En faisant le changement de variables \[(1.3.6)\quad x = \frac{{X + Y}}{{\sqrt 2 }},y = \frac{{X - Y}}{{\sqrt 2 }}\] dans l’équation (1.1) du folium, i.e. en lui faisant subir une rotaion de centre $O$ et de mesure $\pi /4$, nous obtenons l’équation
\[(1.3.7)\quad 2X\left( {{X^2} + 3{Y^2}} \right) - 3m\sqrt 2 \left( {{X^2} - {Y^2}} \right) = 0.\]
Si nous dilatons la courbe dans la direction des $Y$ d’un facteur $\sqrt 3$, cela devient \[(1.3.8)\quad 2X\left( {{X^2} + {Y^2}} \right) - m\sqrt 2 \left( {3{X^2} - {Y^2}} \right) = 0\] qui n’est autre chose que l’équation de la trisectrice de Maclaurin qui est donc la transformée du folium de Descartes (fig. 2 à droite) par la dilatation de direction l’asymptote du folium, de base son axe de symétrie et de rapport $\sqrt 3 $.

Soit la droite ${\mathcal{D}_t}$ définie par l’équation $y=xt$. La courbe ${\mathcal{F}}$ est la trajectoire de son point de rencontre $M_t$ avec la droite ${\mathcal{D}_t}$ lorsque le paramètre $t$ décrit $\bf R$. On obtient les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $M_t$ en résolvant le système \[(1.4.1.1)\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + {y^3} - 3mxy = 0} \\ {\quad \quad \quad \quad \quad\quad\;\,\,y = xt} \end{array}} \right.\]

Observons que $(0,0)$ est une solution de ce système pour tout $t$ ($t=-1$ compris).
Pour $t\ne-1$ on trouve \[(1.4.1.2) \quad x(t) = \frac{{3mt}}{{{t^3} + 1}},\;y(t) = \frac{{3m{t^2}}}{{{t^3} + 1}}.\]

Nous voyons donc que toutes les fonctions $x$ et $y$ vérifiant l’équation (1.1) sont définies par les relations (1.4.1.2) ci-dessus sur $\bf R\backslash \{ - 1\}$, et nous pouvons nous assurer aisément que, réciproquement, les fonctions définies par les relations (1.4.1.2) satisfont l’équation (1.1).
Le folium ${\mathcal{F}}$ est, par voie de conséquence, défini par le paramétrage

Nous avons pour tout $t\in\bf R\backslash \{ - 1\}$, \[(1.4.1.4)\quad x'(t) = 3m\frac{{1 - 2{t^3}}}{{{{\left( {{t^3} + 1} \right)}^2}}},y'(t) = 3mt\frac{{2 - {t^3}}}{{{{\left( {{t^3} + 1} \right)}^2}}}.\] Nous constatons ici que les dérivées $x'(t)$ et $y'(t)$ ne s’annulent simultanément en aucun point, et par conséquent, la courbe est régulière !

Nous résumons l’étude des variations des fonctions $x$ et $y$ dans le tableau ci-dessous où nous avons pris la valeur 1 pour $m$.

Nous notons (fig. 3) que l’arc de la courbe inclus dans le quatrième quadrant (x>0, y<0) correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left] { - \infty , - 1} \right[$. L’arc inclus dans le deuxième quadrant (x<0, y>0) correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left] { - 1,0} \right]$, tandis que la boucle de la courbe (x>0, y>0), elle correspond à $t$ appartenant à l’intervalle $\left[ {0,\infty } \right[$. [3]

Les fonctions $x$ et $y$ tendent vers l’infini lorsque $t$ tend vers $-1$. Comme
$\mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \frac{{y(t)}}{{x(t)}} = - 1$, la courbe admet la direction de la droite d’équation $y=-x$ pour direction asymptotique en $t=-1$.

Nous avons ensuite $\mathop {\lim }\limits_{t \to - 1} \left( {y(t) + x(t)} \right) = - m$ : donc la droite définie par l’équation $y=-x-m$ est une asymptote de la courbe.

