« Une des plus belles applications de la géométrie »

Les manuscrits de géométrie souterraine au XVIIe siècle

Piste bleue 16 septembre 2016  - Ecrit par  Thomas Morel Voir les commentaires

En 1669, Adam Schneider, géomètre travaillant dans les mines d’Allemagne centrale, entame la rédaction d’un Nouveau livre de géométrie souterraine. La présentation contextualisée de ce manuscrit ainsi que de la tradition à laquelle il appartient permet de découvrir une discipline peu connue des mathématiques pratiques : quels étaient les acteurs de la géométrie souterraine, leurs méthodes et leurs instruments ?

Dans les régions minières d’Allemagne, qui possèdent une riche tradition technique et scientifique, la profession de géomètre souterrain existe depuis le Moyen âge. Dans l’Encyclopédie, Diderot explique en 1757 que « la Géométrie soûterreine a dû prendre naissance en Allemagne, où les hommes ont eu principalement des intérêts à discuter dans les entrailles de la terre » (Diderot, 1757, p. 639). Parmi les nombreux États allemands, c’est particulièrement dans le sud de l’Électorat de Saxe [1], au cœur des Monts Métallifères, que la discipline s’est développée. C’est d’ailleurs là que sera fondée en 1765, dans la ville de Freiberg, la première Académie des mines d’Europe (Morel, 2013, p. 141-252).

Dans la pratique, la profession de géomètre souterrain (Markscheider) est celle d’un ingénieur qui doit apporter, par ses connaissances en arpentage et en géométrie, la solution à des problèmes extrêmement variés. Il est avant tout chargé d’établir des plans de mines et de planifier le creusement des puits. Il doit également étudier la topographie générale des régions minières pour construire des galeries d’exhaure. Absolument indispensables, ces dernières servent à évacuer l’eau des mines, qui sans cela seraient rapidement inondées, et suivent sous terre des parcours sinueux de plusieurs kilomètres. Enfin, en tant qu’arpenteur et calculateur, le géomètre peut se voir confier divers travaux de terrassement ou de construction de retenues d’eau. Du point de vue du droit minier, il existe d’innombrables règlements et jurisprudences pour borner les concessions et régler les litiges de propriétés. Le géomètre doit faire respecter ces limites sous terre, à l’aide d’un système élaboré de marquages.

Les méthodes mathématiques de ces praticiens sont formulées sous la forme de problèmes concrets à résoudre, comme par exemple :

Marquer au jour un point quelconque [dans la mine], soit par l’embouchure d’une galerie, ou bien par un puits de mine ou puits au jour, et cela peut-être fait de trois manières différentes :

1. d’après ses angles.

2. d’après une ligne droite.

3. au cordeau perdu. [2]

Bien avant la fondation d’académies à la fin du XVIIIe siècle, la géométrie souterraine existait déjà sous la forme d’un ensemble de savoirs codifiés transmis de maître à élève. Des connaissances avaient pu être diffusées de manière parcellaire par le biais de l’imprimerie, en particulier dans le De Re Metallica (1556), texte de référence sur les sciences minières écrit par le médecin saxon Georg Agricola. Ces connaissances restent cependant essentiellement manuscrites et les meilleures méthodes sont jalousement gardées. En 1692, Nicolaus Voigtel (1658-1713) regrette que « cet art a été gardé secret par la plupart des géomètres souterrains, au point que s’ils avaient promis à quelqu’un de le lui enseigner, ils ne s’exécutaient pourtant pas complètement et gardaient au contraire toujours secrètement un coup d’avance » (Voigtel, 1686, Introduction).

Cet auteur sait de quoi il parle, puisque la Geometria Subterranea qu’il publie en 1686 est le premier ouvrage sur le sujet écrit par un technicien. Pour le rédiger, il a largement puisé dans les connaissances qu’il a pu acquérir en Saxe lors de son apprentissage auprès d’Adam Schneider (1634-1707). Un manuscrit attribué à celui-ci, entamé en 1669 et intitulé Nouveau livre de géométrie souterraine, est aujourd’hui encore conservé dans la bibliothèque de l’Académie des mines de Freiberg [3].

Dans cet article, l’étude de ce manuscrit va nous donner l’occasion de présenter brièvement en quoi consistait au XVIIe siècle cette discipline peu connue, mais très développée dans les régions minières d’Allemagne et de Scandinavie : quels étaient les buts de la géométrie souterraine, ses méthodes et ses instruments ?

Dans une première partie, nous présentons l’ouvrage d’A. Schneider en étudiant sa structure et le rôle joué par ces manuscrits dans la transmission des connaissances. Nous expliquons ensuite comment les géomètres travaillaient, quels étaient leurs instruments et les unités de mesure qu’ils utilisaient. Dans une dernière partie, nous verrons que cette discipline ne se réduit pas à une suite de problèmes mathématiques et intègre également des connaissances juridiques ou relevant des sciences de la terre, pour rendre possibles de véritables prouesses techniques.

