Les images comme symboles mathématiques

23 mars 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (6)

Je voudrais commencer par deux anecdotes personnelles qui m’ont fait prendre conscience de la crainte et du malaise que les mathématiciens ressentent face aux figures et aux images.

Alors que j’étais étudiant de troisième cycle, j’ai eu l’occasion de « surprendre » l’un de mes professeurs en train de faire de petits croquis pour suivre un raisonnement, alors qu’il s’imposait de ne jamais faire la moindre figure au tableau dans son cours magistral. Pourquoi ne partageait-il pas avec ses étudiants cet accès à la compréhension que permettent les figures ?

Beaucoup plus tard, à la fin d’une de mes conférences, la réaction d’un éminent collègue m’a beaucoup surpris. J’avais présenté un théorème difficile de topologie où il fallait, comme le veut cette discipline, « couper et coller » de nombreux espaces. Pour faciliter la compréhension de ces constructions, j’avais préparé quelques figures assez élaborées, comme par exemple la figure 1. Ce collègue me demande alors perfidement : « Ce que vous avez expliqué, peut-on dire qu’il s’agit d’un théorème ? » Pourtant, les figures ne permettent-elles pas de démontrer un théorème avec la même rigueur qu’une preuve classique, rédigée avec des mots ?

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Figure 1 : Une figure de topologie (à propos d’un théorème de K. Kuperberg).

Clairement, cette « peur de l’image mathématique » est liée au risque d’erreur qu’elle entraîne. Comment se fait-il que les mathématiciens, après tant de siècles de pratique des raisonnements, n’aient pas encore réussi à apprivoiser les images et à les incorporer parmi leurs outils de travail ? Il me semble que ceci est un enjeu pour les mathématiques de demain.

Un peu d’histoire

L’histoire du rapport images/mathématiques mériterait bien sûr une analyse détaillée. On pourra consulter à ce sujet un article très intéressant de Jeanne Peiffer [1]. Je voudrais cependant tracer à grands traits (un peu simplistes) les principales périodes de cette histoire.

Chez les grecs anciens, il semble clair que le texte et la figure forment un tout, et qu’on ne peut pas lire l’un sans observer l’autre. Même s’il ne semble pas certain que les éditions originales contenaient des figures, leur description est si précise que le lecteur est invité à les tracer.

Durant la Renaissance, les mathématiciens sont souvent des artistes, des architectes, des ingénieurs. Les figures ont un rôle central, en particulier car les livres écrits par ces auteurs ne sont pas nécessairement lus par des mathématiciens.

C’est au début du XIX° siècle, surtout en France, que commence une période iconoclaste en mathématique. Cela coïncide avec la mise au point des méthodes « rigoureuses » de démonstration et la prise de conscience que les figures peuvent tromper. La citation suivante de Lagrange (en introduction à sa Mécanique Analytique) illustre bien cet état d’esprit.

« Le lecteur ne trouvera pas d’illustrations dans cet ouvrage. Les méthodes que je propose ne nécessitent pas de constructions ou de raisonnement mécanique ou géométrique, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une règle de procédure régulière et uniforme. »

Anecdotiquement, il ne faut pas oublier que la gravure des figures coûtait cher et que les éditeurs rechignaient à publier des livres de mathématiques illustrés. Les figures étaient d’ailleurs souvent reléguées en fin d’ouvrage, sur une ou deux pages dépliantes. Bien sûr, il y a des exceptions, comme les livres de géométrie descriptive, dont le but est ouvertement pratique, mais même les traités de Monge consacrés à ce sujet ne sont pas richement illustrés [2].

Ce rejet de la figure en mathématique a continué au XX° siècle, tout au moins en France. Citons Dieudonné, dans les années 1970 :

« C’est ainsi qu’il serait désirable de libérer l’élève dès que possible de la camisole de force des figures traditionnelles, en en parlant le moins possible, au profit de l’idée de transformation géométrique du plan et de l’espace tout entiers... »

En Allemagne par contre, vers la fin du XIX° siècle, une approche plus concrète des mathématiques voit le jour. Les articles de F. Klein sur l’uniformisation de certaines surfaces de Riemann sont illustrés par des figures magnifiques (voir à ce sujet le merveilleux livre [3]). On n’hésite pas à fabriquer toute une série d’objets en plâtre, utilisés dans l’enseignement supérieur, pour représenter un certain nombre de surfaces algébriques (et qu’on retrouve d’ailleurs exposés aujourd’hui dans les salles communes de nombreux départements de mathématiques dans le monde entier). Voir par exemple [4] et [5].