Nous avons d’autre part \[(1.4.1.5)\quad y(t) + x(t) + m = m\frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{{t^2} - t + 1}},\] qui est du signe de $m$. Donc pour $m>0$ la courbe est au-dessus de l’asymptote et est au-dessous d’elle pour $m<0$.

La symétrie de la courbe par rapport à la droite d’équation $y=x$ dans un repère orthonormal de $\bf R^2$ qui se manifeste de l’invariance de l’équation (1.1) par la transformation $(x,y) \mapsto (y,x)$ suggère la réduction de l’étude des variations du paramétrage (1.4.1.3) de la courbe.

Pour ce faire remarquons que l’application $t \mapsto 1/t$ est une bijection de $I'=\left] { - 1,1} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$ sur $J'={\bf R}{\backslash [ - 1,1[}$ et nous avons $x(1/t)=y(t)$ et évidemment $y(1/t)=x(t)$.

Nous pouvons donc l’étudier sur $I'$ et nous complèterons par la symétrie par rapport à la droite d’équation $y=x$.

Cette étude est résumée dans le tableau ci-dessous.

Reprenons le paramétrage (1.4.2.1) du folium de Descartes et considérons le changement de paramètre

i.e.

Après substitution et prolongement par continuité en $u=0$, nous obtenons le « bon » paramétrage suivant du folium de Descartes

\[(1.4.2.3)\quad {\bf R} \to { \bf {R^2}},u \mapsto \left( {3m\frac{{{u^2}\left( {1 - u} \right)}}{{1 - 3u + 3{u^2}}},3m\frac{{u{{\left( {1 - u} \right)}^2}}}{{1 - 3u + 3{u^2}}}} \right).\]

Pour ce paramétrage le point $O(0,0)$ est clairement un point double puisqu’il correspond aux valeurs distinctes $0$ et $1$ du paramètre $u$.

Soit la courbe plane définie par le paramétrage
$t \mapsto r(t)$ où \[(1.6.1.1)\quad r(t) = \left( {x(t),y(t)} \right).\]
Les vecteurs unitaires tangent et normal à la courbe en son point de paramètre $t$ sont, respectivement, \[(1.6.1.2)\quad T = \frac{{r'(t)}}{{\sqrt {r'(t).r'(t)} }}\] et \[(1.6.1.3)\quad N(t) = \frac{1}{{\sqrt {x'{{(t)}^2} + y'{{(y)}^2}} }}\left( { - y'(t),x'(t)} \right).\]
La courbure et le rayon de courbure en ce point sont donnés respectivement par
\[(1.6.1.4)\quad \kappa = \frac{{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}}{{\sqrt {{{\left( {x'{{(t)}^2} + y'{{(t)}^2}} \right)}^3}} }}\]
et \[(1.6.1.5)\quad \rho = \frac{1}{\kappa },\] quand cela est possible.

Le cercle osculateur à la courbe en son point de paramètre $t$ est alors donné par le paramétrage
\[(1.6.1.6)\quad \theta \mapsto \varphi (\theta )\] où
\[(1.6.1.7)\quad \varphi (\theta ) = r(t) + \rho \left( {N + T\cos \theta + N\sin \theta } \right).\]
Les figures ci-dessous représentent les cercles osculateurs au folium (unité) de Descartes en quelques uns de ses points.

Soit le folium unité de Descartes défini par l’équation (1.1) avec $m=1$. Le développement en série de Taylor à l’ordre 2 de la fonction $f$ donnée par la relation (1.2.1) avec $m=1$ au voisinage du point $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ de la courbe donne le polynôme de Taylor du second degré de $f$ au voisinage de ce point, savoir \[(1.6.2.1)\quad T_f^{\left( 2 \right)}\left( {x,y} \right) = 3{x_0}{x^2} + 3{y_0}{y^2} - 3xy - 3x_0^2x - 3y_0^2y + 3{x_0}{y_0}.\]
La conique définie par l’équation \[(1.6.2.2))\quad 3{x_0}{x^2} + 3{y_0}{y^2} - 3xy - 3x_0^2x - 3y_0^2y + 3{x_0}{y_0}=0\] est tangente au folium de Descartes en ce point.

