Les lacs de Wada

Piste rouge Le 4 octobre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys Voir les commentaires (7)

L’idée de frontière est centrale en mathématiques. Le mathématicien René Thom ne disait-il pas qu’au fond, c’est la seule chose qui l’avait intéressé dans sa carrière ? C’était certes une exagération !

Les frontières

Commençons par un exemple très simple.

Voici un disque dessiné dans le plan.

Soyons précis : nous parlons du disque ouvert. Par définition, c’est l’ensemble des points dont la distance à un centre est strictement inférieure au rayon. Le cercle qui est indiqué en noir — l’ensemble des points dont la distance est égale au rayon — est la frontière du disque. Ce mot ne surprendra personne mais quelle définition générale de frontière pourrait-on imaginer ? En voici une :

Définition

Soit $X$ une partie du plan. Un point $p$ du plan est appelé « point frontière de $X$ » s’il a les deux propriétés suivantes :

  • on peut trouver des points de $X$ aussi près de $p$ qu’on le souhaite,
  • on peut trouver des points qui ne sont pas dans $X$ aussi près de $p$ qu’on le souhaite.

L’ensemble de ces points forme la frontière de $X$.

Vérifions d’abord que cette définition fonctionne bien dans le cas de notre disque. Un point du disque est à distance strictement inférieure au rayon et il en est donc de même pour tous les points qui lui sont assez proches : dans un petit voisinage de n’importe quel point du disque (ouvert), on ne trouve que des points du disque. Aucun point du disque n’est donc dans la frontière.

De la même manière, si un point est à une distance strictement supérieure au rayon, il en est de même de tous ses voisins assez proches et il n’est donc pas dans la frontière.

Par contre, si un point est sur le cercle, sa distance est exactement égale au rayon si bien qu’on peut trouver aussi près qu’on veut des points qui sont dans le disque et des points qui ne le sont pas.

La frontière du disque est donc bien le cercle et notre définition passe ainsi le test de « vraisemblance ».

Voici une deuxième situation. La figure suivante représente la carte de l’Europe.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Europe_countries_map_fr.png {PNG}

On peut donc penser à chaque pays comme une partie du plan (ou de la sphère si on n’oublie pas que la Terre est ronde... mais ceci n’est pas important ici). Nous prendrons la convention que les pays sont « ouverts » dans le sens suivant :

Définition Soit $X$ une partie du plan. On dit que $X$ est ouvert s’il a la propriété suivante. Pour chaque point $p$ de $X$, il existe un petit disque centré en $p$ qui ne contient que des points de $X$.

Par exemple, le disque que nous avons appelé « ouvert » précédemment est bien entendu ouvert. Dire qu’un pays — comme la France par exemple — est « un ouvert » revient à décider que chaque endroit de France est « bien ancré » en France : on peut l’entourer d’un petit domaine exclusivement français. Cela revient à décider par exemple qu’un point frontière entre deux pays n’est en fait dans aucun des deux pays. Nous ne savons pas si les juristes ont déjà débattu de cette importante question de savoir si un point peut être à la fois dans deux pays. Quoi qu’il en soit, on ne va pas faire la guerre pour un seul point, qui n’a aucune dimension comme chacun sait.

Revenons sur cette carte. On y voit un certain nombre de pays, qui sont donc des ouverts, séparés par un certain nombre de courbes, les frontières de ces pays. Comme on le voit sur la carte, un point frontière est en général à la frontière entre deux pays et pas plus. Parfois, il y a ces fameux points triples, qui ont une importance stratégique, et qui ont fait l’objet d’un article dans « Images des Maths ». En général, il n’y a pas de points quadruples mais cela peut arriver lorsque l’histoire est trop récente ou que les frontières ont été tracées à grand coups de décisions administratives. Regardez par exemple les états des USA qui sont pour la plupart des rectangles qui ont été choisis de manière bien souvent arbitraire, à une époque où il n’y avait pas grand-chose dans ces états. On voit un point quadruple, commun à l’Arizona, l’Utah, le Nouveau Mexique et le Colorado [1].

http://www.voyagerantiquemaps.com {JPEG}

Les parisiens ont-ils remarqué l’existence de quatre points quadruples entre les arrondissements de Paris ?