Le défi de Hilbert

Au congrès international des mathématiciens de Paris, en 1900, D. Hilbert propose ses fameux 23 problèmes [6] mais il fait précéder leur description d’un certain nombre de remarques générales sur les mathématiques. En voici un extrait [7] :

«  À de nouveaux concepts, il faut associer de nouveaux signes. Nous devons les choisir de telle sorte qu’ils nous rappellent les phénomènes qui ont formé ces concepts. Les figures sont des signes qui nous rappellent l’intuition spatiale, utilisés dans ce but par les mathématiciens. Qui n’utilise pas en simultané avec l’inégalité $ a < b < c $ l’image de trois points qui se suivent sur la droite ? Qui n’utilise pas le dessin de segments ou de rectangles emboîtés lorsqu’il s’agit de démontrer rigoureusement la continuité d’une fonction ou l’existence d’un point d’accumulation ? Qui pourrait se passer d’un triangle, d’un cercle et de son centre, ou de trois axes orthogonaux ? Ou qui abandonnerait la représentation d’un champ de vecteurs, ou la figure d’une famille de courbes et de son enveloppe, qui sont si importants dans la théorie des équations différentielles, dans les fondements du calcul des variations ou dans toutes les autres parties des mathématiques ?

Les symboles arithmétiques sont des diagrammes écrits et les figures géométriques sont des formules graphiques. Aucun mathématicien ne pourrait se passer de l’utilisation de ces formules graphiques, pas plus que de l’usage des parenthèses ou d’autres signes dans les formules.

L’utilisation des signes géométriques comme outils de preuves rigoureuses présuppose la connaissance et la maîtrise des axiomes qui sont sous-jacents à ces figures. Pour pouvoir incorporer ces figures géométriques dans le trésor des signes mathématiques, il est nécessaire de commencer par une analyse rigoureuse de leur contenu conceptuel. De la même manière que lorsqu’on ajoute deux nombres, on doit placer les chiffres correctement, l’utilisation et la combinaison des figures géométriques doit être régie par des règles précises. »

Ainsi donc, Hilbert nous met au défi de faire avec les images ce que Viète avait fait avec les symboles algébriques : établir des règles précises pour leur usage, qui leur soient propres et qui permettent de les utiliser comme des outils mathématiques à part entière. Ce défi n’est pas encore relevé mais il devrait l’être dans un futur proche si l’on prend en compte les possibilités extraordinaires proposées par les logiciels de création graphique dont on dispose aujourd’hui. Une image peut maintenant être modifiée, contrôlée ou travaillée avec autant de précision qu’on manipule un fichier texte par exemple.

Quelques tentatives

La théorie des nœuds offre un exemple tout à fait intéressant qui va dans cette direction. Née au cours du XIX° siècle, elle consiste à étudier des diagrammes qui ne sont que de petits croquis tracés dans le plan. Les articles sur ce sujet font figure d’exception dans les revues mathématiques : ils contiennent souvent un grand nombre de diagrammes que l’on manipule de manière presque automatique, un peu comme on manipule des symboles algébriques en suivant des règles bien établies, comme le souhaitait Hilbert. Cette théorie, après s’être quelque peu endormie au cours de la première moitié du XX° siècle, a connu un regain d’activité extraordinaire depuis les années 1980, en particulier — mais pas seulement — à cause de ses liens avec la physique théorique (les diagrammes de Feynman par exemple). Aujourd’hui, on peut manipuler un nœud comme on manipule une inconnue dans une équation. Sur le site internet de D. Bar-Natan par exemple [8], on trouve toute une série d’outils informatiques qui permettent de travailler avec ces nœuds, de la même manière que les logiciels de calcul formel permettent de travailler avec des équations. Voici une figure extraite de [9].

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Figure 2 : Extrait d’un article récent de théorie des nœuds.

Voici un autre exemple d’une formule-image extraite d’une thèse récente de probabilités dans laquelle on voit dans la même formule des inégalités, des cosinus, et des diagrammes [10].

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Figure 3 : Extrait d’une thèse de théorie des probabilités.