Donnons quelques exemples.

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$ obtenu pour $t=1$, nous avons l’ellipse donnée par l’équation \[(1.6.2.3)\quad \frac{3}{2}{x^2} + \frac{3}{2}{y^2} - xy - \frac{9}{4}x - \frac{9}{4}y + \frac{9}{4} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{4}{3},\frac{2}{3}} \right)$ obtenu pour $t=\frac{1}{2}$, nous avons l’ellipse donnée par l’équation \[(1.6.2.4)\quad \frac{4}{3}{x^2} + \frac{2}{3}{y^2} - xy - \frac{{16}}{9}x - \frac{4}{9}y + \frac{8}{9} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{6}{7},-\frac{12}{7}} \right)$ obtenu pour $t=-2$, nous avons l’hyperbole donnée par l’équation \[(1.6.2.5)\quad \frac{6}{7}{x^2} - \frac{{12}}{7}{y^2} - xy - \frac{{36}}{{49}}x - \frac{{144}}{{49}}y - \frac{{72}}{{49}} = 0.\]

Au point $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {\frac{{45}}{{3374}},-\frac{{ 675}}{{3374}}} \right)$ obtenu pour $t=-15$, nous avons l’hyperbole donnée par l’équation \[(1.6.2.6)\quad \frac{{45}}{{3374}}{x^2} - \frac{{675}}{{3374}}{y^2} - xy - \frac{{2025}}{{11383876}}x - \frac{{455625}}{{11383876}}y - \frac{{30375}}{{11383876}} = 0.\]

Enfin, en $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( {0,0} \right)$, obtenu pour $t=0$ ou $t = \pm \infty $, nous avons la conique dégénérée donnée par l’équation \[(1.6.2.7)\quad xy = 0.\]

1.7.1.1. Points à l’infini

Soit $\bf K$ un corps et soit ${\bf A_\bf K^2} = \left\{ (x,y) \in {\bf K^2} \right\}$ le plan affine sur $\bf K$. Le plan projectif $\bf P_\bf K^2$ sur $\bf K$ est formé par les classes d’équivalence sur $\bf K^3\setminus\{0\}$, où l’on déclare $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$ équivalents si et seulement s’il existe $\lambda $ dans
${\bf K^ * }$ tel que $(x,y,z) = (\lambda x',\lambda y',\lambda z')$. On notera par
$(x:y:z)$ le point (projectif), i.e. la classe d’équivalence, dont un représentant est $(x,y,z)$.

Les points de $\bf P_\bf K^2$ avec $z\ne 0$ sont les points « finis ». Ces points peuvent être identifiés avec les points du plan affine. Les points $(x:y:0)$ sont appelés les « points à l’infini » de $\bf P_\bf K^2$.

Retournons, à présent, au folium défini par l’équation (1.1). L’équation de sa complétée projective, encore appelée folium de Descartes est \[(1.7.1.1.1)\quad {x^3} + {y^3} - 3mxyz=0.\]
Les points $(x,y)$ dans le plan affine correspondent aux points $(x:y:1)$ dans le plan projectif.

Pour voir quels points sont à l’infini, nous posons $z = 0$ et nous obtenons $ x^3 + y^3 = 0$, ce qui équivaut à $(x + y) (x^2 - xy + y^2) = 0$. Nous avons maintenant deux possibilités.

1. $x+y=0$. Dans ce cas nous obtenons le point à l’infini ${\infty _1} = (-1:1:0)$.

2. $x^2-xy+y^2=0$. Considérons dans cette équation $x$ comme inconnue et $y$ comme paramètre. Son discriminant est $-3y^2$. S’il existe dans $\bf K$ un élément $\alpha$ tel que $\alpha^2=-3$, alors après simplification par $y$ nous obtenons les points à l’infini ${\infty _2} = \left( {\frac{{1 + \alpha }}{2}:1:0} \right)$ et ${\infty _3} = \left( {\frac{{1 - \alpha }}{2}:1:0} \right)$.

