Les mathématiques au XVIIIe siècle dans les manuels d’enseignement : Du « Pourquoi ? » au « Comment ? »

Piste verte Le 12 mars 2012  - Ecrit par  Liliane Alfonsi Voir les commentaires (1)

Au XVIIIe siècle, les mathématiques, en dehors des écoles militaires, sont très peu enseignées. Dans les universités, elles ne sont au programme qu’en dernière année de collège, l’année de Philosophie. Les manuels imprimés pour les élèves sont encore pratiquement inexistants. Certains auteurs commencent à en écrire et éprouvent la nécessité de justifier longuement cette écriture et l’enseignement des mathématiques dans leurs préfaces.
Nous allons nous intéresser à ces justifications et voir comment elles vont disparaître, au profit de considérations pédagogiques que nous analyserons. C’est, chronologiquement, à travers quatre auteurs parmi les plus édités de l’époque : Lamy (1640-1715), Rivard (1697-1778), Clairaut (1713-1765) et Bézout (1730-1783), que nous donnerons à voir, en le contextualisant, ce passage du « pourquoi apprendre » au « comment apprendre » les mathématiques.

Une première version de cet article est en ligne ici. Nous remercions A. Baskurt, directeur du LIRIS, de nous avoir autorisés à reprendre ce texte.

L’enseignement des mathématiques en France au XVIIIe siècle

Les études au XVIIIe siècle et depuis le Moyen-âge, étaient, en dehors des écoles militaires, essentiellement organisées dans des collèges. La scolarité complète, qui aboutissait au niveau de la maîtrise ès arts, durait environ six ans, et le parcours décrivait successivement les classes de Grammaire – quelquefois accomplies dans des écoles avant le collège -, Humanités, Rhétorique I et II, Philosophie I et II. Les collèges étaient appelés « de plein exercice » ou « petits collèges », suivant leur capacité à offrir ou non le cursus complet. La maîtrise ès arts était décernée après des examens qui suivaient la classe de Philosophie II, si le collège était autorisé par l’Université à la collation des grades [1]. Mais comme l’exprime Guyton de Morveau, chimiste reconnu et avocat au Parlement de Bourgogne, « il est à souhaiter que les jeunes gens qui ont besoin du grade de maître ès arts pour la profession qu’ils embrassent au sortir des collèges ne soient plus obligés de perdre deux ans à recommencer à l’Université, pour la forme, un cours d’études qu’ils ont déjà faites » [2]. Après l’obtention de ce diplôme ou de son équivalence, les étudiants pouvaient poursuivre leurs études dans trois facultés, celles de Droit, de Théologie ou de Médecine, qui attribuaient le titre de Bachelier ou Licencié dans leurs différentes spécialités.

Dans toutes ces étapes, y compris les facultés de Droit, Médecine et Théologie, le seul moment où l’on étudiait les mathématiques, était la dernière année de collège, classe de Philosophie, qui était aussi appelée classe de Physique [3].

Cette étude comprenait surtout la géométrie élémentaire et un peu d’arithmétique et d’algèbre. Aucune place n’était accordée aux mathématiques « mixtes », c’est-à-dire appliquées, les collèges les considérant comme des études professionnelles dont ils n’avaient pas à s’occuper. Il est donc clair, vu le peu de temps consacré, que la filière des collèges, qui concernait la majorité des élèves, ne pouvait amener ceux qui l’avaient suivie, à un haut niveau mathématique.

En revanche, dans les écoles militaires – du Génie, de l’Artillerie et de la Marine –, les mathématiques aussi bien « pures » que « mixtes » étaient enseignées pendant trois ans, à raison d’environ trois heures par jour. Cet enseignement touchait cependant très peu d’élèves, puisqu’une promotion des écoles militaires, tous corps confondus, comptait environ six cents jeunes hommes.

La justification de l’enseignement des mathématiques

La part réservée aux mathématiques dans les collèges va passer du vingtième du temps scolaire de la dernière classe, au début du XVIIIe siècle, à près du tiers vers 1730, pour finir à la moitié, à la fin de l’Ancien régime. Cette proportion (la moitié du temps d’une année scolaire sur la totalité du cursus) peut néanmoins être considérée comme toujours assez négligeable. D’autre part, il faut peut-être nuancer cet essor des mathématiques, en constatant des disparités importantes entre établissements parisiens ou provinciaux, jésuites ou oratoriens, dépendant ou non d’une Faculté des Arts.
Les collèges jésuites par exemple, continuent, sauf exceptions comme Louis le Grand, à accorder peu d’importance aux mathématiques, et le « Quadrivium » (géométrie, musique, astronomie, arithmétique) est bien souvent, faute de personnel compétent, sacrifié à la Théologie.
Deux éléments vont favoriser ce passage du vingtième à la moitié du temps scolaire de la dernière année des études en collège.