Il faut regarder ces points quadruples comme « instables ». Imaginez une lutte d’influence entre les quatre pays limitrophes, autour de ce point quadruple. Très probablement, le résultat sera une scission du point quadruple en deux points triples.

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Quoi qu’il en soit, nous sommes habitués à l’image suivante : lorsqu’une zone est décomposée en pays (en états, en départements, en cellules, en quartiers, en arrondissements etc.), les frontières sont en général des courbes bordant deux pays, qui se rejoignent en des points particuliers qui sont des points triples.

Encore un exemple : lorsqu’une goutte de pluie tombe quelque part en Europe par exemple, elle va suivre la ligne de plus grande pente, se retrouver dans une vallée, dans un ruisseau, un fleuve et finir dans une mer. On peut donc décomposer l’Europe en « bassins d’influence » de la Méditerranée, de l’Atlantique, de la mer noire etc.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ligne_de_partage_des_eaux {PNG}

Ces bassins sont séparés par des « lignes de partage des eaux » sur lesquelles, en principe, une goutte d’eau « hésite »... Un centimètre vers le sud, elle part dans la Méditerranée et un peu plus haut, elle part dans l’Atlantique... Ces lignes de partage des eaux sont en fait des lignes de crêtes, et elles vont en général d’un sommet à un autre. En certains points triples très particuliers, la goutte hésite entre trois destinées totalement différentes ! C’est précisément cet aspect des choses qui intéressait René Thom au plus haut point : si on considère un système complexe, qui peut être une goutte dans un paysage, mais qui peut aussi être un être humain face à son avenir, la plupart des « positions initiales » vont mener à une position d’équilibre mais dans certaines circonstances exceptionnelles, l’avenir « hésite » entre plusieurs bassins d’attraction. Ces situations, à la frontière entre les bassins d’attraction, sont celles que le scientifique aimerait comprendre. René Thom appelait ces points frontières des points catastrophiques, mais c’est une autre histoire...

Des lacs étonnants

Nous allons vous montrer une carte étonnante dans laquelle il y a quatre pays et pour laquelle TOUS les points frontières sont quadruples ! Autrement dit :

Théorème Il existe quatre pays ouverts dans le plan qui ne se rencontrent pas mais qui ont tous LA MÊME frontière. Tout point de la frontière d’un quelconque de ces quatre pays est également dans la frontière des trois autres !

Bien sûr, ces pays seront un peu bizarres et ils seront le résultat d’une longue histoire et même d’une histoire infinie... Ils vont résulter de longs conflits dans lesquels chacun des quatre pays essaye d’annexer une partie d’un pauvre cinquième... et y réussit.

Commençons par le début.

Voici une « carte ».

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image).

On y voit :

  • un pays noir, qui va se faire annexer complètement (ou presque) dans notre construction.
  • quatre autres pays : trois pays en forme de demi-disque, coloriés en trois teintes de bleu, et un quatrième qui est l’extérieur de l’ensemble, en blanc.

Jusqu’à présent, il n’y a rien d’exceptionnel. Chacun des quatre pays colorés a une frontière avec le pays noir mais n’en a aucune avec les autres pays colorés.

Chacun des quatre pays va essayer de conquérir le pays noir en annexant des territoires.

Voici le résultat de la première campagne d’annexion. Chaque pays coloré a annexé une langue qui serpente dans le pays noir. Les quatre nouveaux pays colorés ont toujours des frontières communes avec ce qui reste du pays noir et elles n’en ont toujours pas avec les autres pays colorés.

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image).

Notez que tous les habitants de l’île noire [2] se sont rapprochés des quatre pays colorés.

Dans un deuxième assaut, les pays colorés annexent encore un peu plus du noir en construisant de longues langues de terre dans le noir qu’ils s’empressent d’ajouter à leur territoire. Pour l’instant, nous n’expliquons pas en détail quels sont les territoires annexés : nous y reviendrons plus tard. Voici la nouvelle situation :

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image, puis sur [Zoom] en bas à gauche).

Il ne reste plus grand-chose du pays noir. Les pays colorés continuent à n’avoir des frontières qu’avec le pays noir. Mais il faut dire que ces frontières se rapprochent dangereusement : même s’il n’y a pas de point commun entre le pays bleu foncé et le pays blanc par exemple, on peut passer du bleu au blanc en empruntant un chemin noir très court.
Les habitants de l’île noire sont encore plus proches de chacun des pays colorés.

