Qu’est-ce qu’une géométrie ?

On désignera dans ce texte par géométrie de dimension deux une surface munie d’une règle permettant de mesurer la distance entre deux points de la surface. L’un des exemples que nous retiendrons, car il parlera à tout le monde (enfin, espérons-le !), est la Terre sur laquelle on sait naturellement mesurer des distances : ainsi, de Paris à New-York, y a t-il très précisément 5770 kilomètres selon Google ! En règle générale, sur une telle surface, étant donnés deux points $P$ (Paris) et $N$ (New-York) il existe exactement un seul plus court chemin entre $P$ et $N$ : ce chemin est appelé géodésique et c’est à peu près — selon le vent — celui que suivent les avions volant de Paris vers New-York (eh oui, votre pilote fait rarement un crochet par Hawaï !). On peut représenter ce chemin sur une mappemonde ou bien sur le globe terrestre (voir Figure 1) : il ne s’agit évidemment pas d’un chemin en ligne droite puisque la Terre est une sphère et qu’elle est courbée, mais d’un chemin en arc de cercle (c’est plus précisément une portion de l’unique cercle centré au noyau de la Terre et passant par Paris et New-York). Sur la Terre, les géodésiques correspondent donc à des arcs de cercle.

Figure 1 : Un Paris-New York pour 233 euros.

Une remarque cruciale que nous pouvons formuler dès à présent est qu’il est possible de renverser le point de vue précédent : si deux points $P$ et $N$ nous donnent une unique trajectoire les reliant, alors ces deux points déterminent aussi une unique direction (ou un cap, si vous préférez)) au départ de $P$ qui va vers $N$.

Figure 2 : Plusieurs trajectoires géodésiques sur un vase. Image : Frédéric Faure.

Autrement dit, dans une géométrie, il y a une façon naturelle de se déplacer : ainsi, si je vous donne un point $P$ (Paris), ainsi qu’une direction, que nous notons $v$, au départ de ce point, vous pouvez « aller tout droit » en suivant la direction $v$, c’est-à-dire avancer naturellement de façon à ce que, lorsqu’après moult péripéties dignes de l’Odyssée d’Homère, vous aurez atteint votre point d’arrivée $N$ (New-York), le chemin que vous aurez parcouru sera précisément le chemin le plus court allant de $P$ à $N$. C’est plutôt ce point de vue que nous utiliserons par la suite : une géodésique est donc une trajectoire naturelle sur la surface générée par un couple de point/direction.

De façon plus générale, sur toute géométrie de dimension deux qui peut se visualiser dans l’espace à la façon de la Terre (les mathématiciens disent de telles surfaces qu’elles sont plongées dans l’espace ambiant), il est très facile de représenter les trajectoires géodésiques. C’est la minute travaux pratiques de notre article (mais vous êtes chanceux : il y en aura une également dans le second article !) : prenez votre plus beau vase en porcelaine de Chine (c’est un exemple tout à fait autorisé de surface) ainsi qu’un rouleau de scotch. Choisissez un point sur votre vase, ainsi qu’une direction au départ de ce point. Maintenant, fixez le scotch à ce point et déroulez-le dans la direction choisie sans l’entortiller ni le plier volontairement : le scotch va alors naturellement suivre la trajectoire géodésique générée par le point et la direction que vous avez choisis. Si vous n’avez pas de vase en porcelaine de Chine (dommage pour vous !), nous avons réalisé l’expérience en Figure 2.

Une représentation schématique de la situation précédente (voir la Figure 3) montre que la géodésique passant par le point $x$ et de direction $v$ est arrivée un peu plus loin au point $x'$ avec la direction $v'$. Dans la géométrie du vase, il s’agit d’une trajectoire « en ligne droite » : autrement dit, une fourmi partant de $x$ avec la direction $v$, et arrivant ensuite en $x'$ aura eu l’impression de se déplacer sans tourner ni à gauche, ni à droite. Pour la fourmi, la direction $v'$ est donc la même que la direction $v$, un peu comme si la fourmi se bornait à suivre la direction Nord d’une boussole. En termes mathématiques, on appelle une direction un vecteur tangent et on dit que le vecteur tangent $v'$ est le transport parallèle du vecteur tangent $v$ le long de la géodésique. Evidemment, du point de vue d’un observateur extérieur qui regarderait la fourmi se déplacer sur le vase, cela ne serait plus vrai : on voit ainsi que les vecteurs $v$ et $v'$ ont bel et bien bougé dans le référentiel de l’observateur (cf. la partie droite de la Figure 3).