Le premier est l’arrivée en France, vers 1730, des idées de Newton car « La philosophie Newtonienne est celle où les corps physiques sont considérés mathématiquement, & où la géométrie et la méchanique sont appliquées à la solution des phénomènes. La philosophie Newtonienne, prise dans ce sens, n’est autre chose que la philosophie méchanique & mathématique. » (Encyclopédie, t. 11, article « Newtonianisme », 1766).

Le deuxième élément est l’action de certains membres du corps enseignant, frustrés de ne pouvoir enseigner plus de mathématiques et persuadés qu’elles seraient plus utiles que bien d’autres matières approfondies longuement.
Ce sont ces plaidoyers sur le « Pourquoi enseigner les mathématiques » que nous allons étudier maintenant.

Les justifications religieuses, morales et pédagogiques de Bernard Lamy

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Bernard Lamy

Lamy (1640-1715), père oratorien, enseigne la Philosophie – comprenant les mathématiques à l’époque – au collège d’Angers et il est l’un des premiers à avoir rédigé un cours global de mathématiques qui fut réédité un grand nombre de fois jusqu’en 1741. Dès 1680, il s’exprime très vigoureusement dans la préface de son livre Traité de la Grandeur en général, qui comprend l’Arithmétique, l’Algèbre, l’Analyse et les principes de toutes les sciences qui ont la grandeur pour objet.

Il considère que l’on ne peut pas empêcher l’étude des mathématiques au nom de la religion, ce qui montre que l’idée qu’il attaque était bien répandue :

« Les pères de l’église jugeoient l’étude des lettres humaines si nécessaire, qu’ils regardèrent la défense que Julien l’Apostat fit aux chrétiens de les étudier, comme un stratagème du démon semblable à celui dont se servirent les Philistins pour ôter aux Israélites les moyens de se défendre, en les empêchant de faire aucun ouvrage avec le fer. Les Mathématiques tenant donc entre les Sciences Humaines un des premiers rangs, l’on ne peut pas, sous prétexte de piété, en défendre l’étude à la jeunesse. »

Les mathématiques sont pour lui, un moyen de mieux appréhender le monde, et les interdire conduit à réduire la pensée à l’impuissance devant tout raisonnement ou toute théorie, ce qui conduit à l’esclavage.

Il continue sa justification de l’enseignement des mathématiques en montrant, sans doute pour convaincre aussi ses supérieurs qui étaient des religieux, comment, selon lui, l’arithmétique et l’algèbre permettent de concevoir la spiritualité et conduisent à admettre la religion :

« Dans ce Traité de la Grandeur en général, il n’est besoin en aucune manière de se représenter des corps : il ne le faut pas même faire. Ainsi l’étude de ce traité détache davantage l’esprit des choses sensibles et donne une plus grande disponibilité pour concevoir les choses spirituelles et abstraites. […]
Mais si ce traité fait voir l’étendue de l’esprit, il fait aussi connoître ses bornes ; car
il y a des démonstrations claires et convaincantes qu’une grandeur finie est divisible à l’infini. Cette infinité est incompréhensible, cependant on en fait connaître les propriétés, les rapports :
ce qui démontre qu’il y a des vérités qui sont également certaines et incompréhensibles ; et que, par conséquent, les vérités que la religion nous enseigne ne doivent pas être suspectées parce qu’on ne les comprend pas entièrement. »

Quant à la géométrie - écrit-il dans son ouvrage de 1685, Les élémens de géométrie ou de la mesure du corps -, non seulement elle mène à Dieu mais aussi à la morale chrétienne :

« L’étude de la Géométrie, outre que par le plaisir spirituel qu’elle cause, peut insinuer du mépris pour les voluptés, et par-là nous rendre plus propres à la Morale de l’Évangile qui en est ennemie, […] enflâme (sic) ceux qui l’étudient avec un esprit chrétien d’une plus forte ardeur pour acquérir Dieu, que pour devenir Géomètres. »

Lamy revient à plusieurs reprises sur l’intérêt moral des mathématiques et le fait qu’elle détourne de la corruption. Pour la géométrie par exemple :

« Un des grands principes de corruption pour tous les hommes, est cette forte inclination qu’ils ont pour les choses sensibles […] ainsi, comme la Géométrie sépare des corps qu’elle considère, toutes les qualités sensibles et qu’elle ne leur laisse rien de ce qui peut plaire à la concupiscence, quand on peut forcer un esprit et obtenir qu’il s’applique à l’étudier, on le détache des sens et on lui fait connoître d’autres plaisirs que ceux qui se goûtent par leur moyen, ce qui est de la dernière importance. »

Il a enfin des arguments pédagogiques et un ton peu nuancé, en exposant l’intérêt des divers savoirs :