Voici le résultat après la troisième campagne d’annexion. On ne voit presque plus de noir. Pour le voir, il faut zoomer. Regardez :

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Les quatre pays colorés ont annexé des bandes très fines, dont les frontières sont par conséquent des courbes très longues, qui serpentent de manière incroyable dans le plan. Le pauvre pays noir rétrécit à chaque annexion.

C’est ici qu’il faut de l’imagination pour passer à la situation après une infinité de campagnes d’annexion.

Considérons par exemple le pays bleu foncé. A chaque étape de la construction son territoire augmente. On peut donc considérer la limite : l’ensemble des points qui seront coloriés en bleu foncé à un certain moment de la construction. On peut faire ceci pour chacune des quatre couleurs.

On obtient ainsi nos quatre lacs de Wada. Ce sont quatre ouverts du plan qui ne se rencontrent pas entre eux.

Qu’advient-il du pays noir ? Pour expliquer cela, il nous faut considérer le pays noir « fermé », c’est-à-dire cette-fois ci en lui adjoignant sa frontière. A chaque opération, le pays noir diminue si bien qu’on obtient une suite décroissante de pays fermés : cela veut dire simplement que chacun est contenu dans le précédent. On peut considérer la limite : l’ensemble des points qui restent noirs à jamais, les points qui ne seront jamais conquis par les pays colorés. La vérité est qu’il n’est pas clair a priori qu’il existe effectivement de tels points qui restent noirs à jamais ; mais on peut le démontrer ! Il faut prendre garde au fait que cet ensemble noir résiduel est très difficile à voir : non seulement il n’est pas ouvert mais il ne contient aucun disque, si petit soit-il ; les mathématiciens disent qu’il est d’intérieur vide. Mais il n’empêche qu’il est là...

Cet ensemble résiduel noir est la frontière commune de chacun des quatre lacs.

Même si nous ne prétendons pas en donner une démonstration rigoureuse, on peut s’en convaincre assez facilement [3]. Prenez un point $p$ dans l’ensemble résiduel noir et considérez un disque centré sur $p$ aussi petit que vous voulez. Comme les serpentins que chacun des pays colorés annexent tour à tour sont de plus en plus fins et longs et qu’ils visitent de plus en plus profondément le pays noir, on peut être sûr qu’à un certain moment, ces serpentins vont entrer dans le petit disque autour de $p$. Il en résulte que tout disque centré sur le point $p$ rencontre les quatre lacs. Autrement dit, l’ensemble résiduel est la frontière de chacun des lacs.

Essayons de comprendre un peu mieux l’agencement de ces quatre lacs et de leur frontière commune. Pour cela, nous allons couper le dessin par un segment de droite (par exemple vertical, près du centre) et nous allons voir ce qui se passe.

Dans la première étape, notre segment est complètement noir. En pratique, nous ne pouvons dessiner qu’une bande qui a une certaine épaisseur ;
et nous la dessinons ci-dessous horizontalement, avec le haut à droite,
par commodité typographique.

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Dans la seconde étape, les quatre couleurs ont lancé quatre serpents pour annexer du noir.

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Puis, dans l’étape suivante, les nouveaux serpents colorés découpent de nouveaux segments (plus petits) dans la partie noire du segment.

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Et ainsi de suite. A chaque étape, des intervalles de chaque couleur viennent se loger dans ce qui subsiste du noir. Les intervalles colorés gagnent du terrain et le noir diminue, même si le nombre total d’intervalles noirs augmente, ils sont de plus en plus petits et couvrent une partie qui va en diminuant. A la limite, les points peuvent avoir cinq couleurs : le noir d’une part et les trois bleus et le blanc d’autre part. La zone résiduelle noire n’est pas un ouvert : sa structure est reliée à un objet célèbre en topologie qu’on appelle un ensemble de Cantor que nous avons déjà rencontré dans « Images des Mathématiques » ; il est difficile à voir. Mais il est la frontière de chacun des ouverts.

Un système dynamique

La manière dont nous avons construit les serpents n’est peut-être pas très claire.