Figure 3 : Une trajectoire géodésique sur un vase. Image : Frédéric Faure.

Formulons également une remarque importante : un même espace peut-être muni de plusieurs règles, qui donnent alors lieu à différentes géométries. Considérons le littoral de la ville américaine de Malibu, en Californie : Noé ($N$) s’y baigne dans les eaux chaudes du Pacifique, sous la surveillance étroite de Pamela Anderson ($P$). Si d’aventure une mouette, passant au-dessus de Pamela ($P$), désirait se rendre au-dessus de Noé ($N$), elle n’irait pas par quatre chemins : elle parcourrait la distance à vol d’oiseau, comme on dit dans le language commun, c’est-à-dire qu’elle irait tout droit (en bleu). Seulement, si Noé venait à se noyer et que Pamela voulait le sauver du déluge, elle ne prendrait pas le chemin de la mouette, car Pamela sait bien qu’elle court plus vite qu’elle ne nage ; et le chemin le plus court du point de vue de Pamela serait donc une ligne brisée, comme représenté en Figure 4 (en rouge). On voit donc qu’un même espace (le littoral de Malibu en l’occurrence) peut-être muni de deux règles différentes : l’une donnant lieu à la géométrie de la mouette dans laquelle les géodésiques sont des lignes droites (c’est en fait la géométrie euclidienne de dimension deux), l’autre donnant lieu à la géométrie de Pamela Anderson, dans laquelle les géodésiques sont des lignes brisées.

Le sauvetage de Noé.

Ces exemples familiers de géométrie de dimension deux ne doivent pas nous faire croire que les espaces de dimension supérieure nous sont inconnus. Par exemple, il existe une géométrie de dimension trois que nous connaissons bien : c’est l’espace euclidien de dimension trois dans lequel nous vivons. La dimension de l’espace est déterminée par le nombre de degrés de liberté permis dans nos déplacements : comme nous pouvons nous mouvoir dans trois directions (en avant/en arrière, à gauche/à droite, en haut/en bas), il s’agit d’un espace tridimensionnel. Enfin, cet espace possède une règle (le mètre, la verge anglaise, le pied, le pouce, ... choisissez ici votre unité préférée) permettant de mesurer hauteurs, largeurs et longueurs : on sait donc dire que la tour Eiffel mesure aujourd’hui très précisément 324 mètres de haut, contre 312 mètres à l’époque de sa construction (et l’auteur de cet article serait bien curieux de connaître la raison de cette différence). Il y a donc ici tous les éléments d’une géométrie. Comme dans le cas de la géométrie de la mouette, les géodésiques y sont des lignes droites : c’est en fait une caractéristique de toutes les géométries dites euclidiennes.

Zoologie des géométries

Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Depuis le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855), on sait que l’une des caractéristiques principales d’une géométrie est sa courbure. Sur une surface, la courbure est relativement facile à décrire. Tout d’abord, elle dépend généralement du point $x$ où l’on se trouve : c’est donc une fonction, définie sur la surface, que l’on note fréquemment $x \mapsto \kappa(x)$, et que l’on appelle courbure de Gauss. Pour le formuler de façon plus pédestre, la courbure en un point $x$ de la surface est un nombre, noté $\kappa(x)$. Nous verrons dans la suite que ce qui joue un rôle important est le signe de cette fonction : est-elle positive en tout point ? nulle ? négative ? Y’a t-il des points où la courbure est positive quand elle est négative en d’autres points ?

Bernhard Riemann (1826-1866).