Le Neu Marckscheide-Buch d’Adam Schneider (1669)

Adam Schneider (1634-1707) fut un géomètre souterrain saxon actif durant la seconde partie du XVIIe siècle (Riedel, 2006). Il se rend en 1669 à Altenberg, dans les Monts Métallifères de Saxe, pour y étudier le droit minier, la mécanique et la géométrie souterraine auprès de Balthasar Rößler (1604-1673), qui est depuis 1663 à la fois directeur des mines (Bergmeister) et géomètre souterrain (Markscheider) de ce district.

Son manuscrit, rédigé essentiellement en allemand, est l’un des rares documents le concernant qui nous soient parvenus. S’il a vraisemblablement été commencé en 1669, plusieurs renseignements et références situés dans sa seconde partie sont clairement postérieurs à cette date. Ils témoignent de divers ajouts réalisés entre 1671 et 1693, comme des relevés de mesures ou des références à des livres publiés, montrant qu’il s’agit bien d’un document de travail. La plupart des manuscrits de géométrie souterraine conservés jusqu’à aujourd’hui sont eux aussi constitués d’une première partie structurée complétée par divers ajouts postérieurs.

Figure 1 : Page de garde du Nouveau livre de géométrie souterraine.

Titre complet : Nouveau livre de géométrie souterraine comprenant la Tabulae sinuum et son utilisation ainsi que la description de la boussole de mines, du compas de mineur et du rapporteur, ainsi que du niveau et du viseur compilé par Adam Schneider, de Liebenroda, Philosophe, géomètre et adepte des arts mécaniques Altenberg, Anno : 1669

Puisque la formation d’un géomètre souterrain était, on l’a vu, réglée sous la forme d’un contrat entre un maître, son élève et l’administration des mines, on peut formuler l’hypothèse suivante (Morel, 2015). Ce manuscrit a pu être entamé lors de sa formation, avant d’être utilisé dans la pratique quotidienne en tant que vade-mecum, ce qui n’était pas inhabituel dans les métiers liés aux mathématiques pratiques. Adam Schneider aurait donc au fil du temps complété et amendé le texte de son maître Balthasar Rößler, pour inclure par exemple la solution de nouveaux problèmes, ou en proposant des solutions plus générales. Ce manuscrit possède ainsi à la fois une importante dimension pédagogique et un caractère éminemment concret, comme le révèle l’étude de sa structure.

La première partie du manuscrit contient dix-huit propositions, qui sont l’énoncé d’autant de problèmes que le géomètre souterrain doit être capable de résoudre. Il peut s’agir de « diriger l’extrémité d’une galerie vers un puits de mine, et dans le même temps marquer au jour l’extrémité de la galerie » (proposition 2) ou bien de « lever le plan des ouvrages d’une mine et le porter sur papier. Y porter crevasses et filons. Également marquer au jour les lieux remarquables les plus importants. Indiquer la hauteur d’un lieu par rapport à un autre » (proposition 17).

Une seconde partie de l’ouvrage décrit les outils usuels en géométrie souterraine – le niveau à eau, la balance graduée, le cordeau et l’une des premières descriptions du compas suspendu (Hängekompass), mais aussi les outils théoriques, comme des tables de sinus. On trouve ensuite une introduction à l’arithmétique, décrivant notamment l’utilisation des tables pour la résolution des triangles – c’est-à-dire le calcul des longueurs et des angles recherchés. Le texte se poursuit sur une partie pratique, expliquant la manière dont il faut mesurer et recueillir les données sous forme de tableaux. La fin du manuscrit reprend les problèmes du début pour expliquer, souvent pas-à-pas, leur résolution, exposant à la fois les méthodes mathématiques et les procédures coutumières ou juridiques minières.

Comment mesuraient les géomètres souterrains ?

Dans les Monts Métallifères de Saxe, chaque géomètre souterrain est au XVIIe siècle responsable de l’ensemble des bornages à réaliser dans son district, pour faire respecter les limites de concessions. Une de ses activités typiques consiste ainsi à déterminer la position d’un point situé sous terre, par rapport à l’entrée de la mine ou bien par rapport à la surface. Comme ces galeries étroites sont loin d’être creusées en ligne droite, le géomètre doit reconstituer la ligne polygonale qui amène de l’embouchure jusqu’au point considéré. Il doit pour cela procéder à la résolution de triangles successifs à l’aide des mesures d’angles et de côtés.

Ce n’est bien sûr pas en ces termes qu’Adam Schneider conçoit son activité. Il définit le « fondement » de sa discipline en ces termes, auxquels la coloration technique donne un ton légèrement ésotérique :

Fundamentum

Qui concerne la semelle [4] et la profondeur perpendiculaire.