Mais les diagrammes ne sont que de pauvres images, bien trop élémentaires, et Hilbert avait probablement en tête des images plus riches. Vers la fin du XX° siècle, un certain nombre de mathématiciens ont proposé une renaissance des images dans les mathématiques. Un exemple emblématique est donné par le mathématicien américain W. Thurston qui a renouvelé en profondeur notre façon de comprendre la géométrie des « variétés de dimension 3 ». Il n’est bien sûr pas question d’entrer ici dans le détail de ses travaux et je voudrais me contenter d’un exemple. Sous son impulsion, J. Weeks a été amené à concevoir et réaliser un logiciel appelé SnapPea, qui est un véritable outil visuel de travail pour le topologue en dimension 3 : on y trouve des atlas contenant un grand nombre de variétés, que l’on peut modifier, couper, coller, examiner, faire tourner sur un écran devant ses yeux etc. Cet assistant de travail a eu un impact considérable sur le développement de la topologie de petite dimension (voir [11] et [12]). Bien sûr, il ne s’agit encore que d’un outil visuel d’aide à la découverte et le souhait de Hilbert n’est pas encore tout à fait réalisé.

Un théorème de S. Smale de 1957 a surpris plus d’un mathématicien. Il est possible de retourner la sphère sans la déchirer. Cela signifie que si l’on colorie par exemple la face interne d’une sphère en rouge et la face externe en jaune, il est possible de déformer progressivement la sphère en autorisant que certaines parties en pénètrent d’autres, mais sans permettre de déchirure, de sorte qu’à la fin de la déformation, la sphère soit revenue à sa position originale et les deux couleurs aient été échangées. Le simple fait que la phrase précédente soit à peu près incompréhensible pour ceux qui ne sont pas mathématiciens et bien trop imprécise pour ceux qui le sont, montre une fois de plus la difficulté d’exprimer certaines idées mathématiques avec des mots, alors que des images peuvent le faire bien plus facilement. Pour cet exemple, B. Morin et J.-P. Petit ont publié un article dans Pour la Science en 1979, contenant toute une série de dessins qui permettent à la fois de comprendre l’énoncé de ce théorème et sa démonstration [13]. Plus impressionnant : W. Thurston et ses collaborateurs ont produit un film autour de ce théorème contenant une preuve qui est tout aussi convaincante — ou peut-être même plus convaincante — que la preuve publiée par Smale [14]. Mieux encore, en une vingtaine de minutes, ce film montre les étapes conceptuelles qui ont conduit à la découverte de ce théorème. Même si l’usage des images dans ce film n’est pas formalisé comme Hilbert l’aurait souhaité, il me semble que ce film contient effectivement la preuve d’un théorème.

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Figure 4 : Retourner la sphère.

La figure précédente est extraite de ce film. À gauche on montre quelques étapes du retournement de la sphère (qui passe progressivement du jaune au rouge), et à droite l’une de ces positions intermédiaires, pour le moins alambiquée ! Pour une compréhension complète, nous recommandons au lecteur de visionner le film.

Bien sûr, les images sont loin d’être les seuls concepts utilisés par les mathématiciens et il ne faudrait pas non plus leur donner un rôle exagéré ! Mais les images ont envahi notre société et sont devenues — qu’on le veuille ou non — l’un des principaux moyens de communication d’aujourd’hui. Il faut maintenant que les images prennent la place qu’elles méritent au cœur des mathématiques. Il faut relever le défi de Hilbert :

« Incorporer ces figures géométriques dans le trésor des signes mathématiques ».

Bibliographie

Cette note est la rédaction d’une conférence
à l’Académie des Sciences le 6 mai 2008 dans un colloque intitulé
« La vertu créatrice du symbolisme mathématique ». Elle reprend un article de la Lettre de l’Académie des Sciences, datée de décembre 2008.

Notes

[1J. PEIFFER, Rôle des figures dans la transmission et la production des mathématiques, Images des Mathématiques, CNRS, 2006,

[2G. MONGE, Géométrie descriptive, http://gallica.bnf.fr/

[3D. MUMFORD, C. SERIES, D. WRIGHT, Indra’s Pearls : The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, 2002. Voir aussi http://klein.math.okstate.edu/IndrasPearls/

[4G. FISCHER, Mathematical Models : From the Collections of Universities and Museums. (Deux volumes). Friedr. Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1986.

[5A. VIERLING-CLAASSEN, http://www.math.harvard.edu/ angelavc/models/

[6Au sujet des problèmes de Hilbert, on peut lire cet article.

