Les mathématiques face à l’ordinateur

Piste verte Le 25 juin 2015  - Ecrit par  Maarten Bullynck, Liesbeth De Mol Voir les commentaires (3)

Fondé en 1948, le Séminaire d’histoire des mathématiques de l’Institut Henri Poincaré est un haut lieu d’échanges entre histoire et mathématiques. La séance du 23 mai 2014 était consacrée aux interactions entre histoire des mathématiques et (histoire de) l’informatique.

Même si on a tendance à l’oublier aujourd’hui, l’ordinateur était à sa naissance une machine mathématique créée pour apporter une aide dans différents types de calculs : balistique, cryptologie, comptabilité etc. Certes, avec le temps l’ordinateur s’est émancipé de ses humbles origines pour devenir une machine aux visages multiples qui réalise une fonction par son emplacement dans un réseau d’informations et par l’empreinte qu’il réalise sur les flots d’informations qui y passent. L’ordinateur est devenu une machine de communication. C’est la vitesse de calcul, qui a progressé jusqu’à présent en suivant la loi de Moore, combinée avec l’expansion presque illimitée des ressources de mémoire qui ont rendu possible cette profonde transformation. En parallèle de cette transformation, les relations entre l’ordinateur et les mathématiques ont également évolué. C’est à l’étude de telles métamorphoses qu’a été consacrée la séance “Les mathématiques face à l’ordinateur” du Séminaire d’histoire des mathématiques de l’Institut Henri Poincaré.

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Douglas Rayner Hartree (1897-1958)

Plusieurs mathématiciens ont très tôt émis une prophétie : l’ordinateur changera les mathématiques. Douglas Hartree écrivait ainsi en 1946 :

The capabilities and perhaps also the limitations of electronic computing equipment will call for other methods, perhaps involving quite substantial developments of real mathematics, [...] Design of the machine for the mathematics and the design of mathematics for the machine cannot be separated, as they will have their mutual effects on one another ; and this parallel development of the machine and mathematics should, I think, be an important part of any project which expects to make a substantial and lasting contribution to our subject [1]

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John von Neumann, l’un des pionniers de l’informatique et de la simulation numérique, et Robert Oppenheimer devant l’ordinateur de l’Institute for Advanced Study à Princeton (1952).

De nombreux champs des mathématiques contemporaines doivent leur naissance ou leur importance à l’ordinateur. Pensons à l’analyse numérique, la théorie du chaos, les fractales, ou encore la théorie des automates (cellulaires). L’ordinateur s’est aussi imposé comme acteur des mathématiques, par exemple dans les démonstrations partiellement automatisées où l’homme est assisté par l’ordinateur (sur Images des Mathématiques voir p.ex. 1 et 2). Il y a même des voix qui revendiquent une “mathématique expérimentale” à l’image des sciences naturelles où l’ordinateur est l’instrument par lequel sont réalisées les expériences.

Cette séance de séminaire s’est proposée tout à la fois d’éclairer les origines de l’ordinateur moderne et d’amorcer une réflexion sur le sort des mathématiques à l’ère digitale.

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Les mathématiciens Kenneth Appel et Wolfgang Haken ont utilisé un ordinateur pour démontrer le théorème des quatre couleurs (1976-77).

Comment les mathématiques doivent-elles être adaptées pour être implémentées sur ordinateur ? Cette implémentation met-elle en cause l’identité même des mathématiques ? Face à l’ordinateur, les mathématiques changent-elles profondément de nature ou se transforment-elles plus ponctuellement uniquement là où de nouveaux savoirs apparaissent ? Doit-on repenser les mathématiques par l’ordinateur ou est-ce l’ordinateur qui permet de redécouvrir certains coins et recoins du discours mathématique ? L’impact de l’ordinateur se fait-il surtout sentir dans la pratique mathématique ou a-t-il également un impact sur les théories ? Finalement, quelle place doit-on accorder à l’ordinateur dans l’histoire des mathématiques ?

Cette séance était divisée en deux parties, l’après-midi a commencé par une conférence de Loïc Petitgirard, maître de conférences au CNAM sur Le rôle des instruments de calcul (analogique et numérique) dans l’histoire de la théorie des systèmes dynamiques. Cette conférence est disponible en ligne au sein des collections audiovisuelles du séminaire de l’IHP.

En abordant les enjeux portés par le calcul et la visualisation dans l’histoire de la dynamique, cet exposé s’est inscrit dans une approche de l’histoire des mathématiques qui donne une place à des acteurs en marge du champ disciplinaire des mathématiques, car souvent tournés vers des « applications ». Des ingénieurs, physiciens et chimistes ont construit, développé et utilisé, des systèmes de calcul, analogique ou numérique, à des fins tant pratiques que mathématiques.

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Théodore Vogel

Dans une première partie Loïc nous a présenté Théodore Vogel, physicien-mathématicien et ingénieur assez inclassable, qui a travaillé entre 1948 et 1970 sur un sujet qu’il a baptisé “Dynamique théorique” au sein d’un laboratoire du CNRS à Marseille. Vogel a tout d’abord été à l’origine de la construction de petits instruments de calcul analogique, propres au laboratoire, pour étudier des systèmes dynamiques. Dans un second temps Son groupe de “Dynamique théorique” développé des méthodes de simulation numérique qui manifestent une continuité entre mathématiques et instruments.