Le véritable fondement de cet art consiste en un triangulo rectangulo, que l’on nomme magister matheseos, et qui m’est donné à tout moment par le niveau suspendu, ou le quadrant avec son perpendiculo, dont le gradus est coupé par le petit fil, soit en montant (devant lui) soit en descendant (derrière lui). Un tel triangle se résout à l’aide de la tabulas sinuum qui suit, et l’on trouve ainsi la semelle et la profondeur perpendiculaire. Et cela arrive quand un côté du triangle et un angle sont connus.

Figure 2 : Le triangle rectangle, ou magister matheseos, selon Adam Schneider

JPEG - 208.2 ko
Figure 3 : Instrument de mesure hongrois

Les instruments décrits dans le manuscrit servent ainsi principalement à mesurer des angles – la mesure des longueurs se faisant habituellement avec un simple cordeau gradué en toises (Lachterkette), unité de mesure sur laquelle nous reviendrons. Long de six toises (une douzaine de mètres), ce fil est tendu en ligne droite dans le sens de la galerie, jusqu’à rencontrer un obstacle. Il est ensuite réorienté et l’on répète l’opération afin d’obtenir une ligne brisée, dont on doit ensuite déterminer les orientations successives.

Le premier instrument que l’on y accroche, représenté par Adam Schneider sur la figure 2 ci-dessus, est le niveau du mineur (littéralement « balance à eau » Wasserwaage), un « demi-cercle qui lui sert à prendre les degrés de pente des galeries et autres ouvrages souterrains » [5]. Si un niveau est ordinairement employé pour vérifier, à l’aide du fil à plomb, l’horizontalité d’un ouvrage, il est ici utilisé pour mesurer l’inclinaison de la galerie, c’est-à-dire l’angle vertical donné par le fil. Pour cela, le niveau est muni de crochets permettant de le fixer sur le cordeau, comme le montre l’illustration 5 ci-dessous.

Un autre instrument pouvant être utilisé, présenté ci-contre (figure 3) est l’outil de mesure hongrois, pour lequel un niveau d’arpentage est fixé à la verticale, celle-ci étant contrôlée par le fil à plomb situé à droite. Dans cette configuration, le cordeau (non représenté sur la figure) sera alors fixé au crochet situé en bas de l’image, avant d’être tendu dans la direction voulue, ce qui permet de mesurer l’angle d’inclinaison de la galerie.

Pour mesurer les angles horizontaux, Adam Schneider a recours à un autre instrument, lui aussi fixé sur le cordeau. Négligeant les graphomètres (à pinnules ou à lunettes) ou les planchettes de topographie [6], peu adaptées aux conditions d’observations souterraines, il utilise une boussole suspendue :

Figure 4 : Boussole suspendue (Hängekompass)

Figure 5 : Boussole suspendue (Hängekompass)

La boussole suspendue, ou boussole des mines (Hängekompass), est suspendue dans des cercles métalliques. Cet ingénieux système permet de s’assurer, par le seul jeu de la gravité, que la boussole reste en permanence à l’horizontale. Il est alors possible de fixer l’instrument à un cordeau incliné pour mesurer l’angle horizontal que suit le filon de minerai. La judicieuse combinaison du niveau, de la boussole suspendue et du cordeau (voir figure 6 ci-dessus) permet donc d’obtenir rapidement, pour chaque segment de la ligne brisée, la longueur du segment et les deux angles vertical et horizontal. Si le principe de la boussole suspendue avait déjà pu être utilisé en astronomie ou en navigation, son introduction en géométrie souterraine semble avoir eu lieu dans la seconde moitié du XVIIe siècle. L’invention est généralement attribuée à B. Rößler, le maître d’A. Schneider, dont les travaux ne furent cependant pas publiés de son vivant. Ce manuscrit présente donc l’une des premières illustrations de cette boussole suspendue.

Figure 6 : Niveau et boussoles de mines selon Adam Schneider

Cette image illustre la mesure des angles verticaux (à l’aide du niveau) et horizontaux (avec la boussole suspendue) par le géomètre souterrain. Si dans la réalité les deux instruments étaient fixés sur un seul et même cordeau, tendu « dans le sens » de la galerie, l’auteur représente ici deux fils, l’un horizontal et l’autre vertical, pour symboliser la décomposition de la mesure en deux dimensions.

Les unités de mesure de la géométrie souterraine

On remarque immédiatement que la boussole des mines n’est pas graduée en degré. En effet, elle est une amélioration d’anciennes boussoles (Setzkompass) utilisées par les mineurs, dont l’utilisation est attestée depuis le XVe siècle dans plusieurs ouvrages :

Figure 7 : boussole de mines, début du XVIe siècle

Suivant la tradition minière, la direction des filons de minerai est mesurée en divisant un cercle en deux parties comptant chacune douze heures. Lorsque Adam Schneider écrit son manuscrit à la fin du XVIIe siècle, la fabrication d’instruments de mesure a gagné en précision, si bien que chaque heure est divisée en huitièmes, qui peuvent éventuellement être divisés en quarts (non visibles sur la figure), pour un pas théorique de l’ordre du demi-degré.