[7D. HILBERT, Mathematische Probleme Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900,
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ kersten/hilbert/rede.html

[8D. BAR-NATAN, http://katlas.org/wiki/Main_Page

[9D. BAR-NATAN, Fast Khovanov Homology Computations, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 16-3 (2007) 243-255, http://www.math.toronto.edu/ drorbn/papers/FastKh/

[10M. HEYDENREICH, A lace-expansion analysis of random spatial models, Ph.D. Eindhoven University of Technology, November 2008, http://www.win.tue.nl/ mheydenr/Heydenreich_proefschrift.pdf

[11J. WEEKS, SnaPea, http://www.geometrygames.org/SnapPea/

[12J. WEEKS, The Shape of Space - How to Visualize Surfaces and Three-Dimensional Manifolds.(1985) Marcel Dekker.

[13B. MORIN et J.-P. PETIT, Le retournement de la sphère, Pour la Science 15 (1979), 34-49. Voir aussi http://www.jp-petit.org/science/maths_f/cube_central.htm

[14S. LEVY, D. MAXWELL, T. MUNZNER, W. THURSTON, Outside in, Vidéo distribuée par A.K Peters, disponible sur YouTube http://fr.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Les images comme symboles mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Les images comme symboles mathématiques

    le 23 mars 2009 à 22:46, par Thomas Sauvaget

    Il y a, je pense, deux éléments de réponse à votre question « Comment se fait-il que les mathématiciens, après tant de siècles de pratique des raisonnements, n’aient pas encore réussi à apprivoiser les images et à les incorporer parmi leurs outils de travail ? ».

    Tout d’abord, comme vous le remarquez, un problème pratique est celui de l’existence et de la facilité d’utilisation de logiciels de visualisation, et de ce point de vue il y a de l’espoir à court terme (ordinateurs désormais puissants, programmeurs nombreux).

    Mais, il me semble, que plus fondamentalement vous posez la question de la fidélité mathématique de la représentation par l’image : comment concevoir une image qui représente fidèlement tel ou tel concept. Et là cela demande des aptitudes pour le dessin, une forme d’imagination visuelle, que des gens même brillants n’ont pas forcément (Poincaré venant immédiatement à l’esprit). On pourrait rêver d’instaurer un cursus mixte mathématiques-beaux arts afin de produire des mathématiciens doués dans ce domaine.

    Un dernier point est bien sûr que peut-être certains concepts ne peuvent pas avoir de représentation visuelle fidèle du tout (une sorte de trop grande subtilité, de non-robustesse par déformation). Par exemple, ne serait-ce qu’en géométrie euclidienne dans le plan, est-il possible de raisonner uniquement en termes de « points » épais visibles et des « droites » épaisses ? J’imagine que non, que des aspects non-constructifs (infini actuel, axiome du choix—même dans sa version dénombrable) risquent d’être problématiques.

    Autre exemple, est-il possible de visualiser une décomposition de Banach-Tarski de la sphère ? Le procédé est simple à décrire (voir ce texte clair par exemple), il fait intervenir de manière essentielle un infini actuel (un groupe libre à deux générateurs) et l’axiome du choix. Peut-on ne serait-ce que visualiser itérativement l’ensemble complémentaire dénombrable C (voir texte) ? Si oui obtient-on ainsi un réel outil mathématique d’investigation ?

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  • Les images comme symboles mathématiques

    le 23 mars 2009 à 23:57, par Étienne Ghys

    Merci pour vos commentaires,

    « comment concevoir une image qui représente fidèlement tel ou tel concept. Et là cela demande des aptitudes pour le dessin, une forme d’imagination visuelle, que des gens même brillants n’ont pas forcément »

    Vous avez raison bien sûr ! mais quiconque a vu les spécialistes des équations aux dérivées partielles contempler une de ces longues équations pleines de termes variés plus bizarres les uns que les autres, pourra témoigner qu’il leur faut aussi une « aptitude de compréhension de la formule algébrique » que même les plus brillants n’ont pas !

    Par ailleurs, je répète ce qui n’était peut-être pas clair. Je ne suggère absolument pas que les images devraient devenir les seuls symboles mathématiques !!! Vous avez bien sûr raison de dire que dans certains cas, elles n’ont tout simplement pas d’intérêt. Je ne me risquerais pas à faire de dessin de Banach Tarski bien sûr... Et d’ailleurs, vous le savez sûrement, la décomposition de Banach Tarski dépend de l’axiome du choix que certains rejettent ;-) Il n’est donc pas possible de « visualiser » ces constructions.

    Il s’agit simplement d’augmenter la boîte à outils des mathématiciens : je ne propose pas de jeter ceux qui fonctionnent bien depuis longtemps !

    Etienne Ghys

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  • Les images comme symboles mathématiques

    le 25 mars 2009 à 10:01, par François Sauvageot

    Merci beaucoup pour cet article. Peut-être faut-il signaler que les mathématiciens encore vivants que tu cites sont aussi des êtres dotés de personnalités hors du commun (je ne parle pas de leurs travaux mathématiques, juste de leur façon de voir le monde et de vivre) ?