« Elles sont nommées Mathématiques, nom qui veut dire Discipline, parce que l’on n’apprend rien de plus considérable dans les Écoles et qu’elles renferment tant de choses qu’il n’y a point de profession à qui elles ne puissent être utiles. Tout le monde reconnaît que l’on ne remporte que très peu de fruits des Collèges et que l’on y passe le temps à apprendre des choses dont il n’est pas même permis de faire usage parmi les honnêtes gens, comme sont une infinité de questions de chicane.
Personne ne doute que la philosophie, comme on l’enseigne, ne soit pleine de questions douteuses, de sophismes, de mauvais raisonnements et qu’ainsi elle ne peut fournir que des modèles très imparfaits de clarté, de netteté et d’exactitude, ce que l’on ne peut pas dire des Mathématiques, qui n’admettent aucun principe dont la vérité ne soit manifeste.
Ainsi elles sont bien plus propres à exercer et à former l’esprit que la Philosophie. »

Lamy conclut en mêlant l’argument moral (les mathématiques sauvent du vice) à l’argument pédagogique (elles préparent l’esprit aux études) :

« Qu’on considère les études de la jeunesse, ou comme de simples occupations dont il faut remplir le vide des premières années afin que le vice ne s’en empare pas, ou comme des préparations à des études plus sérieuses, il est constant que cette considération doit porter les personnes qui ont du zèle pour l’éducation de la Jeunesse, à faire qu’on enseigne avec plus de soin les Mathématiques, qu’on ne l’a fait depuis quelques siècles. »

Les mathématiques, recherche de la Vérité : Dominique Rivard

Dominique François Rivard (1697-1778), professeur au collège de Beauvais qui fait partie de l’Université de Paris, est un laïc qui dédie son cours, Élémens de géométrie avec un abrégé d’arithmétique et d’algèbre, publié en 1732, au Recteur de l’Université de Paris : « C’est dans l’université dont vous êtes le chef que j’ai puisé quelques connoissances des Mathématiques. À qui puis-je mieux offrir les Élémens que j’en ai recueillis qu’à cette Mère commune des Sciences de qui je tiens le peu que j’en ai ? »

En 1732, le plaidoyer de Rivard, dans la préface de son manuel, est déjà plus apaisé que celui de Lamy car, il le constate :

« L’estime que l’on fait généralement des Mathématiques, a introduit depuis quelques années l’usage d’en expliquer les Élémens dans la plupart des classes de Philosophie. Les professeurs les mieux instruits de cette science & de ses avantages, ont reconnu sans peine que cette partie de la Philosophie ne méritoit pas moins leur attention que la Logique & la Physique. »

Il ne lui paraît donc plus nécessaire d’attaquer les autres disciplines comme l’avait fait Lamy avec force et sans nuance. Rivard se contente de souligner le rôle formateur des mathématiques :

« Elles sont une véritable Logique pratique, qui ne consiste pas à donner une connoissance sèche des règles qui conduisent à la vérité, mais qui les fait observer sans cesse, & qui, à force d’exercer l’esprit à former des jugemens & des raisonnemens certains, clairs & méthodiques, l’habitue à une grande justesse. Rien n’est plus propre que l’étude de cette science pour fixer l’attention des jeunes étudians, pour leur donner de l’étendue d’esprit, pour leur faire goûter la vérité, pour mettre de l’ordre & de la netteté dans leurs pensées. On tombe aisément d’accord que rien n’est mieux dans les classes que de cultiver les Mathématiques pour procurer à l’esprit l’habitude de juger solidement. »

Rivard, comme Lamy, exalte les bienfaits des mathématiques, mais pas du tout sous un angle religieux. Son discours est un éloge des sciences, annonçant déjà l’esprit des Encyclopédistes, et la satisfaction qu’apportent les mathématiques est intellectuelle, c’est la recherche de la « Vérité » :

« La vérité est difficile à découvrir dans ces sciences, mais aussi elle semble vouloir dédommager ceux qui la cherchent de leurs peines, par l’éclat d’une vive lumière dont elle charme leur entendement, & par un plaisir pur & sans mélange dont elle pénètre l’âme.
Les Mathématiciens pour fondement de leurs connoissances ne posent que des principes simples et faciles, mais certains, lumineux et féconds. Ensuite ils tirent de ces points fondamentaux les conclusions les plus aisées & les plus immédiates, qui n’ayant rien perdu de l’évidence de leurs principes, la communiquent à d’autres conclusions, celles-ci à de plus éloignées, &c., Par-là il se forme une longue chaîne de vérités, laquelle étant attachée à un bout à une base inébranlable, s’étend de l’autre côté dans les matières les plus difficiles. »

Malgré cette exaltation des mathématiques en tant que génératrices de Lumières, Rivard semble se contenter de peu en ce qui concerne le temps qui leur est consacré, ce qui confirme qu’il était auparavant quasi-nul : « Peut-on disconvenir qu’une application de quelques mois donnée à la pratique d’une telle méthode ne serve infiniment plus que certaines questions que l’on avait coutume de traiter ? »

Après le temps du « Pourquoi ? », celui du « Comment ? »

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