En dimension supérieure, la courbure n’est plus un simple nombre mais un tenseur (un grand tableau rempli de nombres !), ce qui complique quelque peu sa définition (nous renvoyons également à cet article d’Images des Maths sur la notion de courbure). On le nomme tenseur de courbure de Riemann, en l’honneur du mathématicien allemand (lui aussi !) Bernhard Riemann (1826-1866) qui l’a découvert. Après Gauss, Riemann a été l’un des pères fondateurs de la géométrie qui porte désormais son nom et que nous décrivons dans cet article : la géométrie riemannienne. Il est également connu pour avoir énoncé une conjecture — peut-être la plus célèbre des mathématiques modernes et encore irrésolue à ce jour — qui a trait (entre autres) à la distribution des nombres premiers parmi les entiers naturels : la conjecture de Riemann.

Pour donner une première intuition de la notion de courbure, disons la chose suivante : une géométrie à courbure positive [1] aura tendance à ressembler à la Terre et les géodésiques y sont des arcs de cercles ; une géométrie à courbure nulle aura tendance au contraire à ressembler à l’espace euclidien que nous connaissons bien, et les géodésiques y sont des segments de droites ; enfin, une géométrie à courbure négative ressemble plutôt à une selle de cheval (voir la Figure 6 ou la Figure 5, à droite) et les géodésiques y ont la forme d’hyperboles.

Figure 5 : Les triangles en géométrie à courbure positive ou sphérique (à gauche), courbure nulle ou euclidienne (au centre), courbure négative ou hyperbolique (à droite). Le point $x_m$ est notre point de référence autour duquel on veut calculer la courbure.

Bien sûr, tout cela est dit en des termes très vagues et demandera à être précisé. Ce qu’il est tout de même important de savoir est que la courbure de l’espace ne dépend pas de la façon dont on le représente. Autrement dit, il n’est nul besoin de décoller à bord de votre fusée et d’observer la Terre depuis l’espace pour conclure que celle-ci est une sphère et donc que sa courbure est positive ; il est en fait possible, grâce à des mesures réalisées par des hommes à la surface du globe, d’en calculer la courbure et d’en déduire que celle-ci est sphérique. Pensez : les Egyptiens l’avaient compris il y a plus de deux millénaires et, paraît-il, sans construire de fusées ! C’est ce que Gauss a découvert et nommé le Theorema Egregium (théorème important, littéralement) : la courbure d’une géométrie en est une donnée purement intrinsèque, c’est-à-dire qu’elle ne nécessite pas d’observations extérieures (dans une fusée par exemple !) pour être déterminée. Autrement dit, elle peut-être calculée par des habitants à sa surface.

Figure 6 : Une vraie selle de cheval.

Calculer la courbure

Tout cela est bien beau, me direz-vous, mais comment je la calcule ta courbure de Gauss, moi ? Eh bien, figurez-vous que Gauss n’était pas le dernier des imbéciles (croyez-moi !) : il a également remarqué que la notion de courbure est purement locale, c’est-à-dire qu’elle est définie en tout point de la surface, et que sa valeur en un point $x$ ne dépend que de la géométrie au voisinage de $x$. On peut y penser comme à un nombre qui mesure l’obstruction locale de la géométrie à être euclidienne (les mathématiciens disent aussi plate) : plus la courbure est positive et/ou négative, et moins l’espace sera plat. Précisons que ces trois termes sont pour nous synonymes : courbure plate, courbure nulle, géométrie euclidienne.

La courbure peut se calculer de façon remarquablement simple grâce à de petits triangles dessinés autour du point $x$, comme représenté à la Figure 5. Ce que l’on observe alors est la chose suivante : dans le plan euclidien que nous connaissons bien, la somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés (du moins, c’est ce que l’auteur de ce billet a appris au collège !). En revanche, il est visuellement clair que le triangle dessiné sur la sphère (à gauche) ne présente plus cette propriété : la somme de ses angles excèdera toujours 180 degrés ; à l’inverse, le triangle dessiné sur la surface hyperbolique vérifiera toujours que la somme de ses angles sera strictement inférieure à 180 degrés. On vous a donc menti toute votre vie ! il existe bel et bien des triangles dont la somme des angles ne fait pas 180 degrés, si l’on accepte bien sûr de quitter le monde de la géométrie euclidienne. En d’autres termes, la courbure de Gauss peut s’interpréter intuitivement comme le défaut :

\[ \text{défaut } = \text{ somme des angles (dans les petits triangles) } - 180 \text{ degrés.} \]

Il existe même une formule permettant de quantifier exactement ce défaut en terme de la courbure : la formule de Gauss-Bonnet, probablement considérée par de nombreux mathématiciens comme l’une des plus belles des mathématiques.

