Les extraordinaires prédictions du Révérend Walker

Piste bleue Le 21 mars 2017  - Ecrit par  Shalom Eliahou Voir les commentaires (6)

Comment certaines affirmations mathématiques d’un obscur pasteur presbytérien en 1952 n’ont pu être vérifiées que des décennies plus tard... par ordinateur.

Introduction

Comme il se doit dans cette rubrique, on trouvera bien ici une alléchante conjecture pouvant s’énoncer en termes simples, mais insoluble depuis des lustres. Cela dit, l’article se penche aussi sur l’auteur de cette conjecture : le Révérend George W. Walker (1893-1965), un personnage intrigant et particulièrement attachant, pour lequel j’ai eu bien du mal à récolter les quelques informations dévoilées ici.

Un vrai mystère plane en effet sur toute l’affaire. En 1952, dans une très brève note rédigée par Leo Moser, celui-ci rapporte, sans démonstrations, quelques affirmations d’un certain G.W. Walker sur un problème de théorie combinatoire des nombres. Deux d’entre elles sont tellement extraordinaires qu’il a fallu attendre des décennies, et d’intenses calculs sur ordinateur, pour en vérifier une partie, en 2006 puis en 2012.

Même de nos jours, les mathématiciens restent perplexes. En effet personne, à ma connaissance, ne sait comment Walker est arrivé à la formulation de ses prédictions ni comment retrouver le cheminement de ses idées.

Or G.W. Walker est inconnu au bataillon des mathématiciens professionnels. N’ayant publié aucun article de recherche dans les revues spécialisées, il n’apparaît pas dans MathSciNet, la base de données recensant les mathématiciens du monde entier et leurs publications. En mars 2017, MathSciNet recense plus de 836.000 mathématiciens. Parmi eux, 220 ont pour nom de famille Walker. Mais aucun ne porte les initiales G.W.

Le seul indice disponible était que Walker habitait à Buffalo, dans l’État de New York aux USA, ville proche des chutes du Niagara et de la frontière canadienne, et qu’il contribuait occasionnellement à la section « Problèmes et Solutions » de la revue American Mathematical Monthly, organe mensuel officiel de la MAA, la Mathematical Association of America. Là même où est apparue la fameuse petite note de Leo Moser en 1952.

Ce n’est que tout récemment, en février 2017, que quelques détails biographiques sur G.W. Walker ont enfin pu émerger, dont le fait qu’il était révérend. Nous y reviendrons plus loin. Mais abordons d’abord le contenu mathématique de ses extraordinaires prédictions.

Contexte mathématique

Comme dans l’article précédent de cette rubrique, Les nombres de Schur, des centenaires pleins d’avenir, le thème général est celui-ci : on cherche à colorier les entiers naturels $1,2,3,\dots$ de façon à exclure que certaines structures spécifiées d’avance soient monochromatiques, c’est-à-dire d’une seule couleur. Dans l’article précité, les structures monochromatiques à exclure étaient tous les triplets d’entiers naturels de la forme
\[ (a,b,a+b). \]
Les structures monochromatiques à exclure dans le présent article sont presque identiques. La seule petite subtile différence est qu’ici, on n’exclut plus les triplets monochromatiques $(a,b,a+b)$ pour lesquels $a=b$, autrement dit ceux de la forme $(a,a,2a)$. On n’exclut ici que les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$.

Plus précisément, si l’on fixe le nombre $n$ de couleurs, la question ici est donc de savoir jusqu’à quel nombre $N$ on peut colorier les entiers naturels de $1$ à $N$ en $n$ couleurs tout en excluant les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$.

Brefs rappels sur les nombres de Schur classiques

Fixons un nombre $n$ de couleurs. Dans Les nombres de Schur, des centenaires pleins d’avenir, on avait noté $\color{red}{S(n)}$ le plus grand entier $N$ tel qu’il est possible de colorier les entiers naturels entre $1$ et $N$ en $n$ couleurs de façon à exclure les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$. Ces nombres $S(n)$ sont les nombres de Schur. Malgré plus d’un siècle d’existence, on ne connaît que les quatre premiers d’entre eux :

Les quatre premiers nombres de Schur :
\[ \begin{array}{rrr} S(1) & = & \color{red}{1} \\ S(2) & = & \color{red}{4} \\ S(3) & = & \color{red}{13} \\ S(4) & = & \color{red}{44} \end{array} \]

Quant à $S(5)$, on sait seulement qu’il est situé quelque part entre $160$ et $305$, et on conjecture que $S(5)$ vaut en fait $160$.