A vrai dire, ce n’est pas très important et la plupart des descriptions des lacs de Wada ne le précisent pas vraiment. Voir par exemple cet article.
En général, on présente plutôt trois lacs de Wada, et on décrit la chose comme ceci.

Partons d’un disque vert percé de deux trous.

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On y pense comme une île entourée de la mer avec deux lacs vers le centre. Puis, en partant du premier lac, on construit un canal qui augmente donc le « territoire » du lac. On ne demande pas grand-chose à ce canal, sauf qu’il visite une bonne partie de l’île sans se recouper lui-même. Puis, un canal part du second lac et visite une bonne partie de ce qui reste de l’île. Puis, un canal part de la mer et fait de même. Puis, on recommence avec le premier lac. A chaque fois, les canaux sont nécessairement plus fins puisqu’ils ne peuvent pas rencontrer ce qui a déjà été creusé. On peut faire en sorte que lorsqu’un lac creuse son $n$-ème canal, aucun point vert ne soit à une distance supérieure à $1/n$ du lac en question. Le lecteur aura compris que ce cette manière on construit également des lacs de Wada.

L’avantage de la construction que nous avons décrite est qu’elle est dynamique.

Nous allons envisager une transformation $T$ du plan dans lui même. Chaque point $p$ a une image $T(p)$ qui est un autre point du plan. Etudier la dynamique de $T$, c’est étudier ce qui se passe si on commence avec un point $p$ et qu’on applique successivement la transformation $T$ : qu’arrive-t-il à la suite de points $p, T(p), T(T(p)), T(T(T(p))), ...$ ? La transformation que nous allons décrire est bijective ce qui veut dire que pour tout point $q$ du plan, il existe un unique point $p$ tel que $T(p)=q$.

Reprenons notre pays noir, mais décomposons-le en trois zones comme ceci.

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La transformation $T$ va envoyer ces trois zones comme ceci :

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Observez bien par exemple la bande jaune. Initialement, elle occupait la partie supérieure de la figure mais après la transformation, elle a été contractée dans un sens et dilatée dans l’autre : elle est devenue une bande fine qui serpente de manière assez complexe. Chacune des trois zones colorées est ainsi contractée et dilatée par la transformation. Prenez le temps de bien observer la figure...

Et si on applique plusieurs fois la transformation, on voit les figures que nous avons déjà vues, mais la partie noire est maintenant colorée pour montrer les images des trois zones jaune, verte et rouge :

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image, puis sur [Zoom] en bas à gauche).

La $n$-ème itétation de $T$ correspond à ce que nous appelions la $n$-ème annexion. Plus on itère la transformation, plus le pays noir diminue ; on obtient à la limite cet ensemble résiduel noir.

Ceci explique (à peu près) comment $T$ agit dans la zone noire ; mais comment agit-il dans les pays colorés ? Observons par exemple le premier pays et ses deux premières images.

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Il faut imaginer que $T$ transforme la zone bleue en haut sur celle du milieu et ensuite sur celle du bas. On aperçoit un point sur la figure qui ne bouge pas : c’est un point fixe de $T$. On peut faire en sorte que ce point fixe soit répulsif : les points proches du point fixe s’en éloignent lorsqu’on leur applique $T$ successivement. Le petit pays bleu croît progressivement ; il augmente progressivement son territoire en repoussant sa « population bleue » de plus en plus loin, le long de bandes de plus en plus étroites et de plus en plus longues. Dans ce processus de « migration », seul un point situé au centre du pays (la capitale ?) reste en place.

On fait la même chose avec les deux autres pays.

La situation est un tout petit peu différente pour le quatrième pays, celui qui est en blanc. En quelque sorte, on peut dire que c’est le point à l’infini qui est fixe, et que ce point est répulsif, ce qui signifie en pratique que lorsqu’on prend un point $p$ très loin dans le plan, son image par $T$ se rapproche.

Sous cette forme, cet objet s’appelle l’attracteur de Plykin. Il est donc produit par une transformation $T$ du plan dans lui-même qui a les propriétés suivantes. Notons $W$ l’ensemble de Wada, c’est-à-dire cette partie résiduelle qui est la frontière commune des quatre lacs.