Bien qu’il existe des géométries à courbure mixte, c’est-à-dire ayant des zones de courbure positive puis négative (et le vase en est un exemple !), nous les laisserons de côté pour un temps, et nous concentrerons sur la trichotomie évoquées plus haut : géométries à courbure positive, nulle ou négative. C’est tout particulièrement ce dernier type de géométrie qui nous intéressera ici.

Les géométries à courbure négative

À quoi ressemble les géométries à courbure négative ? Elles sont assez difficiles à représenter, la raison principale étant que, contrairement au cas de la Terre, elles ne se plongent pas bien dans l’espace ambiant. Cette notion de plongement est assez difficile à cerner pour le non-mathématicien : disons simplement qu’il est toujours possible de représenter dans l’espace une portion de la surface mais rarement la surface dans son intégralité. Le modèle de la selle de cheval, déjà introduit à la Figure 6, est donc cette « portion locale » qu’il faut avoir en tête. Néanmoins, comme les mathématiciens sont les personnes les moins rigoureuses du monde (!), ils trichent et aiment toutefois dessiner dans leur globalité leurs chères surfaces hyperboliques. L’image qui suit est donc fausse !

Figure 7 : La représentation erronnée d’une surface hyperbolique particulière. En rouge sont dessinées trois trajectoires géodésiques : deux sont des boucles périodiques (ou fermées), et nous intéresseront par la suite dans un second article, tandis ce que la troisième est un simple segment géodésique partant de $x$ (avec la direction $v$) et arrivant en $y$ (avec la direction $w$).

Une compression du sculpteur César. Certes, les mathématiciens ne font pas subir de telles compressions à leurs objects (quoique !), mais ils aiment bien les étudier à des « déformations près ». On appelle topologie cette branche des mathématiques.

En quoi cette image est-elle fausse ? Eh bien, ce double donut (ou cette double bouée, si vous avez le pied marin) que les mathématiciens nomment le tore à deux trous ou le tore de genre deux présente un certain nombre de zones à courbure négative (comme l’anneau central, par exemple, ou bien les parties intérieures des trous des donuts) mais également des zones à courbure positive (!), comme les parties extérieures, choses que nous ne voulons évidemment pas. Alors pourquoi les mathématiciens s’acharnent-ils à dessiner des choses fausses ? Parce qu’à force, elles finiront peut-être par devenir vraies ? Pas tout à fait... Mais il est possible de montrer qu’en oubliant un peu la géométrie et en tordant la surface comme s’il s’agissait d’un bloc de pâte à modeler, elle finira par ressembler à ce tore à deux trous.

Disons à présent un mot sur les géodésiques dans les géométries à courbure négative : si l’on se donne deux couples point/direction suffisamment proches et que l’on regarde les géodésiques qu’ils génèrent, il semble que celles-ci aient tendance à diverger très vite, contrairement aux géométries sphériques ou euclidiennes [2] (voir la Figure 8). Ce phénomène est particulièrement remarquable et nous verrons par la suite qu’il est à l’origine du chaos dans la dynamique des trajectoires géodésiques sur les surfaces à courbure négative.

Figure 8 : Sur une surface à courbure négative, deux trajectoires géodésiques initialement proches auront tendance à diverger (à droite). Ce n’est pas le cas en revanche en courbure plate ou positive (à gauche).