En géométrie souterraine, les rapports entre une unité de mesure et ses subdivisions sont souvent des puissances de deux. Deux raisons principales expliquent cet état de fait : premièrement, la division dichotomique caractérise d’innombrables systèmes de mesure en raison de sa simplicité, comme le remarque l’historien de la métrologie Witold Kula (Kula, 1984, p. 88-92). La dichotomie des angles était de plus un processus très utilisé par les fabricants d’instruments pour construire des graduations régulières sur le cercle.

A l’inverse des angles horizontaux, les angles verticaux sont mesurés en utilisant une graduation classique du demi-cercle en 180 degrés, comme on peut le voir sur le niveau ou sur l’instrument hongrois. Cela signifie qu’au XVIIe siècle, deux systèmes de mesures d’angles avec des unités différentes cohabitaient. Le système de mesure d’angles verticaux a probablement été introduit dans un second temps, après que l’utilisation de la boussole seule se soit révélée insuffisante.

Les longueurs sont pour leur part mesurées en toises (Lachter). Dans la vie civile, une toise est égale à sept pieds dont la longueur varie bien sûr de ville en ville. Elle correspond approximativement à la longueur obtenue par un adulte étirant les bras, soit un peu moins de deux mètres. Dans les mines, les subdivisions sont différentes : une toise se divise en huit huitièmes, chaque huitième étant lui-même subdivisé en dix pouces, un pouce en dix primes, etc. L’utilisation d’un système non-décimal pour les mesures de longueurs rend toute opération, même élémentaire, assez fastidieuse. Lorsque Adam Schneider souhaite additionner [1.6.50] et [0.5.43], c’est-à-dire une toise six huitièmes cinq pouces et cinq huitièmes quatre pouces trois primes, il réalise le calcul ci-dessous [7] :

Figure 8 : addition de mesures de longueur (Lachter)

Des mesures aux plans : les rouages d’une pratique mathématique

Nous venons de présenter à grands traits l’objet de la géométrie souterraine, ses instruments ainsi que les unités de mesure utilisées par les géomètres souterrains. Pour saisir le travail du géomètre dans son aspect le plus concret, voyons à présent comment les données sont consignées et utilisées. En tant que praticiens, Adam Schneider et ses contemporains ont une approche très empirique des problèmes de géométrie souterraine. Si l’on reprend sa définition donnée ci-dessus, un rôle presque mystique est accordé au triangle rectangle, qualifié de maître des mathématiques (magister matheseos).

Ce triangle n’est cependant pas uniquement un objet mathématique : il est fermement ancré dans le monde réel de la mine. Le cordeau, objet physique qui sert à mesurer les segments, est souvent assimilé à la « ligne inclinée » qu’il représente, elle-même confondue avec « l’hypoténuse » du triangle rectangle ; Schneider emploie indifféremment les trois termes. De même, la « base » du triangle est associée à la « semelle », c’est-à-dire au plancher de la galerie de mine : c’est cette distance horizontale que l’on utilisera ensuite pour construire les plans. La cathète est le plus souvent nommée « profondeur perpendiculaire » [8].

La mesure du géomètre possède une véritable valeur juridique, et doit donc être consignée par écrit pour être discutée, rectifiée ou utilisée comme preuve. Étant donné la dangerosité des opérations de mesure, il est de toute façon impensable de réaliser les calculs directement dans la mine. Le géomètre relève donc dans un premier temps les angles verticaux et horizontaux ainsi que la longueur du cordeau, et les consigne dans un « livre de mesurage », sous la forme d’un tableau. L’exemple suivant a été réalisé par Adam Schneider le neuf février 1669 dans le puits de mine dit « du vieil homme » à Zinnwald [9] :

JPEG - 584 ko
Figure 9 : livre de mesurage de la mine « du vieil homme » à Zinnwald (droite : traduction)
Mesurage réalisé par le géomètre souterrain Adam Schneider, le neuf février 1669

Chaque ligne du tableau consigne les informations relatives à une portion du puits de mines. Ainsi la deuxième ligne indique [ME . st . 2 . 6 . _ . 1 . 7], que l’on peut interpréter de la manière suivante : angle horizontal à une heure et sept huitièmes dans la partie méridienne de la boussole, angle vertical ascendant de deux degrés, distance parcourue de six toises.