Pour une meilleure compréhension du fonctionnement de la loi de groupe sur le folium de Descartes, nous la décrivons pour le corps $\bf K=\bf R$, car dans ce cas nous avons une interprétation géométrique claire.

1.7.1.2. Loi de groupe sur le folium

Une première remarque est que lorsque $\bf K=\bf R$, il n’y a qu’un seul point à l’infini dans $\bf P_\bf K^2$, nous le désignons donc simplement par ${\infty }$ , en gardant à l’esprit qu’il s’agit en fait de ${\infty _1}$.

Commençons avec deux points $ P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ sur $\mathcal{F}$. Définissons un nouveau point $S$ comme suit.

Traçons la droite $\ell = ({P_1}{P_2})$. Cette droite rencontre $\mathcal{F}$ en trois points, savoir $ P_1$, $ P_2$ et un autre point $ P_3$. Nous prenons ce point $ P_3$ et considérons son symétrique $S$ par rapport à la droite définie par l’équation $y = x$. Nous définissons ${P_1} * {P_2} = S$.
Bien sûr, il y a quelques subtilités dans cette loi qui doivent être abordées. Premièrement, que se passe-t-il lorsque $P_1 = P_2$, c’est-à-dire comment fonctionne ${P_1} * {P_1}$ ? Dans ce cas, la droite $\ell $ devient la tangente à $\mathcal{F}$ en $P_1$. Alors $\ell $ rencontre $\mathcal{F}$ en un autre point $P_3$ (dans un certain sens, $\ell $ rencontre toujours $\mathcal{F}$ en trois points, mais $P_1$ compte pour deux d’entre eux), et nous considérons que ${P_1} * {P_2}$ est le symétrique de $P_3$ par rapport à la droite d’équation $y = x$. Nous définissons ${\infty} * {\infty}=\infty$.

Supposons maintenant $P_1\ne\infty$. La tangente $\ell $ a pour coefficient angulaire \[(1.7.1.2.1)\quad p = \frac{{ - x_1^2 + m{y_1}}}{{y_1^2 - m{x_1}}}.\]
Si $y_1^2-mx_1=0$, alors $\ell $ qui est parallèle à l’axe des ordonnées $y$, a pour équation $x=x_1$ et rencontre $\mathcal{F}$ en $P_1$ et $P_3$ de coordonnées $(x_3,y_3)=(x_1,-2y_1)$. Donc ${P_1} * {P_1}=(-2y_1,x_1)$.

Si $y_1^2-mx_1\ne 0$, alors $\ell $ est donnée par l’équation $y=p (x-x_1)+y_1$. Par substitution dans l’équation de $\mathcal{F}$ nous obtenons
\[(1.7.1.2.2)\quad x^3 + (p(x − x_1) + y_1)^3 − 3mx(p(x − x_1) + y_1) = 0.\]
Cette équation s’écrit

\[(1.7.1.2.3)\quad \left( {1 + {p^3}} \right){x^3} + \left( { - 3{p^3}{x_1} + 3{p^2}{y_1} - 3mp} \right){x^2} \] \[+ \left( {3{p^3}x_1^3 - 6{p^2}{x_1}{y_1} + 3py_1^2 + 3mp{x_1}- 3m{y_1}}\right)x\]
\[ + y_1^3 - {p^3}x_1^3 + 3{p^2}x_1^2{y_1} - 3p{x_1}y_1^2 = 0.\]

Si $p=-1$ (i.e. si $x_1=y_1$), alors ${P_1} * {P_1}=\infty$.

