Les ensembles limites de groupes kleinéens en 3D.

Piste noire Le 14 février 2013  - Ecrit par  Jos Leys Voir les commentaires

Les groupes kleinéens engendrent de très belles figures en deux dimensions. Dans cet article on montre comment on peut construire des ensembles limites qui sortent du plan dans le monde 3D, à l’aide de nombres à quatre dimensions !

Comme amateur d’images mathématiques, j’ai fait la connaissance d’ensembles limites de groupes kleinéens en lisant le livre Indra’s Pearls, the vision of Felix Klein, par Mumford, Series et Wright.

Ce livre est abordable par tous ceux qui ont un niveau mathématique relativement élémentaire. Il faut comprendre les nombres complexes, mais le livre contient même un petit chapitre sur ce sujet.

On y explique comment deux transformations de Moebius peuvent engendrer de belles figures, comme celles ci-dessous. Ces figures sont en deux dimensions : elles sont dessinées dans le plan complexe, et on peut en trouver beaucoup d’exemples sur internet. [1] Les exemples d’images d’ensembles limites en trois dimensions sont beaucoup plus rares, même si Henri Poincaré en parlait déjà en 1883 [2]. Dans cet article nous allons explorer ces ensembles limites en trois dimensions.

Les groupes en deux dimensions

Figure 1 {JPEG}Pour le cas de deux dimensions, en (très) bref, il s’agit de choisir deux transformations de Moebius.
\[f(z)=\frac{a_1z+a_2}{a_3z+a_4} ,\quad g(z)=\frac{b_1z+b_2}{b_3z+b_4}\]
où $z=x+iy$ et les $a_i$ et $b_i$ sont des nombres complexes, et où le déterminant égale $1$, c’est-à-dire $a_1a_4-a_2a_3=1$ et $b_1b_4-b_2b_3=1$ .

Il est utile d’exprimer les transformations en termes de matrices :
\[a=\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{matrix}\right) , b=\left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ \end{matrix}\right).\]
Pour la transformation $z'=f(g(z))$ on peut faire la multiplication des matrices $ab$ et prendre la matrice qui en résulte pour calculer $z'$.

Les transformations inverses sont :
\[A=a^{-1}=\left(\begin{matrix} a_4 & -a_2 \\ -* a_3 & a_1 \\ \end{matrix}\right) , B=b^{-1}=\left(\begin{matrix} b_4 & -b_2 \\ -* b_3 & b_1 \\ \end{matrix}\right)\] et on forme des mots avec les lettres $a$, $b$, $A$ et $B$.

Avec ces mots, donc des multiplications des matrices, on transforme un point et on dessine le point qui en résulte en employant autant de mots différents que possible. Cela produit l’ensemble limite des deux transformations $a$ et $b$, qu’on appelle les générateurs : l’action des générateurs est d’attirer les points générés par l’action des quatre transformations vers une forme géométrique qui est souvent remarquable.

Prenons un exemple :

\[a=\left(\begin{matrix} t & -i \\ -* i & 0 \\ \end{matrix}\right) , b=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\right).\]

Ce sont donc les deux transformations génératrices, où $a$ est la combination d’une inversion et d’une translation, et $b$ est une translation pure. L’ensemble limite, pour $t=2$, en dessous, montre clairement l’action de $b$ (et de $B$, l’inverse) comme translation selon l’axe $x$ : la figure se répète avec période $2$. L’ensemble est localisé entre deux droites horizontales : l’une a comme équation $y=0$ et l’autre $y=2$. Ces deux droites font partie de l’ensemble limite !

Figure 2 {JPEG}

On peut écrire $a$ comme
\[a=f(z)=\frac{2z-i}{-iz}=2i+\frac{1}{z},\]
ce qui représente une inversion [3] par rapport au cercle d’unité, combiné avec une translation $2i$.

Le terme $\frac{1}{z}$ transforme la droite $y=2$ en un cercle dont le centre est $(0,-0.25)$ et de rayon $0,25$. La translation de $2i$ envoie ce centre sur $(0,1.75)$, et c’est donc un cercle qui est tangent à la droite horizontale $y=2$.

On remarque qu’on trouve dans l’ensemble une infinité de cercles tangents. On peut en effet dessiner l’ensemble limite en transformant le cercle que nous venons de trouver par tous les mots possibles en $a,b,A$ et $B$. Tous ces mots sont des multiplications de transformations de Moebius, donc leur produit en est une aussi. Ces transformations préservent les cercles.

La figure circulaire du début de l’article peut être engendrée en prenant une inversion par rapport à un cercle, comme on a fait ci-dessous avec une autre valeur complexe, non réelle, de t [4]. Le cercle jaune est le cercle d’inversion.

Les inversions

Soit $C$ un cercle de centre $P$ et rayon $R$. Deux points $P_1$ et $P_2$ sont inverses par rapport à $C$, si $|P_1-P|.|P_2-P|=R^{2}$ et $P$, $P_1$ et $P_2$ sont alignés.

Un des deux points $P_1$ ou $P_2$ sera à l’intérieur du cercle, et l’autre à l’extérieur. (Si $P_1$ est sur le bord alors $P_1=P_2$.)

La même définition est valable pour une inversion par rapport à une sphère.

Les inversions par rapport aux cercles préservent les cercles : la figure inverse d’un cercle par rapport à un cercle $C$ sera de nouveau un cercle.

Les inversions par rapport aux sphères préservent les sphères : la figure inverse d’une sphère par rapport à une sphère $S$ sera de nouveau une sphère.


JPEG - 399.9 ko

Les groupes en trois dimensions

Pour passer en trois dimensions, le plus simple c’est d’ajouter un troisième générateur $c$ qui effectue une translation permettant de sortir du plan des ensembles 2D. [5] [6] Cela pose évidemment un problème, car nos transformations $a$ et $b$ s’exercent dans le plan complexe, et n’utilisent que les nombres complexes. On veut maintenant qu’elles coexistent avec une transformation qui fait sortir du plan complexe.

La solution est de passer aux quaternions. Les quaternions sont des nombres à quatre dimensions : une de trop !

On exprime un quaternion comme ceci :
\[q=x+iy+jz+kw\]
avec $i^2=-1$, $j^2=-1$, $k^2=-1$, $ij=k$, $jk=i$, $ki=j$, $ijh=-1$.

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