Les grands problèmes mathématiques

23 décembre 2013  - Ecrit par  Shalom Eliahou, Joaquín Navarro Voir les commentaires (5)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré

Cet article a été écrit en partenariat avec RBA

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série,
un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Une foire aux problèmes et aux conjectures

Préface de Shalom Eliahou, professeur à l’université du Littoral Côte d’Opale

Les problèmes ouverts – c’est-à-dire non résolus – et les conjectures en mathématiques
constituent l’un des grands moteurs du développement de cette science. C’est le cas depuis les origines. L’Antiquité a donné l’exemple en léguant à la postérité
des problèmes majeurs comme la quadrature du cercle, la duplication du cube,
la trisection de l’angle et la conjecture des nombres parfaits, tous quatre évoqués
dans ce livre. S’il a fallu attendre le XIXe siècle pour voir résolus les trois premiers,
faisant ainsi faire des progrès substantiels à l’analyse, à l’algèbre et à la théorie des
nombres, le quatrième reste encore hors d’atteinte.

Les époques successives ont toutes légué leurs lots de questions et conjectures.
Parmi les plus connues et toujours non résolues, citons :

  • la conjecture de Goldbach : « Tout entier pair supérieur à 4 est somme de deux
    nombres premiers » ;
  • la conjecture des premiers jumeaux : « Il existe une infinité de paires de
    nombres premiers à distance 2, comme $\{17, 19\}$ ou $\{59, 61\}$ » ;
  • l’hypothèse de Riemann : « L’ensemble des points du plan complexe annulant
    une certaine fonction appelée zêta est entièrement contenu dans la réunion
    de deux droites » ;
  • ou encore, bien plus récente, la question P versus NP, dont le but est de déterminer
    le vrai niveau de complexité algorithmique de certains problèmes de
    décision.

L’édifice des mathématiques est en perpétuelle construction, chaque génération
de chercheurs y contribuant par l’apport de nouveaux théorèmes ou de nouvelles
théories. Dans ce livre, il est surtout question d’une forme particulière de contribution
 : la formulation de problèmes ou de conjectures plausibles mais coriaces,
capables d’inciter de nombreux mathématiciens à s’y attaquer. Un exemple fameux
parmi d’autres, déjà mentionné : l’hypothèse de Riemann, joyau de la théorie des
nombres depuis 1859, formulée à l’issue d’une profonde réflexion sur la distribution
des nombres premiers.

Dans cette même optique, une contribution majeure a été celle de David
Hilbert, qui présenta une liste devenue célèbre de 23 problèmes au Congrès international
des mathématiciens, à Paris, en 1900. Ces problèmes, non encore tous
résolus, ont grandement influencé le développement des mathématiques au
XXe siècle. Mentionnons également les 7 problèmes du millénaire, proposés par
l’Institut mathématique Clay en l’an 2000, et dotés chacun d’un prix d’un million
de dollars pour leur résolution. L’incontournable hypothèse de Riemann, encore
elle, figure d’ailleurs dans ces deux listes.

L’un des aspects fascinants des problèmes ouverts en mathématiques est leur disponibilité publique, à la vue de tous, et le fait que pour s’y confronter, il suffit a
priori
d’avoir… de quoi écrire. La plupart des autres sciences requièrent des laboratoires, des appareils de mesure, de grandes équipes, etc. Songeons, par exemple, à la traque du boson de Higgs, Graal de la physique contemporaine, finalement détecté
au CERN à Genève au prix d’une mobilisation de ressources matérielles, technologiques
et humaines considérables. En mathématiques, n’importe qui peut se lancer
tout seul à l’assaut d’un problème ouvert. En pratique, bien sûr, cette science a
elle aussi grandement besoin de ressources pour progresser : de riches bases documentaires,
des rencontres et conférences fréquentes pour partager idées et avancées,
un environnement humain stimulant, des postes permanents, etc. Ressources indispensables
au vu de l’immense travail qui reste à accomplir, et dont la quantité de
problèmes ouverts présentés dans ce livre donne un aperçu.

Extrait du Chapitre 1 - Les grands problèmes de l’Antiquité

[...]

Pourquoi les alvéoles d’abeilles sont-elles hexagonales ?

C’est peut-être une question académique pour les abeilles, mais elle intéressa grandement
les mathématiciens. Et pour certains philosophes, elle fut lourde de mystères
transcendantaux : les abeilles agissaient-elles avec un instinct géométrique d’origine
divine, ce comportement était-il déterminé par leur génome pour des raisons d’évolution
ou les cellules de cire exerçaient-elles l’une sur l’autre des pressions finissant
par former des prismes hexagonaux ? On pouvait aussi se demander pourquoi les
cellules n’étaient pas carrées ou de formes irrégulières.

Commençons par le début. On appelle pavage tout recouvrement du plan avec
des pièces identiques, que ces dernières soient régulières, convexes ou irrégulières et
concaves, à bords droits ou courbes. Pappus d’Alexandrie (IIIe-IVe siècle), appelé Pappus dans de nombreuses sources, mentionnait déjà « la sagacité des abeilles » et, en se
référant à leur ruche, observait que les éléments hexagonaux réguliers étaient les plus
efficaces, dans le sens qu’ils offraient le plus petit périmètre possible parmi les pavages
réguliers. Ainsi, si nous acceptons comme objectif téléologique des abeilles qu’utiliser
moins de cire pour construire des cellules est un argument valable, nous commençons
à comprendre pourquoi elles ont choisi ce motif : il nécessite le moins de cire.

Tous les savants des époques postérieures ne seront pas d’accord et certains, dont
Kepler et Darwin, préféreront penser que c’est la pression des cellules adjacentes
qui déforme la forme la plus naturelle, celle du cercle, en un hexagone. Les abeilles
construisent des prismes circulaires que l’environnement extérieur comprime jusqu’à
les rendre hexagonaux, magnifiques dans leur symétrie couleur miel.

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La forme hexagonale des alvéoles du nid d’abeilles a fait l’objet d’études de plusieurs mathématiciens

Progressivement, les mathématiciens résolurent les problèmes, en particulier
grâce aux contributions de László Fejes Tóth (1915-2005), qui démontra que parmi
tous les polygones convexes, réguliers ou non, qui pavaient le plan, le polygone
régulier présentait le plus petit périmètre pour une aire donnée. À partir de là, la
réflexion ne devait plus être très longue. L’Américain Thomas Hales (né en 1958),
qui avait déjà prouvé la conjecture de Kepler sur les sphères empilées, étudia le
problème des abeilles et apporta en quelques mois une solution satisfaisante : le
pavage convexe hexagonal est le plus efficace possible, supérieur à tout pavage non
convexe et à tout pavage comprenant un ou plusieurs côtés courbes.
Le même argument vaut pour les dalles : si vous souhaitez paver un sol, les dalles
hexagonales sont les plus indiquées.

Kepler et les oranges

Johannes Kepler (1571-1630) est resté dans les mémoires pour avoir énoncé les
lois astronomiques qui portent son nom et non pour son travail de mathématicien,
bien que nous lui devions beaucoup de résultats dans ce domaine. Il se préoccupa
de la contenance
et de la forme des tonneaux de son époque ou des motifs des flocons
de neige, mais il établit également deux conjectures pour le moins célèbres : celle liée
aux alvéoles du nid d’abeilles et l’autre concernant l’empilement des sphères. Sous forme
pittoresque, cette conjecture se demande quelle est la manière la plus efficace d’empiler
des boulets de canon. Dans sa version plus légère, nous dirons que Kepler s’interrogea
sur la façon d’empiler des oranges. Il existait déjà un mode d’empilement établi : depuis
les temps les plus anciens, on empilait les oranges en formant des couches uniformes
dans lesquelles chaque orange était tangente à douze autres, les oranges d’une couche
supérieure reposant dans les creux de la couche inférieure, et ainsi de suite.

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La meilleure façon d’empiler des boulets de canon fut déjà étudiée par Johannes Kepler, comme le montre le diagramme de gauche tiré de son ouvrage L’étrenne ou la Neige sexangulaire (1611).

Les commerçants inoffensifs stockant leurs fruits, tout comme Sir Walter Raleigh
emmagasinant ses boulets de canon, utilisaient déjà l’empilement appelé « cubique
à faces centrées » par les mathématiciens, qui présente une densité proche de 74 %
(la densité, selon une définition approximative, mais suffisante pour notre propos, est
la mesure du volume d’oranges ou de boulets de canon divisé par le volume total).
Mais s’agit-il de l’empilement optimal ? On ne le savait pas en 1609, quand Kepler
aborda pour la première fois cette question dans une lettre à un ami atomiste, Thomas
Harriot, qui était l’ami et l’employé de Sir Walter Raleigh. En fait, si l’on vidait un
sac d’oranges pour former un amas confus, qui nous dit qu’une des configurations
d’oranges, même de l’ordre d’une sur un trillion, ne puisse pas présenter cette densité
optimale par un pur hasard ? La réponse ne fut jamais trouvée. Des calculs réalisés
en 1992 montrèrent que l’on obtiendrait ainsi des densités de l’ordre de 0,64, loin
des densités de 0,74048 obtenues par le commerçant.

Les préoccupations de Raleigh

Sir Walter Raleigh (env. 1552-1618), célèbre politicien
et navigateur anglais, s’intéressait au stockage des munitions
dans sa flotte.

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Sir Walter Raleigh peint par William Segar vers 1633 (National Gallery of Ireland).

Ce qui le préoccupait était non
pas le problème d’empilement d’éléments sphériques
qui intéressait Kepler (en fait, son seul souci mathématique
était de réduire le nombre de ses ennemis), mais
une question connexe très particulière : quel était le
meilleur moyen de disposer un nombre carré de boulets
de canon en forme de pyramide avec une base carrée
 ? Il voulait simplement un moyen facile de résoudre
ce problème qui s’adapterait à la capacité de stockage
d’armement d’un navire. Sa demande constituait donc
un problème arithmétique mineur pouvant être résolu
avec une équation diophantienne. La solution consiste à disposer les boulets en formant une base
de pyramide un peu instable, de 24 de côté, et à empiler les boulets successifs en couches traditionnelles,
chacun reposant dans la concavité formée par les quatre autres.

Si nous engagions une approche du problème en fonction de la dimension, nous
verrions immédiatement qu’il n’y a que deux réseaux possibles dans le plan.

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Ces réseaux sont nommés selon la forme prise par les centres des cercles. Le
réseau de droite donne la densité suivante :

\[ \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \simeq 0,9068996821\]

ce qui est le résultat recherché. Si l’on passe notre réseau dans la dimension trois,
nous obtenons des réseaux cubiques et hexagonaux. La densité maximale

\[\frac{\pi\sqrt{2}}{6} \simeq 0,74048 \]
est obtenue avec l’empilement cubique à faces centrées et l’empilement hexagonal
compact. Il existe essentiellement deux empilements :

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Empilements possibles de deux couches.

Les boulets sont disposés par couche et produisent à chaque étape deux empilements
très étroitement liés, mais géométriquement différents.

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Les deux options d’empilement.

Bien sûr, les deux types remplissent la condition selon laquelle chaque nouvelle
sphère se place dans un creux de la couche inférieure, comme dans les piles d’oranges.
Nous savons aujourd’hui que ces empilements de sphères en trois dimensions sont
optimaux, mais il s’agit d’une découverte très récente.

Thomas Hales résolut en 2002 cette conjecture qui datait déjà de presque quatre
cents ans. Il utilisa des méthodes de programmation linéaire, de la théorie de l’optimisation
et d’autres domaines connexes, mais aussi malheureusement non pas un,
mais plusieurs ordinateurs. La sophistication des programmes et l’énorme complexité
des contrôles – qui nécessitaient un ordinateur, car ils dépassaient les capacités
humaines – transformèrent la vérification des résultats en une tâche insurmontable.
Les contrôleurs déclarèrent donc qu’en ce qui les concernait, la certitude que la
démonstration était correcte était de l’ordre de 99 %, mais qu’ils ne pouvaient pas
en dire plus. Il semble qu’une nouvelle équipe et une démonstration plus élaborée
– et grâce aux capacités croissantes des machines – finiront par permettre une vérification
minutieuse. Et cela nous amène à un point clé : quel est le degré d’acceptabilité
des démonstrations qui nécessitent un ordinateur ? Certains sont partisans
de cette technique, d’autres non, et parmi ces derniers figurent des professionnels de premier ordre.

PDF - 1.6 Mo
Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Shalom Eliahou. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

Commentaire sur l'article

  • Les grands problèmes mathématiques

    le 6 janvier 2014 à 22:53, par Laurent Paluel-Marmont

    Si le volume 40 de la série comporte quelques passages ardus pour un professeur de lettres, la lecture de l’Errata qui l’accompagne lui donne du moins la satisfaction de constater qu’il avait repéré (et signalé) près du tiers des erreurs mentionnées.

    Répondre à ce message
  • Les grands problèmes mathématiques

    le 10 janvier 2014 à 18:48, par Laurent Paluel-Marmont

    Je notais à la page 15 du volume 5, « Les secrets du nombre π », une erreur sur le terme grec qui est à l’origine de son nom. Je constate avec plaisir qu’à la page 17 du volume 40 l’erreur est réparée, et que le terme apparaît même avec son accent correct... Bravo !

    Répondre à ce message
  • Les grands problèmes mathématiques

    le 10 janvier 2014 à 19:28, par Shalom Eliahou

    Un grand merci à vous pour votre lecture très attentive et pour nous avoir signalé autant d’erreurs !

    Malgré de réels efforts, la présence de passages ardus dans le volume 40 a été pratiquement inévitable, en particulier dans la présentation des grands problèmes contemporains des listes Hilbert et Clay.

    Bien cordialement !

    Répondre à ce message
  • Les grands problèmes mathématiques

    le 17 mai 2015 à 17:09, par paris

    Superbe livre je vous le recommande il vois grand comme le monde ;-) paris

    Répondre à ce message
  • La conjecture de Goldbach

    le 11 décembre 2015 à 14:29, par Kimyh

    « Tout entier pair supérieur à 4 est somme de deux nombres premiers »

    Tout à fait.
    Il suffit de prendre le second nombre premier le plus haut du chiffre donné, et de l’ajouter avec ce qu’il manque parmi les nombre premiers inférieurs.

    Exemple : Pour 60, je ne prend pas le nombre premier le plus proche (59, car je serait bloqué par le manque de 1) mais le second, 53, que je peux compléter avec le nombre premier 7, ou bien encore avec 5 et 2.
    C’est un principe applicable à un nombre de n’importe quelle grandeur.

    Quelqu’un peux-t-il me contredire ?

    Kimyh

    Répondre à ce message

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