Ces données doivent cependant encore être travaillées, notamment pour réaliser deux tâches fondamentales du géomètre souterrain : trouver la position de ce point sur un plan et localiser un lieu à la surface perpendiculaire à un point dans la mine. S’il existe de multiples variantes selon les cas, l’opération la plus courante consiste à résoudre le triangle dont ce segment forme l’hypoténuse ou pour employer les termes des géomètres souterrains, déterminer la longueur de la semelle et la profondeur perpendiculaire. Citons une nouvelle fois Adam Schneider :

Comme la balance [accrochée] au cordeau donne toujours un triangulum rectangulum, pour lequel deux angles sont connus, c’est-à-dire premièrement le rectus, qui tombe donc toujours à 90°, et un acutus, que le niveau suspendu donne toujours par sa mesure, alors son complimentum, le troisième angle peut être découvert : et ensuite la corde inclinée ou hypothenusa, à laquelle la balance est suspendue ; Ainsi l’on découvre à partir de ces datis ou choses connues les deux côtés encore inconnus, c’est-à-dire le cathetus ou profondeur perpendiculaire et la basis ou semelle, d’après la quatrième proposition du sixième livre d’Euclide, qui s’énonce donc :

Æquiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera, quæ circum æquales angulos, et Homologa sunt latera quæ æqualibus angulis subtenduntur c’est-à-dire : Des triangles, dont les angles sont égaux [l’un] à l’autre, ont également les côtés proportionnels l’un à l’autre, à savoir ceux qui sont autour des mêmes angles, de même que les linien qui soutiennent ceux-ci, sont les unes aux autres en même proportion. [10]

Dans la pratique, le géomètre souterrain doit donc utiliser des tables trigonométriques, dont plusieurs sont reproduites dans le Neu Marckscheide-Buch de Schneider [11]. Celui-ci indique les tenir Balthasar Rößler (1605-1673), qui a lui-même emprunté à l’œuvre du mathématicien et ingénieur flamand Simon Stevin (1548-1620). Cette opération, qui peut sembler aujourd’hui élémentaire, doit être appréciée dans le cadre de la géométrie pratique du XVIIe siècle, où l’on commençait seulement à introduire la trigonométrie dans les opérations d’arpentage [12]. Pour obtenir une précision correcte dans ces mesures souterraines, qui par définition ne peuvent être corrigées par des observations multiples, comme on pourrait le faire lors d’une triangulation à la surface, il est cependant nécessaire d’y avoir recours.

Afin de mettre la méthode à portée de tous, l’utilisation des tables est présentée sous forme d’une suite d’instructions. Pour éviter d’avoir à réaliser des règles de trois, opérations fastidieuses lorsque le système utilisé n’est pas décimal, l’auteur fournit directement les valeurs des semelles et des profondeurs perpendiculaires (cosinus et sinus) pour des longueurs allant d’1/8 de toises à 20 toises. En combinant les semelles et les angles horizontaux, il est possible de représenter le mesurage sous forme d’un plan géométral, ce qu’A. Schneider fait pour l’exemple que nous venons de suivre. Si la technique cartographique qu’il utilise n’est pas forcément lisible pour un lecteur moderne, sa reconstruction à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique confirme sa relative précision :

Figure 10 : plan du puits de mine dit « du vieil homme » par Adam Schneider (détail)

Figure 11 : Plan géométral du même puits

Figure 12 : Représentation du puits de mine en perspective (l’embouchure est située à l’origine)

Les méthodes des géomètres souterrains, comme celle des autres professions mathématiques pratiques, doivent être appréhendées dans leur contexte. On ne parle pas ici d’opérations ou d’expériences soigneusement préparées et conduites par des savants ou des académiciens, mais de tâches routinières, pour lesquelles le géomètre – qui a rarement étudié à l’université – doit concilier les valeurs de praticabilité et d’utilité avec l’exigence de précision. Tout autant que d’une science, il s’agit bien d’un « art » au sens du XVIIe siècle, c’est-à-dire un « amas de preceptes, de regles, d’inventions & d’experiences, qui étant observées, font reussir aux choses qu’on entreprend » [(Furetière, 1690) [13]->#Furetiere1690]. Quelques années plus tard, un géomètre souligne que l’apparente facilité de cette discipline laisse place, sur le terrain, à un travail minutieux et harassant :

Cela semble certes être un art mineur / comme certains nomment cette partie de la science / sous-entendant ainsi que tout cet art et son application / ne reposent que sur un seul cas [de figure]. Et comme ils arrivent à réaliser un mesurage de six ou dix angles / ils pensent / et peuvent aisément se persuader / d’être déjà maîtres [de cet art]. Mais lorsqu’ils doivent établir un mesurage de 100 angles ou plus / ils n’arriveront jamais à atteindre précisément le lieu / et commettront des erreurs importantes, de l’ordre d’au moins cinq toises. (Rösler, 1700, p. 87)

Mathématiques pratiques et rôle social de la mesure

Les problèmes de géométrie souterraine énumérés par A. Schneider sont des variantes autour d’un principe général : établir la position relative de points et de lignes brisées dans l’espace. Les tâches sont cependant relativement variées, en raison du contexte complexe, à la fois du point de vue géologique et du point de vue juridique. La géométrie souterraine, en tant que discipline mathématique pratique, doit en effet résoudre des problèmes concrets, ce qui implique d’incorporer une multitude de connaissances issues des sciences de la terre et du droit minier.