  • $T$ a trois points fixes répulsifs (et un quatrième à l’infini).
  • $T$ préserve l’ensemble $W$ : si $p$ est un point de $W$, alors $T(p)$ est également dans $W$.
  • $W$ est un « attracteur » : si $p$ est un point différent des points fixes répulsifs, et si on applique $T$ successivement en partant de $p$, la suite de points $p, T(p), T(T(p)), T(T(T(p))), ...$ — qu’on appelle l’orbite de $p$ —s’approche de $W$ au point que sur une image informatique on a l’impression que le point est « tombé » dans $W$. En fait, si on prend un point initial au hasard et qu’on dessine son orbite dans le plan, après un certain temps cette orbite « dessine » $W$, et plus on calcule une longue orbite et plus on obtient une image précise de l’attracteur.

Pour plus d’informations sur les attracteurs en général, voir cet article dans Images des Maths.

Renversons le temps... Rappelons que pour tout point $q$ il existe un unique point $p$ tel que $T(p)=q$. Notons cela $F(q)=p$. Au lieu de considérer $T$ considérons la transformation réciproque $F$. Appliquer $F$, c’est remonter dans le passé de $T$ et réciproquement. Les points fixes répulsifs de $T$ sont évidemment des points fixes de $F$ mais ils sont maintenant attractifs. L’ensemble de Wada $W$ est un répulseur. La dynamique de $F$ est la suivante.

  • Si on prend un point initial $p$ qui n’est pas dans $W$, son orbite par $F$ va converger vers l’un des quatre points fixes (y compris le point à l’infini).
  • Si on prend un point initial dans $W$, son orbite va rester dans $W$ et ne s’approchera pas de ces points fixes.

Le fait que $W$ soit la frontière commune aux quatre pays colorés signifie que si on prend un point initial dans $W$, il est possible de le modifier aussi peu qu’on le souhaite pour que le nouveau point soit attiré par n’importe lequel des quatre points attractifs. Le comportement dynamique présente donc une extrême instabilité près des points de $W$.

Quelques remarques

Cet exemple semble bien compliqué. Pourtant on ne peut pas l’ignorer. Supposez que la transformation $T$ (ou $F$) soit modifiée très légèrement en une autre transformation $T'$. Alors on peut monter que la nouvelle transformation $T'$ possédera encore quatre bassins d’attraction de quatre points fixes qui ont la même frontière. La figure restera qualitativement la même. Cela signifie que notre constatation n’est pas si exceptionnelle que cela : la transformation est structurellement stable comme disent les mathématiciens. Si un phénomène est stable, on ne peut pas le manquer et il se présentera forcément à nos yeux ! Cela montre que l’idée naïve suivant laquelle une frontière sépare en général deux pays est bien trop simpliste.

Une situation semblable s’est déjà présentée dans « Images des Maths » dans l’article consacré à la méthode de Newton. Si on se propose de trouver une solution d’une équation du troisième degré, on part d’une position initiale et on applique successivement une certaine transformation, décrite dans cet article. Suivant les cas, l’orbite va s’approcher de l’une ou l’autre des trois solutions de l’équation, ou encore va rester sur un « ensemble de Julia » qui fait la frontière entre les trois « bassins d’attraction ». Les figures de cet article nous donnent donc également un phénomène de Wada... Notons cependant que, contrairement à ce que nous avons vu ici, les bassins d’attraction dans la méthode de Newton ne sont pas connexes : ils sont constitués d’une multitude de composantes. Dans notre cas, nos pays colorés sont d’un seul tenant.

Les physiciens ont d’ailleurs mis en évidence ce phénomène dans des situations concrètes. Par exemple, D. Sweet, E. Ott et J.A. Yorke ont construit un dispositif optique dans lequel un rayon de lumière pénètre, puis ressort par quatre sorties possibles, et qui a la propriété de Wada : en modifiant arbitrairement peu la direction d’un rayon entrant, on peut faire en sorte que la sortie se produise par l’une quelconque des portes de sorties [4].