Pour bien comprendre cela, nous allons exhiber l’analogie entre les dynamiques de type billards de Sinaï et les surfaces à courbure négative (nous renvoyons à cet article d’Images des Maths pour plus de détails). Un billard de Sinaï est une table (de billard !) sur laquelle sont disposés un certain nombre d’obstacles convexes comme des disques, par exemple. On lance alors une boule de billard (ou une particule si vous préférez, car il est plus pratique de penser à la boule comme un objet sans dimension) dans une certaine direction de la table et on observe sa trajectoire, en supposant l’absence de frottements : la boule va alors indéfiniment rebondir contre les obstacles et décrire une trajectoire erratique sur la table. Chaque rebond se fait selon les lois de l’optique (dites de Snell-Descartes), c’est-à-dire que l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion. Qui plus est, on considère souvent par soucis de simplicité des billards de Sinaï périodiques, ce qui revient à imaginer que la table de billard est un tore : autrement dit, tout comme dans le célèbre jeu Snake, lorsque la boule sort de la table à droite, elle revient à gauche de la table avec la même direction.

Un billard de Sinaï ; en blanc, la table de billard sur laquelle des obstacles convexes rouges ont été posés ; en noir, deux trajectoires de boules. Image : Frédéric Faure.

Quel lien, me direz-vous, entre nos chères surfaces à courbure négative et les billards de Sinaï ? Il consiste en l’observation suivante : considérons deux feuilles de papier, disposées parallèlement à l’horizontale que l’on relie en une extrémité au moyen d’une attache en forme de selle de cheval (voir la Figure 9). La partie que constituent les deux feuilles de papier est plate, mais la partie de la selle de cheval est à courbure négative, comme nous l’avons déjà expliqué au paragraphe précédent. On note $\epsilon > 0$ la taille de l’attache : plus $\epsilon$ est petit, et plus l’attache est petite. Ce que l’on observe également, c’est que plus $\epsilon$ est petit, et plus la courbure de la selle de cheval est négative.

Une capture d’écran du jeu Snake sur téléphone.

Considérons ensuite deux trajectoires géodésiques (en bleu et en rouge sur la Figure 9) arrivant parallèlement par la feuille du haut : après avoir passé l’attache (qui est à courbure négative), ces géodésiques vont diverger, comme nous l’avons expliqué plus haut, ce qui crée un angle de sortie entre la trajectoire rouge et la bleue. On regarde alors l’évolution de trajectoires lorsque $\epsilon$ se rapproche de $0$. Et, ô miracle ! dans l’hypothèse où $\epsilon$ pourrait devenir égal à $0$ (c’est-à-dire que l’attache serait de taille nulle, ce qui forcerait en pratique sa courbure à être infinie !), les trajectoires géodésiques correspondraient exactement aux trajectoires d’un billard de Sinaï !

Figure 9 : Le recollement de deux feuilles horizontales au moyen d’une selle de cheval.

On voit donc apparaître un lien fécond entre dynamique des billards et la dynamique des géodésiques sur les surfaces à courbure négative. Nous garderons ce parallèle en tête par la suite avec l’idée suivante : si un certain phénomène est observable sur un billard de Sinaï, alors il y a fort à parier qu’il soit également observable sur une surface à courbure négative ! [3]

La limite dans le cas où la taille de l’attache est nulle.

L’émergence du chaos

Concentrons-nous encore quelques instants sur les billards avant d’extrapoler nos observations au cas des surfaces à courbure négative. Il n’est pas bien difficile de faire tourner des simulations sur ordinateur pour les billards : on lance une particule, et on observe l’évolution de sa trajectoire dans le temps. C’est ce qui est représenté à la Figure 10 : à gauche, on observe les neuf premiers rebonds de la particule sur les obstacles ; à droite, on observe la trajectoire après un très grand nombre de rebonds. On remarque déjà que la trajectoire a presque entièrement rempli la table de billard (il ne reste que très peu d’espace blanc !). Il faut imaginer qu’il se passe exactement la même chose pour une trajectoire géodésique sur une surface à courbure négative. Par exemple, si l’on revient à la Figure 7 (notre fausse représentation de surface à courbure négative), la trajectoire générée par un couple point/direction $(x,v)$ va « remplir » la surface sans laisser trop de blanc [4].

Figure 10 : La trajectoire d’une particule individuelle. A gauche, les numéros correspondent à l’ordre des rebonds sur les différents obstacles. A droite, on observe la trajectoire de la particule en temps long. Image : Frédéric Faure.