Sinon, posons \[(1.7.1.2.4)\quad s = \frac{{3{p^3}{x_1} - 3{p^2}{y_1} + 3pm}}{{{p^3} + 1}}\] la somme des racines de l’équation ci-dessus. Nous avons alors $x_3=s-2x_1$ et en substituant dans l’équation de $\ell $, nous avons $y_3=p(s-3x_1)+y_1$. Nous avons ainsi ${P_1} * {P_1}=(p(s-3x_1)+y_1,s-2x_1).$

Supposons à présent $P_1\ne P_2$. Si $x_1=x_2$, alors $\ell $ qui est parallèle à l’axe des ordonnées $y$, a pour équation $x=x_1$ et rencontre $\mathcal{F}$ en $P_3$ de coordonnées $(x_3,y_3)=(x_1,-y_1-y_2)$. Donc ${P_1} * {P_1}=(-y_1-y_2, x_1)$.

Si $x_1\ne x_2$, la droite $\ell $ a pour coefficient directeur
\[(1.7.1.2.5)\quad p = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\] et pour équation \[(1.7.1.2.6)\quad y=p(x-x_1)+y_1.\]

L’équation qui donnent les abscisses des points de rencontre de $\ell $ et $\mathcal{F}$ est, après substitution et simplification,
\[(1.7.1.2.7)\left( {1 + {p^3}} \right){x^3} + \left( { - 3{p^3}{x_1} + 3{p^2}{y_1} - 3mp} \right){x^2} \]
\[+ \left( {3{p^3}x_1^2 - 6{p^2}{x_1}{y_1} + 3py_1^2 + 3mp{x_1} - 3m{y_1}} \right)x\] \[ + y_1^3 - {p^3}x_1^3 + 3{p^2}x_1^2{y_1} - 3p{x_1}y_1^2 = 0.\]
Si $p=-1$ (i.e. si $x_1=y_2$ et $x_2=y_1$), alors ${P_1} * {P_2}=\infty$.

Si $p\ne -1$, considérons la somme des racines $x_1,x_2,x_3$, savoir,
\[(1.7.1.2.8)\quad s = \frac{{3{p^3}{x_1} - 3{p^2}{y_1} + 3pm}}{{{p^3} + 1}}.\] Il en résulte
$x_3 = s−x_1 −x_2$, puis $y_3 = p(s−2x_1−x_2)+y_1$. Nous avons donc
${P_1} * {P_2}=(p(s − 2x_1 − x_2) + y_1, s − x_1 − x_2).$

La commutativité de cette loi est évidente, l’élément d’identité est $\infty$ et l’inverse d’un point est son symétrique par rapport à la droite d’équation $y = x$. En fait, toutes les propriétés de la structure de groupe sont faciles à vérifier, à l’exception de l’associativité. Cette dernière peut être vérifiée par un long calcul utilisant des formules explicites ou par des méthodes algébriques ou analytiques plus avancées qui dépassent l’ambition de cet article.

Nous pouvons donc conclure que l’ensemble

muni de la loi de composition interne $*$ définie ci-dessus est un groupe commutatif.

Remarquons que nous pouvons considérer le folium de Descartes sur le corps des nombres rationnels $\bf Q$, le corps des nombres complexes $\bf C$ ou sur un corps fini ${\bf K}={\bf F}_{r}$ à $r$ éléments, y chercher les points à l’infini et définir une loi de groupe qui sera fini pour le dernier cas.
On pourra peut être aussi étendre ce folium aux quaternions.

Notons enfin qu’il existe encore de nombreuses applications à trouver pour le folium de Descartes, liées au fait qu’il existe une loi de groupe sur la courbe. Par exemple, la cryptographie du folium de Descartes et le problème du logarithme discret pour le folium de Descartes.