Les nombres de Schur faibles

Prenons acte maintenant de la subtile différence avec le cas précédent, où désormais l’on n’exclut plus que les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$. Par exemple, voici un coloriage en $n=2$ couleurs des nombres entiers de $1$ à $8$ satisfaisant cette contrainte :

\[ \begin{array}{l} \\ \hline \color{blue}{1, \ 2, \ 4, \ 8} \\ \hline \color{red}{3, \ 5, \ 6, \ 7} \\ \hline \end{array} \]

On a bien quelques triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$, comme $(\color{blue}{1},\color{blue}{1},\color{blue}{2})$, $(\color{blue}{2},\color{blue}{2},\color{blue}{4})$, $(\color{blue}{4},\color{blue}{4},\color{blue}{8})$ et $(\color{red}{3},\color{red}{3},\color{red}{6})$, mais ils satisfont tous l’égalité $a=b$. Or ici, la monochromaticité de ces triplets n’est plus interdite. Donc tout va bien, ce $2$-coloriage des entiers de $1$ à $8$ satisfait bien les contraintes imposées.

Il est impossible d’étendre ce $2$-coloriage particulier aux nombres entiers de $1$ à $9$ tout en maintenant nos contraintes, puisque colorier $\color{blue}{9}$ en bleu produirait le triplet monochromatique $(\color{blue}{1},\color{blue}{8},\color{blue}{9})$, tandis que colorier $\color{red}{9}$ en rouge produirait le triplet monochromatique $(\color{red}{3},\color{red}{6},\color{red}{9})$.

En fait, comme on peut le vérifier par essais successifs, il est tout simplement impossible de bicolorier les entiers de $1$ à $9$ tout en respectant nos contraintes. Le nombre $8$ est donc maximal pour la propriété requise. Les mathématiciens étant adeptes de formules courtes, on écrira simplement
\[ WS(2) = 8, \]
de même qu’on avait trouvé $S(2)=4$ dans le cas classique. Ici, l’acronyme $WS$ tient pour Weak Schur number, soit nombre de Schur faible en français. Le choix du mot « faible » est dû au fait que dans ce nouveau contexte, on a moins de contraintes à satisfaire, puisqu’on n’interdit plus aux triplets de la forme $(a,a,2a)$ d’être monochromatiques. Bref, les contraintes à satisfaire sont plus faibles que dans le cas classique.

Plus généralement, pour un nombre donné $n$ de couleurs, on notera
\[ WS(n) \]
le plus grand entier naturel $N$ pour lequel il est possible de colorier les entiers naturels de $1$ à $N$ en $n$ couleurs de façon à exclure les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$. On appellera $WS(n)$ le $n$-ème nombre de Schur faible.

Remarque. Juste en partant des définitions, il est facile d’établir l’inégalité
$\ S(n) \le WS(n)$.

Cliquer ici pour une petite preuve

Par définition de $S(n)$, on peut colorier les entiers de $1$ à $S(n)$ en $n$ couleurs en excluant les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$. On exclut donc, entre autres, ceux pour lesquels $a$ et $b$ sont différents. Par définition même de $WS(n)$, il suit que $WS(n)$ est supérieur ou égal à $S(n)$.

Valeurs connues des nombres de Schur faibles

Rappelons que parmi les nombres de Schur classiques $S(n)$, seuls les quatre premiers sont connus avec exactitude. La situation est similaire pour les nombres de Schur faibles $WS(n)$.

Les seuls nombres de Schur faibles connus actuellement :
\[ \begin{array}{rrr} WS(1) & = & \color{red}{2} \\ WS(2) & = & \color{red}{8} \\ WS(3) & = & \color{red}{23} \\ WS(4) & = & \color{red}{66} \end{array} \]

On a déjà vérifié l’égalité $WS(2)=8$ plus haut.

Cliquer ici pour une preuve de l’égalité $WS(1)=2$

Dans le cas présent $n=1$, notre palette ne compte qu’une unique couleur, disons bleu. En coloriant $\color{blue}{1}$ et $\color{blue}{2}$ en bleu, le triplet $(\color{blue}{1},\color{blue}{1},\color{blue}{2})$ est monochromatique, mais cela n’est pas interdit dans le cas faible. Par contre, il est impossible de rajouter $3$ puisque ça donnerait le triplet $(\color{blue}{1},\color{blue}{2},\color{blue}{3})$ qui, étant de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$, n’a aucun droit d’être monochromatique. Donc $WS(1) = 2$.