Ceci n’est pourtant pas suffisant pour parler de chaos : il existe en fait des systèmes dynamiques présentant très peu de propriétés chaotiques mais qui exhibent ce même genre de phénomène. Ce qu’il nous faut ajouter, c’est si l’on vous donnait le point d’arrivée de la particule après tous ces tumultueux rebonds, il semblerait bien difficile de remonter jusqu’à l’état initial de la particule avant les rebonds tant la moindre erreur ou approximation quelque part fausserait la suite de votre calcul (cela arrive, même aux meilleurs !). On peut qualifier ce phénomène de sensibilité aux conditions initiales : deux particules partant du même point avec des directions presque semblables finiraient invariablement par diverger, et ce, très rapidement (exponentiellement vite, en fait). C’est ce que l’on observe tout d’abord en Figure 11 : on lance sur la table de billard un nuage de particules avec des positions et des directions quasiment identiques, et l’on remarque qu’en très peu de rebonds, celles-ci finissent par prendre des positions et des directions nettement distinctes.

Figure 11 : Un nuage de particules avec des conditions initiales proches fini par diverger. Image : Frédéric Faure.

Si on laisse le temps évoluer plus longtemps, on observe alors (voir la Figure 12) que le nuage s’est totalement réparti sur la table de billard, qui plus est, sans laisser de trou : on parle d’équi-répartition ou d’équi-distribution. Ce phénomène est similaire à la diffusion d’un gaz de particules dans une enceinte (nous renvoyons également à la page web de Françoise Pène qui traite de cette question) : imaginons qu’à l’instant initial, toutes les particules soient concentrées en une toute petite portion de l’enceinte, dans une petite fiole hermétique placée dans l’enceinte par exemple ; dès l’instant où l’on débouche la fiole, le gaz s’en échappe et se répand très vite et de façon aléatoire dans toute l’enceinte ; qui plus est, cette répartition se fait de façon homogène. C’est exactement le même genre de phénomène que l’on observe à la Figure 12 et dans la vidéo ci-dessous : un amas très concentré de particules donne très rapidement lieu à un nuage homogène sur tout le billard.

Conseil pratique : si la vidéo a déjà commencé, rafraîchissez la page pour la faire redémarrer.

La dynamique des particules dans un billard de Sinaï : on lance un amas de particules initialement très concentrées (c’est-à-dire avec des positions et des directions similaires) et on observe son évolution au cours du temps. Lorsque les particules rencontrent un obstacle, elles rebondissent (selon les lois de Snell-Descartes, l’angle de réflexion étant égal à l’angle d’incidence). On remarque que cet amas va très rapidement s’équi-répartir sur tout le billard et donner un nuage homogène de particules. Image : Frédéric Faure.

Il est même possible de montrer que le phénomène d’équi-répartition de la Figure 12 se produit exponentiellement vite en temps : c’est un théorème difficile qui n’a été démontré qu’en 2018 par la mathématicienne franco-suisse Viviane Baladi et ses deux collaborateurs (et non moins mathématiciens !) Mark Demers et Carlangelo Liverani, et auquel Images des Maths avait déjà consacré un article (voir cet article d’Images des Maths).

Figure 12 : Les particules s’équidistribuent sur la table de billard. Tout à droite : représentation de la trajectoire du nuage de particules dans le billard que l’on périodise la table, c’est-à-dire que l’on reproduit comme un pavage sur tout le plan. Image : Frédéric Faure.

Les observations que nous venons de faire mettent en évidence les propriétés fondamentalement chaotiques de la dynamique des particules dans le billard de Sinaï [5]. Il se produit dans le cas des surfaces à courbure négative un phénomène tout à fait similaire : les trajectoires géodésiques y sont aussi erratiques et imprévisibles. Nous verrons dans un second article qu’il existe pourtant des trajectoires tout à fait remarquables qui, à l’inverse des trajectoires erratiques, ne visitent qu’une infime portion de la surface : ce sont les trajectoires périodiques, que nous avons déjà rencontrées à la Figure 7 (les deux boucles rouges). Elles sont certes peu nombreuses, mais tout de même suffisamment bien réparties dans la surface pour encoder des informations importantes sur sa géométrie. C’est ce que l’on appelle le spectre marqué des longueurs : la suite au prochain numéro !