Ces lacs de Wada nous paraissent peut-être paradoxaux parce que nous avons une autre intuition du concept de frontière. Soit $p$ un point frontière d’un ouvert $X$ du plan. On dit que $p$ est « accessible », s’il est possible de trouver un chemin continu qui part d’un point de $X$, qui aboutit au point $p$ et qui, à part le point $p$, est complètement contenu dans $X$. Dans les bons cas, tous les points frontières sont accessibles : si je veux aller en n’importe quel point de la frontière franco-allemande, je peux m’y rendre par un chemin entièrement français. Par contre, dans le cas des lacs de Wada, beaucoup de points de l’ensemble résiduel noir, bien qu’étant des points frontières, ne peuvent pas être l’aboutissement d’un chemin d’une seule couleur. La figure suivante montre un exemple simple. L’ouvert $X$ est le rectangle bleu auquel on a ôté une suite infinie de « murs » $A_1A'_1, A_2A'_2, ...$ et $B_1B'_1, ...$. La frontière de $X$ est représentée en noir, mais le côté gauche du rectangle est constitué de points inaccessibles. Essayez donc de partir d’un point bleu et d’aller au point $p$ sans rencontrer les murs : vous serez barrés par des chicanes en nombre infini et vous serez forcés de faire de grandes oscillations qui empêchent votre chemin continu d’aboutir en $p$.

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Point frontière, point accessible : voilà encore une situation dans laquelle il faut bien définir le sens des mots utilisés si on veut éviter les paradoxes...

Une remarque historique pour terminer. Ce type d’exemples a été décrit en 1917 par Kunizo Yoneyama qui les a attribués à son professeur Takeo Wada , d’où le nom : les lacs de Wada [5]. Takeo Wada fut semble-t-il le premier mathématicien japonais à travailler sur la topologie [6]. Mais le mathématicien néerlandais Brouwer avait en fait déjà produit des exemples dès 1910 [7]. Un débat de priorité entre ces deux mathématiciens n’aurait bien sûr pas grand sens dans Images des Mathématiques mais cette histoire illustre une fois de plus que lorsque les temps sont mûrs, il n’est pas rare qu’un concept puisse éclore à peu près en même temps à des milliers de kilomètres de distance. Le début du vingtième siècle est une période pendant laquelle les mathématiciens ont cherché des définitions rigoureuses pour les concepts de courbes, de dimension, de frontière etc.

Notes

[1Pour plus d’informations sur les « quadripoints », consulter cet article.

[2y compris le gorille de l’Île noire.

[3Pour le lecteur qui souhaiterait des détails, qui posséderait un bagage mathématique solide, qui lirait l’anglais et qui aurait un accès à une bibliothèque scientifique, nous recommandons la lecture de Topology, par J.G. Hocking et G.S. Young, Addison-Wesley, 1961, vers la page 143.

[4D. Sweet, E. Ott et J.A. Yorke, Complex topology in chaotic scattering, a laboratory observation, Nature 399, 315 (1999).

[5K. Yaneyama, Theory of continuous sets of points, Tohoku 12 (1917),
voir page 60 en bas, où Wada est cité.

[7Brouwer, L. E. J. ; Zur Analysis Situs. Math. Ann. 68 (1910), no. 3, 422—434.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys, Jos Leys — «Les lacs de Wada » — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Les lacs de Wada

    le 6 octobre 2009 à 09:39, par Maxime Bourrigan

    « Nous ne savons pas si les juristes ont déjà débattu de cette importante question de savoir si un point peut être à la fois dans deux pays. »

    On peut discuter pour savoir si ça répond à la question mais l’île des Faisans (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%8Ele_des_Faisans) est un condominium franco-espagnol qui change d’autorité tous les six mois.

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 25 février 2010 à 14:33, par tumiac

    La méthode de Newton appliquée dans le plan complexe à l’équation $x^3-1=0$ partage ce plan en trois ouverts (respectivement les régions où la méthode converge vers 1, j et j^2) ayant une frontière commune constituée des points où la méthode diverge. Ceci est facile à programmer sur un ordinateur ; le résultat est un très joli dessin. Bien sûr, on peut généraliser aux équations de degré quelconque.

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 25 février 2010 à 14:43, par Étienne Ghys

    Bien entendu, et c’est d’ailleurs expliqué dans le dernier paragraphe de notre article ! Comme nous l’expliquons, ces bassins pour l’équation $x^3-1=0$ ne sont cependant pas connexes, contrairement aux lacs de Wada qui sont non seulement connexes mais simplement connexes. Pour ces jolis dessins dont vous parlez, je recommande bien sûr l’article de Tan Lei dans Images des maths. Pas seulement pour les dessins, mais pour les explications qu’on y trouve.