Les nombres $WS(3)$ et $WS(4)$

Voici un coloriage en $3$ couleurs des entiers de $1$ à $23$ excluant les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$ :

\[ \begin{array}{l} \\ \hline \color{blue}{1, \ 2, \ 4, \ 8, \ 11, \ 22} \\ \hline \color{red}{3, \ 5, \ 6, \ 7, \ 19, \ 21, \ 23} \\ \hline \color{green}{9, \ 10, \ 12, \ 13, \ 14, \ 15, \ 16, \ 17, \ 18, \ 20} \\ \hline \\ \end{array} \]

Il y a bien quelques triplets monochromatiques de la forme $(a,a,2a)$, comme $(\color{blue}{1},\color{blue}{1},\color{blue}{2})$, $(\color{blue}{2},\color{blue}{2},\color{blue}{4})$, $(\color{blue}{4},\color{blue}{4},\color{blue}{8})$, $(\color{blue}{11},\color{blue}{11},\color{blue}{22})$, $(\color{red}{3},\color{red}{3},\color{red}{6})$, $(\color{green}{9},\color{green}{9},\color{green}{18})$ et $(\color{green}{10},\color{green}{10},\color{green}{20})$. Mais rappelez-vous, cela n’est plus interdit ici.

Il se trouve qu’il est impossible de construire un tel coloriage en $3$ couleurs des entiers de $1$ à $24$ en respectant les contraintes. Bref, cela établit l’égalité $WS(3)=23$. Obtenue, bien sûr, par G.W. Walker en 1952.

Et pour $4$ couleurs, alors ? Comment connaît-on la valeur de $WS(4)$ déclarée plus haut ? À ce stade déjà, on est en face d’un étonnant mystère.

En effet, l’égalité $WS(4) = 66$ n’a été officiellement établie qu’en 2006, via une exploration exhaustive par ordinateur, dans un article publié par trois mathématiciens : Peter F. Blanchard, Frank Harary et Rogério Reis.

Or là encore, cette égalité avait déjà été annoncée en 1952, sans ordinateur bien évidemment, par le Révérend Walker ! Mais en 2006, cela était apparemment tombé dans l’oubli.

Le cas $WS(5)$ : prédiction ou conjecture ?

L’affaire est encore plus incroyable dans le cas de $5$ couleurs. Toujours dans cette fameuse petite note de Leo Moser en 1952, on trouve l’affirmation suivante de G.W. Walker.

Affirmation.
Jusqu’à $N=196$, on peut colorier en $5$ couleurs les nombres entiers de $1$ à $N$ en excluant les triplets monochromatiques de la forme $(a,b,a+b)$ avec $a$ différent de $b$. Mais il est impossible de faire de même pour $N=197$.

Bref, en utilisant les notations actuelles, Walker affirme que le cinquième nombre de Schur faible $WS(5)$ vaut exactement $196$. Voilà une affirmation proprement extraordinaire ! Hélas, sans doute pour des raisons de place dans la rubrique concernée de la revue, le texte de Moser n’était accompagné d’aucune indication ni démonstration. Les idées et arguments de Walker sont peut-être perdus pour toujours.

Les trois mêmes auteurs qui avaient établi par ordinateur en 2006 l’égalité $WS(4)=66$ avaient bien essayé d’attaquer le cas de $5$ couleurs, mais n’avaient rien obtenu de mieux que l’estimation $WS(5) \ge 189$ dans leurs recherches intensives. Autrement dit, ils avaient trouvé par ordinateur un coloriage en $5$ couleurs des nombres de $1$ à $189$ excluant ce qu’il faut exclure, mais sans réussir à atteindre $190$, et donc encore moins $196$, la valeur prédite... un demi-siècle plus tôt.

Ainsi donc, trois mathématiciens professionnels en 2006, armés d’ordinateurs, n’ont pas réussi ce qu’un amateur, révérend de profession, avait accompli par son ingéniosité et la seule puissance de sa pensée en 1952 !

De nos jours, on ignore encore si l’égalité $WS(5)=196$ affirmée par Walker, et rapportée sans le moindre détail par Moser, est vraie. Tout indique qu’elle l’est, mais il reste aux générations actuelles et futures de mathématiciens et d’informaticiens de l’établir définitivement.

En l’absence de preuve consultable, cette remarquable affirmation n’a pas encore droit à l’appellation de « Théorème de Walker ». On a utilisé le terme de « prédiction » plus haut, mais contentons-nous ici du terme plus usuel de « conjecture ».

