Les fameux points de Lagrange

Fameux, pour qui les connaît !

Piste bleue 28 mars 2014  - Ecrit par  Jérôme Pérez Voir les commentaires (2)

Parmi tous les domaines abordés par Joseph-Louis Lagrange la mécanique céleste tient une place de choix. C’est pendant sa période berlinoise, de 1766 à 1788 qu’il découvre une famille de points d’équilibre de certaines extensions du problème des deux corps. Les points de Lagrange étaient nés !

Depuis cette époque, nombreuses sont les extensions de cette théorie à différentes configurations. Et nombreuses sont aussi les observations astronomiques en relation directe avec ces théories.

À l’époque de Lagrange le problème dit des deux corps, c’est-à-dire le mouvement de deux masses ponctuelles qui s’attirent réciproquement selon la loi de gravitation universelle, avait déjà été résolu par Isaac Newton (1642-1725), dans les Principia Mathematica. Dans ce travail monumental, Newton avait prouvé les lois mises en évidence par Kepler (1571-1630), retrouvant, en particulier, que lorsqu’ils restent liés ces corps sont en orbite elliptique autour de leur centre de masse. Une partie des propriétés des mouvements des planètes trouvait là certaines explications.

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Kepler, Newton et Poincaré

Le problème analogue des trois corps, par exemple le système Soleil-Terre-lune, n’avait pas encore trouvé de solution mathématique conforme aux observations. Henri Poincaré (1854-1912) montrera un siècle après les travaux de Lagrange qu’une telle solution est extrêmement complexe et n’est pas utilisable physiquement. En 1772, Lagrange étudia des cas particuliers de ce problème, lorsque les trois corps sont dans le même plan ou bien que l’un d’entre eux reste toujours éloigné des deux autres. L’application au cas de la Lune, dont le mouvement autour de la Terre est perturbé par le Soleil, et les résultats qu’il en déduisit lui valurent le prix de l’Académie royale des sciences pour 1764 ; ce travail initial de Lagrange sera complété en 1787 par Laplace.

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Points de Lagrange autour de deux points en orbite circulaire.

Les applications de ces travaux ont été très nombreuses en astronomie.
Lorsque le troisième corps considéré ($m_3$) est de masse négligeable devant les deux premiers et que le second ($m_2$) est en orbite circulaire uniforme dans un plan $P$ autour du premier ($m_1$), on peut montrer qu’il existe 5 positions d’équilibre relatives pour $m_3$ appelées points de Lagrange. Les trois premiers $L_1$, $L_2$ et $L_3$ sont situés sur l’axe $m_1 m_2$ formé par les deux corps les plus massifs ; les deux autres $L_4$ et $L_5$ sont les deux positions telles que le triangle $m_1m_2m_3$ soit équilatéral.

Si la masse de $m_2$ est suffisamment faible devant celle de $m_1$, les points de Lagrange $L_4$ et $L_5$ sont des configurations stables que l’on rencontre dans de nombreuses situations astronomiques.

La planète Saturne rend un hommage particulier à Joseph-Louis Lagrange : outre ses anneaux qui présentent de nombreuses particularités dynamiques que Lagrange aurait aimé étudier, deux de ses lunes Thétys et Dione possèdent chacune deux petits satellites (Telesto, Calypso pour Thétis et Hélène et Pollux pour Dione), occupant les points $L_4$ et $L_5$ du système. A l’époque de Lagrange, seules étaient connues les lunes principales découvertes à la fin du XVII$^e$ siècle. Les petits satellites n’ont été repérés que récemment grâce aux missions Voyager et Cassini en ces points prévus par l’illustre mathématicien. Quel hommage de la technologie aux mathématiques quelque deux siècles plus tard !