Pour planifier le creusement des puits, le géomètre doit prendre en compte la configuration des couches géologiques. C’est pour cette raison que le Nouveau livre de géométrie souterraine est émaillé de digressions sur les différents types de filons, leur appellation et leur comportement. Les méthodes proposées ne doivent pas seulement être précises mathématiquement, mais aussi réalisables dans des situations concrètes. Aux contraintes physiques s’ajoute un cadre juridique très développé, qui régule l’établissement des concessions et les conditions d’exploitation. Le géomètre agit donc en tant que professionnel, dont l’expertise est basée sur la maîtrise de la géométrie et de l’arithmétique. Il faut donc analyser ses méthodes en tenant compte de ces multiples contraintes. Un exemple va permettre de mieux sentir l’imbrication étroite des connaissances juridiques et mathématiques. Reprenons la première proposition du manuscrit d’A. Schneider que nous mentionnions en introduction :

Marquer au jour un point quelconque, soit par l’embouchure d’une galerie, ou bien par un puits de mine ou puits au jour, et cela peut-être fait de trois manières différentes :

1. d’après ses angles.

2. d’après une ligne droite.

3. au cordeau perdu. [14]

L’opération de marquage au jour consiste à trouver le lieu situé à la perpendiculaire du point considéré dans la mine. Les trois méthodes de résolution sont tout à fait différentes : la première (« d’après les angles ») correspond à l’utilisation du tableau décrite ci-dessus (figure 9). La seconde (« d’après une ligne droite ») implique de reporter les mesures sur un plan géométral avant de tracer une ligne droite de l’embouchure du puits au point à atteindre et de mesurer sa direction et sa longueur. Si ces deux procédures sont assez proches, la troisième, celle du « cordeau perdu » est bien plus rudimentaire : on amène un cordeau de l’embouchure au fond de la mine, avant de le reporter au jugé à la surface.

Cette troisième méthode semble à première vue aberrante car bien moins précise. Elle correspond cependant à un contexte différent. Lorsqu’une nouvelle veine est découverte, l’exploitant demande au maître des mines une concession. Les limites sont alors fixées grossièrement par le maître des mines ou le géomètre. Afin de limiter les frais, on réalise alors une mesure au « cordeau perdu », sans valeur juridique. Si l’exploitation est jugée rentable et que de nouveaux investisseurs veulent acheter les concessions environnantes, une mesure officielle est alors réalisée, uniquement par le géomètre souterrain : c’est l’Erbbereiten ou mesurage solennel. Celui-ci utilise une des deux premières méthodes, est consigné par écrit et possède une valeur juridique.

Les savants et techniciens qui visitent les mines aux XVIIe et XVIIIe siècles semblent souvent ignorer, ou plutôt ne pas saisir ces distinctions. Elles témoignent pourtant du caractère fondamentalement pratique de la géométrie souterraine et de son ancrage social. L’exigence fondamentale est de proportionner les efforts et les méthodes au but à atteindre. On pourrait ainsi dire que la mesure « au cordeau perdu » est volontairement rapide et imprécise, justement pour de lui dénier toute valeur juridique.

Enfin, à l’inverse de la plupart des branches de la géométrie pratique, où l’on cherche avant tout une estimation, la précision de la mesure est dans la plupart des cas absolument décisive, alors même que les conditions d’observations sont très difficiles. Le greffier des mines Adolf Beyer (1709-1768) exprime ce fait avec une emphase certaine :

Et je dirais presque que parmi les disciplines de la mesure, aucune ne doit atteindre le point [visé] aussi exactement, et qu’à l’inverse dans aucune autre les erreurs sont aussi perceptibles – pour les yeux comme pour la bourse –, que pour la géométrie souterraine. Lorsqu’un arpenteur indique dix ou vingt perches de trop ou de moins, le dommage n’est pas aussi grand que lorsque le Markscheider se trompe de quelques pouces. Quand un astronome donne quelques zéros de trop ou de moins, personne ne peut de toute facon monter là-haut et vérifier. Lorsqu’un ingénieur ou un artilleur fait un trou dans l’air, c’est-à-dire lorsqu’il a raté la cible qu’il avait mesuré, il est aisé de répéter la mesure ou le tir ; un charpentier peut raccourcir ce qui est trop long, ou bien utiliser un bois coupé trop court pour autre chose, jusqu’à obtenir ce qu’il a sur son plan. Mais lorsque le géomètre souterrain se trompe en creusant un puits, en réalisant une percée ou d’autres travaux similaires, l’affaire est plus sérieuse et les conséquences que provoquent un mesurage incorrect ne peuvent être corrigées. (Beyer, 1748, p. 313-314)