Conjecture (G.W. Walker, 1952). L’égalité
$\color{red}{WS(5)=196}$ a très certainement lieu.

Ce n’est qu’en 2012 qu’une partie de cette conjecture a pu être établie, lors de recherches communes entre l’Université du Littoral Côte d’Opale [1] sur son site de Calais et l’Université de Séville. Voici le résultat obtenu conjointement par Juan Manuel Marín, María Pastora Revuelta Marchena, Isabel Sanz Dominguez et l’auteur, via la construction assistée par ordinateur d’un coloriage approprié en $5$ couleurs des entiers de $1$ à $196$.

Théorème (Calais-Séville, 2012).
On a effectivement $\color{red}{WS(5) \ge 196}.$

Pour prouver la conjecture de Walker, il reste à établir l’estimation opposée $WS(5) \le 196$. Personne actuellement ne sait comment faire, ni même par ordinateur vu l’énormité de l’arbre de recherche.

Que sait-on sur $WS(n)$ pour $n \ge 6$ ?

Le mieux que l’on sache faire actuellement est d’établir des estimations de la forme $WS(n) \ge N$. Pour cela, il « suffit » de trouver un coloriage en $n$ couleurs des nombres entiers de $1$ à $N$ excluant ce qu’il faut exclure.

L’Université du Littoral Côte d’Opale reste en pointe mondiale à ce sujet. En effet, c’est sur son site de Calais qu’ont été établies entre 2013 et 2016 les estimations suivantes, les meilleures connues actuellement.

Estimation par en dessous de quelques nombres de Schur faibles :
\[ \begin{array}{rrr} WS(6) & \ge & \color{red}{582} \\ WS(7) & \ge & \color{red}{1.740} \\ WS(8) & \ge & \color{red}{5.201} \\ WS(9) & \ge & \color{red}{15.596} \end{array} \]

Le cas de $6$ couleurs a été établi dans un travail conjoint par Cyril Fonlupt, Jean Fromentin, Virginie Marion-Poty, Denis Robilliard, Fabien Teytaud et l’auteur — représentés dans cet ordre sur cette photo [2] du 20 mars 2017 à Calais :

Les cas de $7$, $8$ et $9$ couleurs sont l’œuvre de Fanasina Rafilipojaona dans le cadre de ses travaux de thèse doctorale, soutenue en 2015 à Calais. Voici un autoportrait, fait à Paris le 5 mars 2017, de ce jeune docteur en mathématiques :

Quelques détails biographiques

Au vu des exploits mathématiques de G.W. Walker, il était bien naturel de chercher à en savoir plus à son sujet. Cela s’est révélé très difficile. Comme mentionné plus haut, il n’apparaît pas dans les bases de données mondiales des mathématiciens professionnels. J’avais bien sûr contacté, en 2012, les deux grandes sociétés américaines de mathématiques, la American Mathematical Society et la Mathematical Association of America, ainsi que d’autres sources mathématiques professionnelles. Sans grand succès.

Ce n’est que tout récemment, en cours de rédaction du présent article, que j’ai finalement pu obtenir quelques précieuses informations. La clé : s’adresser directement à la bibliothèque publique de Buffalo et à leur très performant service de recherche documentaire.

Les détails qui suivent viennent du croisement de diverses sources, en particulier d’une notice nécrologique montrée plus loin et des sites web de diverses associations professionnelles.

Il s’avère que George W. Walker a exercé la profession de révérend à l’Église presbytérienne de Perry de 1929 à 1947, puis à l’Église presbytérienne de l’avenue Walden à Buffalo de 1947 à 1960. Pendant de nombreuses années, il a même été secrétaire du Conseil des églises de l’État de New York. Un filet dans un journal local de l’époque, scanné et consultable sur le web, montre d’ailleurs que ses sermons du dimanche semblaient très appréciés du public.

Entre autres nombreuses activités, il a aussi été président de l’Association Astronomique de Buffalo en 1952. Il avait d’ailleurs lui-même construit un télescope qui, après son décès, a été remis à neuf par l’AAB puis offert à une école de mission évangélique en Bolivie avec l’accord de sa sœur Helen C. Walker.

Mais surtout, G.W. Walker a été pendant de nombreuses années membre des principales sociétés américaines de mathématiques. Il se rendait d’ailleurs régulièrement à leurs rencontres périodiques, tant locales que nationales.