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Saturne et ses lunes lagrangiennes.
Seules les échelles des orbites par rapport à Saturne sont respectées

Les positions et les propriétés dynamiques de ces points en font des emplacements privilégiés pour les satellites astronomiques. Par exemple, le satellite d’observation astronométrique Gaia, lancé fin 2013, sera mis en place au point de Lagrange $L_2$ du système Terre-Soleil. Il permettra de cartographier plus d’un milliard d’objets astronomiques pour la plupart situés dans notre galaxie. La position $L_2$ est privilégiée car elle est en quelque sorte toujours à l’abri du soleil et permet une observation de la quasi-totalité du ciel en permanence. Elle est instable (c’est ce que l’on appelle un point-selle) mais le temps caractéristique de cette instabilité est de l’ordre d’une dizaine de jours. C’est approximativement la durée qui s’écoule entre deux repositionnements du satellite. La durée de vie de la mission des satellites situés au voisinage de $L_2$ est conditionnée par ces opérations.

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Une vue d’artiste du satellite Gaia avec la voie lactée en arrière plan.

Les barres que l’on observe au centre de certaines galaxies spirales sont aussi le résultat de la figure de stabilité des points de Lagrange $L_4$ et $L_5$ que l’on peut aussi déterminer dans ces objets. Ces positions d’équilibres stables pour les étoiles évoluant dans le champ gravitationnel de l’ensemble de la galaxie constituent une sorte de refuge qui contribue à former la barre.

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NGC 1300
Cette galaxie spirale barrée est observée par le télescope spatial Hubble. La barre est la structure allongée qui s’étend depuis le centre jusqu’à la naissance de la spirale.
Post-scriptum :

Merci aux relecteurs d’Images des mathématiques (M. Ghys, Depresseux et Monmarché) pour leurs remarques lors de l’élaboration de ce texte.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

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Pour citer cet article :

Jérôme Pérez — «Les fameux points de Lagrange» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Panneau extrait de l’exposition « Lagrange » / (C) Jérôme Pérez pour l’Institut Henri Poincaré
Points de Lagrange autour de deux points en orbite circulaire. - Jérôme Perez
Saturne et ses lunes lagrangiennes. - ESO-ESA-NASA- Montage : Jérôme Perez
Une vue d’artiste du satellite Gaia avec la voie lactée en arrière plan. - ESA
NGC 1300 - Hubble Heritage Team, ESA, NASA

Commentaire sur l'article

  • Les fameux points de Lagrange

    le 26 avril 2014 à 10:22, par Jérôme

    Bonjour,

    Article intéressant, mais on aurait aimé en savoir plus sur l’origine de ces points de Lagrange.

    Personnellement (n’ayant pas spécialement de connaissances en physique), j’aurai pensé que des points d’équilibres existe lorsque la force d’attraction des deux masses est égale. Avec cette idée, on comprend l’existence du point L1, mais pas celle des autres.

    Du point L2, l’attraction de la Terre et du Soleil provient de la même direction, donc c’est un peu étrange d’avoir un équilibre.
    Les points L4 et L5 sont à la même distance de la Terre et du Soleil, alors que le Soleil est beaucoup plus massif.
    Et puis finalement le point L3 est extrêmement loin de la Terre, alors comment pourrait-elle être aussi influente que le Soleil ?

    Donc mon idée de départ est sûrement erronée. D’où l’envie d’en savoir un peu plus sur l’origine de ces points.

    Cordialement.

    Répondre à ce message
    • Les fameux points de Lagrange

      le 26 novembre 2014 à 14:33, par Jérôme Pérez

      Votre question est pleine de bon sens !
      Mais vous oubliez que le système est en rotation autour de la masse centrale. Chacune des deux autres masses subit donc en plus de la gravité une force centrifuge qu’il faut considérer pour trouver les équilibres et par la suite étudier leur stabilité.
      Un calcul de ces équilibres dans un cas simple est proposé sur le wiki correspondant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Lagrange

      Merci pour votre intérêt,
      cordialement,
      Jérôme Perez

      Répondre à ce message

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