Épilogue

La géométrie souterraine développée par Adam Scheider dans son Neu Marckscheide-Buch va continuer son évolution silencieuse au XVIIIe siècle. Discipline éminemment pratique, où les considérations géométriques se mélangent à l’étude de la terre sous la contrainte constante de l’économie et du droit minier, elle reste pratiquement ignorée des savants et mathématiciens de l’époque. L’utilisation de connaissances géométriques pour l’exploitation des mines métalliques ne deviendra en France un objet défini qu’au milieu du siècle. L’une des premières définitions est proposée par Diderot dans l’Encyclopédie, qui possède un article intitulé « Géométrie souterreine ». Sa description témoigne l’esprit de synthèse encyclopédique, mais néglige toutes les spécificités liées aux conditions d’exercice de cet art :

La dimension des filons, leur inclinaison à l’horison, & leur direction relative aux points cardinaux du monde, forment le premier [objet de la géométrie souterraine] ; la distance à mesurer d’un point quelconque d’une galerie à un point quelconque de la surface ou de l’intérieur de la terre, ou réciproquement la distance à mesurer d’un point quelconque de la surface ou de l’intérieur de la terre à un point quelconque d’une galerie, est le second ; la description ichnographique, orthographique & scénographique d’une mine, est le troisieme. (Diderot, 1757, p. 639)

Si les termes « géométrie souterraine » et « géomètre souterrain » s’imposent alors en France et sont couramment utilisés jusqu’au milieu du XXe siècle, la discipline sera souvent considérée comme une vulgaire application de la géométrie élémentaire. Dans son Dictionnaire universel de mathématiques et de physique (1753), Alexandre Saverien n’hésite pas à critiquer « les Géomètres mineurs [sic], qui se croïoient de grands Docteurs, lorsqu’ils avoient dessiné le fond d’une mine » (Saverien, 1753, p. 459).

Les rares savants témoignant d’une sincère curiosité envers la géométrie souterraine sont ceux qui se sont eux-mêmes rendus dans les mines. Lorsque le physicien et naturaliste suisse Jean-André de Luc visite, en 1777, les montagnes du Harz, il découvre avec étonnement les travaux de creusement de la galerie d’écoulement Tiefer-Georg. Minutieusement planifiés, ils suivent sans retard pendant deux décennies un plan soigneusement établi, mobilisant des dizaines d’ouvriers sur une trentaine d’ateliers de percements. La galerie mesure plus de dix kilomètres de long, avec une pente d’à peine 1/480. Face à cette prouesse technique, sans équivalent en Angleterre ou en France, où n’existent ni la discipline ni la profession de géomètre souterrain, De Luc écrit dans ses Lettres physiques et morales adressées à la Reine de la Grande-Bretagne :

Tout cela prend naissance sur le papier, & va s’exécuter dans la nuit profonde des entrailles de la Terre, où chacun de nos Mineurs n’aura jamais devant lui, que le Rocher qu’il creuse à la lueur de sa lampe… Voilà donc certainement une des plus belles applications de la Géométrie ; & quand le mineur est glorieux de son Art, je ne saurois m’en étonner. (de Luc, 1779, p. 623-625)

Références bibliographiques

Beurard Jean-Baptiste, Dictionnaire allemand-français contenant les termes propres à l’exploitation des mines, Paris, Huzard, 1809.

Beyer Adolf, Otia Metallica, Schneeberg, Fulden, vol. 1, 1748.

Daumas Maurice, Les instruments scientifiques aux XVIIe et XVIIIe siècles, Paris, PUF, 1953.

a et b Diderot Denis, article « Géométrie souterreine » in d’Alembert Jean Le Rond & Diderot Denis, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, vol. 7, 1757, p. 638-639.

Kula Witold, Les mesures & les hommes, Paris, Editions de la maison des sciences de l’homme, 1984.

de Luc Jean-André, Lettres physiques et morales sur l’histoire de la terre et de l’homme, adressées à la Reine de la Grande-Bretagne, vol. 4, La Haye et Paris, Duchesne, 1779, p. 623-625.

Furetière Antoine, 1690, article « Art », in Dictionnaire universel, contenant généralement tous les mots françois tant vieux que modernes, et les termes de toutes les sciences et des arts, La Haye, Leers, vol. 1, non paginé, 1690.

Morel Thomas, Mathématiques et politiques scientifiques en Saxe (1765-1851). Institutions, acteurs et enseignements, Thèse de doctorat, Université Bordeaux 1, 2013.

Morel Thomas, «  Le microcosme de la géométrie souterraine : Échanges et transmissions en mathématiques pratiques », Philosophia Scientae, 19(2), 2015, p. 5-24.

Richeson, A. W., English Land Measuring to 1800 : Instruments and Practices, Londres et Cambridge, MIT Press, 1966, p. 95-129.

Riedel Lothar, « Adam und Johann Adam Schneider : zwei Markscheidergenerationen in Marienberg », Sächsische Heimatblätter, 52(3), 2006, p. 210-219.

Rösler Balthasar, Speculum Metallurgiae Politissimum, Drese, Winckler, 1700.

Saverien Alexandre, article « Géométrie souterraine » in Dictionnaire universel de mathématiques et de physique, Paris, Rollin & Jombert, vol. 1, 1753, p. 459-460.