À titre d’illustration : le logo illustrant l’article est une petite portion d’une photo représentant une rencontre d’été des sociétés américaines de mathématiques du 31 août au 5 septembre 1936, à Cambridge dans le Massachusetts, en lien avec le tricentenaire de l’université de Harvard. La photo complète recense 495 participants, numérotés et presque tous nommés. Quelle chance ! Dans le coin supérieur gauche, agrandi ci-dessous, de la photo illustrant cet article, se trouve le participant numéro 71. C’est notre homme.

Le coin supérieur gauche de la photo illustrant l’article

Et enfin, une recherche plus fine dans les archives de la revue American Mathematical Monthly montre qu’il a été un très actif contributeur de sa section « Problèmes et Solutions », en proposant lui-même des problèmes, mais surtout en envoyant fréquemment ses ingénieuses solutions. Dont celle de la fameuse note de 1952 qui est l’objet du présent article et dont la force nous laisse sans voix.

Terminons par évoquer une de ses solutions précédentes, en 1950, pour un problème également résolu par de nombreux autres lecteurs de la même revue. Mais celle envoyée par G.W. Walker a suscité ce commentaire élogieux de l’auteur du compte-rendu des solutions :

The solution by G.W. Walker constituted a remarkably complete discussion of the problem.

Ce qui donne, dans ma traduction approximative : « La solution de G.W. Walker a constitué une discussion remarquablement complète du problème ».

Cette phrase laisse penser que Walker était très soigneux dans l’élaboration et la rédaction de ses solutions. Cela renforce la possibilité que l’envoi à la revue concernée de ses résultats en 1952 sur $WS(3)$, $WS(4)$ et $WS(5)$ contenait de nombreux détails, voire des preuves complètes. Resterait alors à élucider un grand mystère documentaire : qu’est-il arrivé à ces notes ? Peut-on encore les retrouver ? Si oui, elles révéleront certainement des idées cruciales.

Des preuves ?

Le nom de famille Walker est assez répandu, même avec G.W. comme initiales. Comment, dans ces conditions, être sûr que le Walker mentionné dans la note de 1952 de Leo Moser et le Révérend George W. Walker sont bien la même personne ? Peut-on le prouver ?

Eh bien oui, sans le moindre doute, en croisant nos diverses sources d’information. Le logo fournit déjà la photo d’un G.W. Walker lié aux mathématiques. Viennent ensuite les notices nécrologiques du 18 novembre 1965 aimablement fournies par la bibliothèque publique de Buffalo. En voici deux extraits.

La légende de la photo révèle que le G des initiales G.W. signifie George [3]. La comparaison des photos, et le texte, ne laissent plus l’ombre d’un doute : il s’agit bien de la même personne.

Un indice supplémentaire vient en renfort, s’il le fallait encore. L’extrait ci-dessous se trouve page 332, volume 73, numéro 3 de mars 1966 de la revue American Mathematical Monthly. Comme mentionné plus haut, cette revue est l’organe officiel de la MAA, la Mathematical Association of America, association dont on apprend ici que G.W. Walker a été membre pendant 19 ans :

Epilogue

Voici ainsi levée une petite partie du mystère entourant la vie et les travaux de G.W. Walker. Je n’abandonne pas les recherches à ce sujet, y compris documentaires, et tiendrai bien sûr les lectrices et lecteurs de Images des Mathématiques au courant de toute nouvelle information relevante.

Post-scriptum :

L’auteur remercie chaleureusement la rédaction et les responsables de la relecture d’Images des Mathématiques pour leur gestion efficace de l’article, et les relecteurs Gilles Damamme, Sébastien Peronno et Bruno Duchesne pour leur relecture efficace, le tout dans de très courts délais.

Article édité par Shalom Eliahou

Notes

[1Ou ULCO pour les intimes.

[2Merci à Isabelle Buchard !

[3Par contre, je n’ai trouvé aucune source donnant la signification du W.

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Pour citer cet article :

Shalom Eliahou — «Les extraordinaires prédictions du Révérend Walker» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Le logo est une petite portion d’une photo appartenant au Département de Mathématiques de Brown University aux USA. Un grand merci à Jeffrey Hoffstein pour la version scannée en haute définition qu’il m’a envoyée en septembre 2012 dans le cadre de mes articles sur la conjecture de Hadamard dans Images des Mathématiques.

Commentaire sur l'article

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  • Soeur Céline

    le 24 mars à 20:07, par Shalom Eliahou

    Merci pour vos commentaires et pour ce rapprochement très pertinent et inattendu entre le Révérend G.W. Walker et Soeur Céline !

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