Appliquons le changement de paramètre

i.e.

sur le paramétrage (1.4.1.2). Nous obtenons pour le folium le nouveau paramétrage
\[(1.7.2.3) \quad {\bf R^ * } \to {\bf R^2},u \mapsto \left( {x(u),y(u)} \right)\] où

\[(1.7.2.4) \quad x(u) = \frac{{3m(u-1)}}{{{1+(u-1)^3}}},\;y(u) = \frac{{3m{(u-1)^2}}}{{{1+(u-1)^3}}}.\]
Il est clair que la correspondance algébrique $\left( {M(u),M(v)} \right) \mapsto M(uv)$ où $M(s)$ est le point de paramètre $s$ dans le paramétrage (1.7.2.3) définit la loi de composition interne
\[(1.7.2.5)\quad \left( {\frac{{3m(u - 1)}}{{1 + {{(u - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(u - 1)}^2}}}{{1 + {{(u - 1)}^3}}}} \right) \circ \left( {\frac{{3m(v - 1)}}{{1 + {{(v - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(v - 1)}^2}}}{{1 + {{(v - 1)}^3}}}} \right) =\]
\[ \left( {\frac{{3m(uv - 1)}}{{1 + {{(uv - 1)}^3}}},\frac{{3m{{(uv - 1)}^2}}}{{1 + {{(uv - 1)}^3}}}} \right),\]
sur le folium de Descartes, donné par ce paramétrage.

Le point $O(0,0)$ de paramètre $u=1$ est manifestement l’élément neutre pour cette loi. Les propriétés d’associativité et de commutativité se déduisent de celles de la multiplication des réels (non nuls !). Le symétrique (ou l’inverse) du point de paramètre $u$ est le point de paramètre $1/u$.
$\left( {\mathcal{F}, \circ } \right)$ est donc un groupe commutatif isomorphe au groupe multiplicatif $\left( {{\bf R^ * }, \times } \right).$
 [4]

Soit, à présent, le folium \[(1.8.1.1)\quad \bar{ \mathcal{F}} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\bf C^2}: f\left( {x,y} \right) = 0} \right\}\] où
\[(1.8.1.2)\quad f\left( {x,y} \right) = {x^3} + {y^3} - 3xy.\]
Si $\frac{{\partial P}}{{\partial y}}({x_0},{y_0}) \ne 0$ (resp. $\frac{{\partial P}}{{\partial x}}({x_0},{y_0}) \ne 0$) en un point $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ de $\bar{ \mathcal{F}}$, distinct de $(0,0)$, alors par le théorème des fonctions implicites il existe $h:V \to \bf C$ (resp. $g:W \to \bf C$) holomorphe sur un voisinage $V$ (resp. $W$) de $x_0$ (resp. de $y_0$) telle que $\bar {\mathcal{F}}$ soit définie par $y=h(x)$ (resp. $x=g(y)$) au voisinage de $(x_0, y_0)$. La courbe $\bar {\mathcal{F}}$ est donc une surface de Riemann de carte locale en un tel point la première (resp. la deuxième) projection

Cette surface de Riemann a trois feuillets puisque à une valeur de l’une des variables correspondent trois valeurs pour l’autre.

La surface de Riemann correspondant au folium de Descartes est conformément équivalente à une sphère.

Outre la surface de Riemann associée au folium de Descartes, nous donnons ci-dessous quelques surfaces parmi de nombreuses autres qu’on peut associer à cette courbe.

Note

Si on implose le cercle central, cœur de la bande de Möbius, en faisant tendre son rayon vers zéro, on obtient un cône (figure ci-dessus en haut à droite) dont la rencontre avec une sphère est une courbe fermée à deux points doubles. Sa rencontre avec un plan est le folium de Descartes défini par l’équation ${x^3} + {y^3} = 3xy.$ [5]

Une généralisation du folium de Descartes, peut être la plus belle, est due à J. A. Bullard (J. A. Bullard, Problem 410, this MONTHLY2 3 (1916) 210, et J. A. Bullard, Solution of problem 410, this MONTHLY2 4 (1917) 86.). Ce folium général est donné par l’équation
\[(2.1.1) \quad {x^{2q + 1}} + {y^{2q + 1}} - (2q + 1)m{x^q}{y^q} = 0\] où $q$ est un entier positif. L’asymptote de cette courbe est donnée par l’équation
\[(2.1.2) \quad x + y - {( - 1)^q}m = 0.\]

Il est aussi défini par le paramétrage

\[(2.1.3) \quad \bf R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\to {\bf R^2}\]
\[(2.1.4) \quad t \mapsto \left( {\frac{{(2q + 1)m{t^q}}}{{1 + {t^{2q + 1}}}},\frac{{(2q + 1)m{t^{q + 1}}}}{{1 + {t^{2q + 1}}}}} \right).\]

En coordonnée polaires il est représenté par l’équation
\[(2.1.5) \quad \rho = \frac{{(2q + 1)m\sec \theta {{\tan }^q}\theta }}{{1 + {{\tan }^{2q + 1}}\theta }}.\]

L’aire de la partie du plan limitée par la courbe et son asymptote qui est exactement la même que celle de la partie bordée par la boucle est
\[(2.1.6) \quad A(q)=\frac{{2q + 1}}{2}{m^2}.\]
L’équation précédente est un exemple de l’équation plus générale
\[(2.1.7) \quad {P_{2q + 1}}(x,y) = {P_{2q}}(x,y),\] où ${P_{n}}$ est un polynôme homogène de degré $n$.

On définit un folium comme étant la podaire d’une deltoïde.
Lorsque $O$ est le pôle de la podaire et la deltoïde a pour centre $A(a,b)$ et de point de rebroussement $B(a-2r,b)$ , $r$ étant le rayon du cercle inscrit dans la deltoïde, le folium a pour équation cartésienne
\[(4.1.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {ax + by} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) ;\]
en coordonnées polaires nous avons l’équation
\[(4.1.2) \quad \rho = r\cos 3\theta + a\cos \theta + b\sin \theta .\]
Lorsque $b=0$, le folium est dit droit et si $a=3r$, il est dit simple.

Le folium de Dürer est la sextique tricirculaire rationnelle définie par l’équation cartésienne
\[(4.2.1) \quad \left( {{x^2} + {y^2}} \right){\left[ {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {a^2}} \right]^2} - {a^4}{x^2} = 0.\]
Un paramétrage de la courbe est
\[(4.2.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{a}{2}\left( {\cos t + \cos 3t} \right),\frac{a}{2}\left( {\sin t + \sin 3t} \right)} \right).\]

Un point $O$ et deux droites perpendiculaires $D_1$ et $D_2$ étant donnés, une droite variable $D$ contenant $O$ rencontre $D_1$ en $P$, la perpendiculaire en $P$ rencontre $D_2$ en $Q$, la perpendiculaire en $Q$ rencontre $D_1$ en $R$, la perpendiculaire en $R$ rencontre $D$ en $M$, le folium parabolique est l’ensemble des points $M$ obtenu lorsque $D$ varie. Si $D_1$ et $D_2$ sont définies par les équations $x=a$ et $y=b$, le folium parabolique associé est défini par l’équation cartésienne \[(4.3.1) \quad {x^3} - a\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - bxy = 0.\]

En coordonnées polaires il est défini par \[(4.3.2) \quad \rho = \frac{a}{{\cos \theta }} - \tan \theta \frac{{a\tan \theta - b}}{{\cos \theta }}.\]
Lorsque $D_2$ contient $O$, i.e. $b=0$, le folium parabolique est dit droit.

C’est la quartique plane définie par l’équation cartésienne
\[(4.4.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - a{x^3} = 0\]
où $a$ est un réel strictement positif.

Un paramétrage de cette courbe est
\[(4.4.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{a}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}},\frac{{at}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}} \right).\]
En coordonnées polaires le folium simple est défini par l’équation
\[(4.4.3) \quad \rho = a{\cos ^3}\theta.\]
L’aire de la partie du plan qu’il délimite est égale à $\frac{{5\pi {a^2}}}{{32}}.$

Étant donnés deux points $O$ et $A$ et une droite variable $D$ contenant $O$, le folium simple est l’ensemble décrit par le projeté sur $D$ du projeté sur $(OA)$ du projeté sur $D$ de $A$.
Le folium simple est une podaire de deltoïde par rapport à un de ses points de rebroussement.

Soient $C$ un cercle contenant $O$, $A(a,0)$ et $B(0,b)$ deux points donnés et $D$ une droite contenant $O$ et rencontrant $C$ à nouveau en $P$ de projeté $H$ sur $Ox$, le bifolium associé est l’ensemble des projetés de $H$ sur la droite $(OP)$.

Il est défini en coordonnées cartésiennes par l’équation
\[(5.1.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {ax + by} \right){x^2} = 0,\]
et par le paramétrage
\[(5.1.2) \quad t \mapsto \left( {\frac{{a + bt}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}},\frac{{at + b{t^2}}}{{{{\left( {1 + {t^2}} \right)}^2}}}} \right).\]
En coordonnées polaires il est défini par l’équation
\[(5.1.3) \quad \rho = \left( {a\cos \theta + b\sin \theta } \right){\cos ^2}\theta.\]

Le bifolium droit, régulier ou de Brocard est défini par l’équation \[(5.2.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4a{x^2}y = 0\] et par le paramétrage \[(5.2.2) \quad t \mapsto \left( {a\sin t\left( {1 + \cos t} \right),a{{\sin }^2}t} \right).\]

Le quadrifolium ou trèfle à quatre feuilles est la courbe plane définie par le paramétrage \[(5.3.1) \quad t \mapsto \left( {\cos t\cos 2t,\sin t\cos 2t} \right).\]

En coordonnées polaires il est défini par l’équation \[(5.3.2) \quad \rho = \cos 2\theta .\]
Une équatiopn en coordonnées cartésiennes est \[(5.3.3) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^3} - {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = 0.\]

C’est la podaire (resp. la radiale) d’une astroïde par rapport à son centre.

Le trifolium est défini en coordonnées cartésiennes, par équation
\[(5.4.1) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - by\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) ;\]
en coordonnées polaires nous avons l’équation
\[(5.4.2) \quad \rho = r\cos 3\theta + b\sin \theta.\]
Les deux équations sont obtenues de celle du folium pour $a=0$.

C’est la podaire d’une deltoïde lorsque le pôle est intérieur à la deltoïde.

Le folium de Cramer est la quartique définie implicitement en coordonnées cartésiennes par l’équation
\[(5.5.1) \quad {x^4} + {y^4} - 2ax\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = 0\] où $a$ est un réel positif.
En coordonnées polaires, il est défini par l’équation
\[(5.5.2) \quad \rho = a\frac{{2\cos \theta \cos 2\theta }}{{{{\cos }^4}\theta + {{\sin }^4}\theta }}.\]

Le trifolium de De Longchamps et de Brocard est la podaire d’une deltoïde par rapport à un point qui lui est intérieur.
C’est un cas particulier de folium.
Lorsque le pôle de la podaire est le point $O$ et la deltoïde de centre de coordon-nées $(a,b)$ et de point de rebroussement le point de coordonnées $(a-2r,b)$ , une équation du trifolium en coordonnées polaires est \[(5.6.1) \quad \rho = r\cos 3\theta + a\cos \theta + b\sin \theta .\]
En coordonnées cartésiennes il est alors défini par l’équation \[(5.6.2) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {ax + by} \right) - rx\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) = 0.\]

C’est la podaire (resp. la radiale) d’une deltoïde par rapport à son centre.
C’est aussi l’enveloppe d’un cercle de diamètre joignant le centre d’une deltoïde et un point de cette deltoïde.
En coordonnées polaires le trifolium régulier est défini par l’équation
\[(5.7.1) \quad \rho = a\cos 3\theta \]
et en coordonnées cartésiennes par l’équation \[(5.7.2) \quad {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - ax\left( {{x^2} - 3{y^2}} \right) = 0.\]
L’aire de la partie du plan qu’elle délimite est $\frac{\pi }{{4{a^2}}}.$

On appellera $n$-folium la courbe plane définie, en coordonnées polaires, par l’équation
\[(5.8.1) \quad \rho = \frac{{a{{\sin }^2}n\theta }}{{\sin \theta }}.\]