Voigtel Nicolaus, Geometria Subterranea, Eisleben, Dietzel, introduction An den geneigten und Christlich gesinnten Leser, 1686 [1692].

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement les relecteurs de cet article (Giovannini Gerard, Romain Bondil, Thierry Barbot, Griforg, LALANNE et César Martinez.), Jenny Boucard et Laurent Rollet, ainsi que l’archiviste de la bibliothèque la TU Bergakademie Freiberg, Angela Kugler-Kießling.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1La Saxe était alors un puissant État du Saint-Empire romain germanique, et son souverain portait le titre d’Électeur, indiquant qu’il participait à l’élection de l’Empereur.

[2TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, Altenberg Ao : 1669 (dans la suite des références Neu Marckscheide-Buch), f. 1. Sauf indication contraire, toutes les traductions ont été réalisées par l’auteur de l’article.

[3TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch.

[4La semelle (ou « solle », de l’allemand Sohle) correspond au plancher de la galerie de mines. Voir par exemple la définition donnée par Haton de la Goupillière, reprise dans le TLF : «  Les galeries se boisent au moyen de cadres, disposés selon les sections droites du prisme […] Le cadre complet est un trapèze équilatère formé de quatre pièces, à savoir : le chapeau, les montants et la semelle.  » (Cours d’exploitation des mines, Paris, Dunod, 1896, vol. 1, p. 307)

[5En allemand Wasserwaage, littéralement « balance à eau » (Beurard, 1809, p. 515).

[6Sur l’histoire des instruments de topographie au XVIIe siècle, nous renvoyons à (Daumas, 1953, p. 24-32 ; 76-78).

[7On note que les primes (dixièmes de pouces) sont utilisés dans le calcul mais arrondis pour obtenir le résultat final [2.3.9], tandis que le passage des huitièmes aux toises se fait sans retenue mais en explicitant le rapport entre les deux unités (11/8), qui pourrait être lu de la façon suivante : « cinq huitièmes plus six huitièmes donnent onze huitièmes, sachant qu’il faut huit huitièmes pour faire une toise ».

[8Le terme de « cathetus  » est au XVIIe siècle souvent utilisé pour désigner, en géométrie pratique, le côté adjacent à l’angle droit qui se trouve en position verticale. Le dictionnaire de Furetière la définit comme « terme de Geometrie, dont quelques-uns fe fervent en parlant d’une ligne, ou d’un rayon qui tombe perpendiculairement fur un autre corps. »

[9La transcription est la traduction du tableau sont de l’auteur.

[10Neu Marckscheide-Buch, f. 23r-v.

[11Neu Marckscheide-Buch, ff. 8r-17r mais aussi 22r-23r, 29r-30v et 33r-35v.

[12Voir par exemple, sur le cas anglais, (Richeson, 1966, p. 95-129).

[13En allemand, la géométrie souterraine est désignée par un terme spécifique, « Markscheidekunst », qui signifie littéralement « art de borner [les concessions] ».

[14Neu Marckscheide-Buch, f. 2r.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Thomas Morel — «Les manuscrits de géométrie souterraine au XVIIe siècle» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - TU BAF-UB XVII 18, f. 50v.
Figure 2 : Le triangle rectangle, ou magister matheseos, selon Adam Schneider - TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, f. 4r
Figure 1 : Page de garde du Nouveau livre de géométrie souterraine. - TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, Altenberg Ao : 1669, page de garde.
Figure 5 : Boussole suspendue (Hängekompass) - TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, f. 5v
Figure 4 : Boussole suspendue (Hängekompass) - TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, f. 5v
img_16032 - TU BAF-UB XVII 18, Adam Scheider, Neu Marckscheide-Buch, f. 5v
Figure 7 : boussole de mines, début du XVIe siècle - Ulrich Rülein von Calw, Ein wolgeordent un nutzlich Büchlein, 1534 [1505], non paginé, chapitre II.
Figure 8 : addition de mesures de longueur (Lachter) - TU BAF-UB XVII 18, f. 18r (détail).
Figure 10 : plan du puits de mine dit « du vieil homme » par Adam Schneider (détail) - TU BAF-UB XVII 18, f. 40v.
Figure 11 : Plan géométral du même puits - Reconstruit par l’auteur sous Geogebra à partir des mesures d’Adam Schneider présentées ci-dessus
Figure 12 : Représentation du puits de mine en perspective (l’embouchure est située à l’origine) - Reconstruit par l’auteur sous Geogebra à partir des mesures d’Adam Schneider présentées ci-dessus
Figure 6 : Niveau et boussoles de mines selon Adam Schneider - TU BAF-UB XVII 18, f. 50v.
Figure 9 : livre de mesurage de la mine « du vieil homme » à Zinnwald (droite : traduction) - TU BAF-UB XVII 18, XVII 18, f. 39r

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM