration, au cours des 7 dernières années, les clubs italiens n’ont gagné que 3 des 90 matchs de H. Cup qu’ils ont disputés.

[5Mais pas toujours, ainsi le 10 décembre dernier Trévise a battu Biarritz 30 à 26.

[6L’internaute trouvera sur wikipedia tout ce qu’il peut souhaiter savoir sur la H. CUP 2011-2012 et celles des années précédentes.

[7Le lecteur peu familier avec la théorie des probabilités interprètera cette probabilité comme la proportion des tirages qui auraient cette propriété ... si l’ERC effectuait un très grand nombre de tirages au sort. Mais évidemment l’ERC n’en effectuera qu’un seul qui aura ou n’aura pas cette propriété.

[8La classification des clubs en quatre niveaux n’a été mise en place que depuis 4 ans, auparavant tous les clubs étaient considérés comme de même niveau.

[9Vous trouverez des arguments plus détaillés dans le petit ouvrage de mes collègues Élise Janvresse, Thierry de la
Rue :La loi des séries : hasard ou fatalité ?
Éditions Le Pommier, Les Petites Pommes du savoir 98 (2007).

[10La méthode employée conduit très rarement à une réponse erronée

[11Si le sort avait laissé libres les poules 1 et 4, le tirage au sort aurait décidé de la répartition de Clermont et Ospreys.

[12Cela ne signifie nullement que l’ERC ait voulu favoriser un club ou une nation !

[13Ce programme a été écrit avec l’aide précieuse de Alain Bostel.

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Pour citer cet article :

Gérard Grancher — «Les doutes de Sébastien Chabal sont-ils fondés ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

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Image à la une - Le logo de cet article est celui de la H. CUP.

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