    Je ne sais pas quand on peut espérer que des formes de pensée percolent dans le reste de la communauté ... Peut-être as-tu une idée sur le sujet ? Un seul être peut-il révolutionner un mode de communication ?

    À part ça, avant Laplace, je pense que c’était le rêve de Descartes de pouvoir faire de la géométrie sans jamais en faire ! Bien sûr les maths contemporaines ont redonné de plein droit du sens à la géométrie analytique, mais ne peut-on pas dire que Descartes voulait s’affranchir des figures ? En tout cas c’est comme ça que je le ressens, bien différemment de Viète qui n’avait pour ambition, ce me semble, que de développer la puissance de cet outil sans lui donner prétention à l’hégémonie.

    Mais je suis bien ignorant des détails ... aussi peut-être mon image de l’histoire est-elle fausse. Image, histoire ... et l’image en histoire ?!

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  • Les images comme symboles mathématiques

    le 31 mars 2009 à 16:47, par Didier Henrion

    Merci Etienne pour cet article mentionnant le « tabou » de l’utilisation des images en mathématiques, cf. également la préface du livre de Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Oxford University Press. On trouve par exemple dans ce livre une approche visuelle et graphique de l’intégration dans le plan complexe.

    Je pense également que tout ceci va évoluer, les technologies de calcul et de visualisation étant de plus en plus faciles à utiliser.

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  • Les images comme symboles mathématiques

    le 2 avril 2009 à 10:21, par Frédéric Le Roux

    En maths, les figures peuvent jouer des rôles assez différents. Certaines figures ne sont là que pour aider le lecteur à visualiser ce qui est dit « algébriquement » dans le texte. D’autres peuvent remplacer complètement une définition analytique ; il s’agit alors de figures sans aucune ambiguïté : pour définir une fonction affine par morceaux particulière, on peut donner les formules, ou faire un dessin ; les deux informations sont strictement équivalentes, au sens où tout le monde sait passer de l’une à l’autre. C’est ce qu’on pourrait appeler les figures-diagramme. Leur utilisation rend la lecture du texte beaucoup plus agréable (et allonge le temps d’écriture).

    Les figures les plus intéressantes, comme le film du retournement de la sphère, sont encore d’un autre type. Elles sont probantes : c’est vrai, puisqu’on le voit. Mais elles ne permettent pas de retrouver facilement une preuve formelle. Sans la remplacer, elles sont complémentaires de la preuve « classique ». Elles ont aussi un gros avantage : tout le monde retire quelque chose du film du retournement de la sphère, même sans comprendre l’énoncé exact, ni arriver à visualiser totalement la déformation. Ma grand-mère a même fait une tapisserie à partir des dessins de B. Morin et J.-P. Petit...

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  • Les images comme symboles mathématiques

    le 8 août 2014 à 02:54, par bayéma

    il me semble, humblement vu la qualité des intervenants, que la question du dessin est mal posée, ce qui fait que tout le monde a raison : instrument de travail, savoir constitué et transmissible, objet transitionnel et effaçable, ... bref on peut discourir à l’infini. mais nous, humain.e.s, sommes des êtres finis, nous n’avons accès à l’infini que par la pensée. d’où l’exceptionnelle efficacité des petites lettres.
    le dessin est donc à la croisée des chemins : affirmer la corporéité du monde ET perdre l’efficacité des symboles littéraux OU privilégier cette efficacité ET refouler les choses du corps.
    mais une totalitaire obédience à l’une ou l’autre nous est, aujourd’hui impossible, car les petites lettres qui constituent le discours scientifique, les théories mêmes sont produites par des corps bien charnels. et j’ose même avancer l’idée que c’est justement cela la cause profonde de la création d’axiomes : si les structures du réel, platoniciennes, nous étaient immédiatement perceptibles, comme purs esprits, nul besoin d’axiomes ; il suffit que je dise « si n + 1, alors... » et paf ! mais notre corps fait barrage au savoir absolu (ce pourquoi, d’ailleurs, toutes les théories théoriquement « disponibles » à un moment de l’histoire ne sont pas au rendez-vous, compte tenu, je pense, du désir), c’est-à-dire en fin de compte à la dissolution de l’être.
    le dessin, amplifié par la démocratisation de la société du spectacle a encore beaucoup, beaucoup d’avenir(s).
    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

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