    Cordialement,

    Etienne Ghys

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 27 avril 2010 à 17:52, par Zenol

    Bonjour,

    C’est un article que je trouve très intéressant, qui aborde des sujets à l’aspect concret(plutôt visuel) et pourtant abstrait (à la limite).

    J’aurais toute fois deux question :

    1. Serait-il possible de donner quelques détailles concernant les applications F et T, tout en restant à quelque chose d’abordable pour un première année de licence ?

    2. De même, est-il possible d’avoir quelques détailles supplémentaires sur ce fermé d’« intérieur vide » ?
    Car si il est facile de se représenter la frontière de pays, ou sur une droite (si j’ai bien compris, on pourrais considérer [5] comme frontière de ]-inf ;5[ ]5 ;+inf[ qui sont alors deux ouverts de R) il est plus difficile d’imaginer que l’on peut prendre un point de p de W pour lui appliquer F et avoir F(p) dans W.

    Cordialement,

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 27 avril 2010 à 18:14, par Étienne Ghys

    Bonjour,

    Pour la question 1) je ne sais pas trop comment répondre. Je pourrais donner une formule... qui n’éclairerait pas beaucoup ! En fait, je pensais initialement qu’on pourrait trouver une formule simple et puis Jos et moi avons rencontré des difficultés pour la construire et la formule finale que nous avons utilisée n’est pas jolie-jolie... C’est le charme de cette partie de maths ; on dit des choses intéressantes sur des objets dont la définition précise importe peu.

    Pour la question 2) il faut en effet un peu d’imagination. Si X est une partie du plan on distingue son intérieur, son extérieur et sa frontière. Un point est à l’intérieur s’il est dans un petit disque qui est dans X. Un point est extérieur s’il est dans un disque qui ne rencontre pas X. S’il n’est ni intérieur ni extérieur, il est frontière ! Après, il faut imaginer des exemples de plus en plus compliqués, comme le cas des lacs de Wada... Je comprends que je ne réponds pas trop à la question ; je suggère de bien regarder la figure pour se persuader que les lacs ont bien la même frontière ! Bon courage.

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 28 avril 2010 à 16:50, par Zenol

    Merci pour votre réponse.

    Pour la question 2), ce que j’ai du mal à comprendre c’est qu’est ce qu’un fermé d’intérieur vide, et si il est facile d’en donner un exemple (Même si ce n’est que sur une droite).

    Car si j’ai bien compris, l’ensemble W est l’intersection infini de tous les pays noirs(avec frontière inclus) à chacune des étapes de l’itération, non ?

    (Cela est-il comparable, dans le cas d’une droite, à par exemple, l’intersection infini des [-1/n ;1/n] pour n entier naturel, où est-ce autre chose ?)

    Répondre à ce message
  • Les lacs de Wada

    le 1er mai 2013 à 18:28, par Nicolas Camps

    Bonjour,

    étudiant en classe préparatoire et envisageant de centrer mon TIPE autour des systèmes dynamiques, je m’ intéressais plus particulièrement aux attracteurs étranges, notamment celui de Lorenz. Mais votre article a provoqué une légère bifurcation et m’a ouvert l’appétit : j’aimerai en savoir plus sur les bassins d’attraction possédant cette étonnante propriété topologique... Après de nombreuses recherches sur les systèmes dynamiques holomorphes (qui parait-il possèderaient la propriété de Wada lorsque le nombre de bassin est suffisant), sur la topologie du plan complexe et sur les ensembles de fatou et julia puis sur le dispositif optique dont il est question dan l’article, je voudrait aller plus loin !

    Auriez-vous quelques références ou pistes à creuser sur les bassins de wada ? Car leur propriété reste pour moi une simple curiosité dont je ne perçois pas encore tout l’intérêt dans le cadre de l’étude des sytèmes dynamiques...

    Merci d’avance,

    PS : je vous remercie également pour vos fabuleux films qui m’ont fait rêver et ont contribué à la naissance d’une vocation et d’une passion pour la mathématique :)

    Répondre à ce message

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