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Otto Rössler

Dans la deuxième partie de son exposé, Loïc Petitgirard s’est intéressé à un autre mathématicien inclassable, reconnu comme un acteur majeur de la théorie du chaos, l’Allemand Otto Rössler. Ce dernier a imaginé un des tout premiers attracteurs chaotiques en 1976 (dit “attracteur de Rössler”). Jusque dans les années 1970, les recherches de Rössler se sont, comme celles de Vogel, appuyées sur la réalisation matérielle de systèmes pour “visualiser” la dynamique (portrait de phase du modèle mathématique), avec des dispositifs électroniques, mécaniques, chimiques, physiques...qui “calculent” la dynamique. La pratique de Rössler qui l’a conduit aux résultats sur le chaos s’inscrit dans cette perspective. Elle mêle calculs sur ordinateurs analogiques ou numériques et mathématiques des systèmes dynamiques. C’est ce qui l’a conduit à renouveler les analyses de la structure mathématique des attracteurs chaotiques, en couplant les images « calculées » à l’approche géométrique et topologique.

Cet exposé était suivi par une deuxième conférence de Wolfgang Brand (Universität Stuttgart) sur les travaux de John Argyris et le développement des mathématiques d’ingénieur dans un contexte industriel du Baden-Würtemberg.

Après une pause, la séance a pris une tournure réflexive et méthodologique sous la forme d’une table ronde réunissant deux philosophes de l’informatique, Liesbeth De Mol et Baptiste Mélès, un informaticien, Maurice Margenstern, et deux historiens des mathématiques, Maarten Bullynck et David Aubin. Leurs contributions ont mis en valeur la multiplicité des interactions historiques et philosophiques entre les mathématiques et l’ordinateur.

À notre demande, des participants à cette table ronde ont accepté de fixer par écrit une partie des leurs idées et suggestions dans une série d’articles à paraître prochainement sur Images des mathématiques. Liesbeth De Mol y donne un aperçu de l’histoire des mathématiques assistées par l’ordinateur, une histoire modulée par la proximité et la distance entre l’utilisateur et l’ordinateur. Maarten Bullynck montre en quoi l’informatique peut à la fois se présenter comme une source d’inspiration et comme un danger pour la recherche en histoire des mathématiques. Maurice Margenstern écrit sur les contributions que l’informatique théorique peut offrir à la philosophie. Enfin, Baptiste Mélès propose d’envisager l’informatique comme une science formelle que l’on peut penser sans ordinateur. A bientôt donc pour ces articles !

Post-scriptum :

Pour en savoir plus, n’hésitez pas à visionner en ligne la captation audiovisuelle de cette séance du Séminaire d’histoire des mathématiques de l’IHP.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1.Traduction de la citation : « Les capacités et peut-être aussi les limites de l’outillage du calcul électronique vont exiger le développement de nouvelles méthodes, peut-être même des développements substantiels de vraies mathématiques [...] La conception de la machine pour les mathématiques et la conception des mathématiques pour la machine ne peuvent pas être séparées, parce qu’elles auront des effets mutuels l’une sur l’autre, et, à mon avis, ce développement en parallèle de la machine et des mathématiques devrait être une partie importante de chaque projet qui espère faire une contribution substantielle et de durée à notre sujet. »

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Pour citer cet article :

Maarten Bullynck, Liesbeth De Mol — «Les mathématiques face à l’ordinateur» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

img_13944 - © National Portrait Gallery, London

Commentaire sur l'article

  • Les mathématiques face à l’ordinateur

    le 25 juin 2015 à 10:20, par Jean-René Chazottes

    Article intéressant qui m’a notamment fait découvrir Théodore Vogel.

    Je voudrais signaler une erreur : la photographie dont la légende est :
    « Les mathématiciens Kenneth Appel et Wolfgang Haken ont utilisé un ordinateur pour démontrer le théorème des quatre couleurs (1976-77). »
    est erronée : cette photographie montre en effet Predrag Cvitanović (assis) et Mitchell Feigenbaum.

    En lien avec le contenu de cet article, je voudrais mentionner un article paru récemment dans la Gazette des mathématiciens :
    L’expérimentation numérique dans les sciences : une brève histoire
    Librement disponible ici.

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  • Les mathématiques face à l’ordinateur

    le 25 juin 2015 à 12:10, par Maarten Bullynck

    Merci ! Je vais remplacer l’image avec une qui est correcte !
    merci également pour l’article dans la Gazette des Mathématiciens, c’est très intéressant (mais von Neumann y figure devant l’ordinateur de l’Institute for Advanced Study, pas devant l’ENIAC !)

    cordialement,

    Maarten

    Répondre à ce message
    • Les mathématiques face à l’ordinateur

      le 26 juin 2015 à 19:00, par Jean-René Chazottes

      Merci de m’avoir signalé l’erreur concernant la photo de von Neumann ! Pouvez-vous m’indiquer où trouver une photo de von Neumann devant l’ENIAC ?

      Cordialement,

      Jean-René

      Répondre à ce message

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