Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?

Le 18 janvier 2017  - Ecrit par  Valerio Vassallo Voir les commentaires (4)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Une deuxième édition du Forum des Mathématiques Vivantes est annoncée en 2017, les 18 et 19 mars, à la fin de la Semaine des mathématiques. Les sites retenus pour cette manifestation sont Lille, Lyon, Rennes et Toulouse et des actions ont été inscrites au Plan National de Formation. Laurence Broze (Présidente de l’association Femmes & mathématiques, Professeure à l’université Lille 3) et Etienne Ghys (Directeur de recherche au CNRS, École normale supérieure de Lyon, et membre de l’ Académie des sciences) ont accepté de présider le Comité scientifique.

Malgré ces événements, il y a toutefois des idées reçues qui persistent et qui font que la question « à quoi servent les mathématiques ? » est toujours d’actualité chez les gens. Certains vont plus loin et disent que « les mathématiques étant impalpables, elles ne sont pas vivantes, mais bien au contraire ne servent à rien ! ». D’autres, plus prudents se limitent à dire : « À quoi bon faire des mathématiques ? ». Il y en a qui jettent l’éponge très vite et affirment : « pour comprendre les mathématiques il faut avoir un don », à savoir un don de la nature, la fameuse « bosse des maths ». D’autres encore se déchargent de toute responsabilité : « j’ai eu un mauvais prof et je n’ai jamais rien compris à ses cours ». D’autres insultent la discipline comme si elle existe en chair et en os : « répugnante, abstraite, ésotérique, loin du monde réel ».

Mais alors, le monde qui nous entoure est-il mathématique ou non ?

Cette question apparaît déjà dans les mathématiques et la philosophie chez les Grecs. Ceci revient à dire que l’essence du monde peut s’identifier à des structures mathématiques. Cette idée se développe autour d’une secte ésotérique et philosophique guidée par un personnage mystérieux : Pythagore de Samos (VIe siècle av. J.-C.). Les pythagoriciens, comme on appelle les adeptes de cette secte, étaient fascinés par les formes géométriques que l’univers leur offrait. Qui, d’ailleurs, n’a pas fait l’expérience dans sa vie de rester émerveillé la nuit en regardant un ciel rempli d’étoiles ? Et même si on voit des formes confuses, on a envie de penser à des ensembles de points qui brillent sur un tapis noir… Les pythagoriciens étaient sensibles non seulement à la musique mais au fait que certains phénomènes de cet art sont gouvernés par des rapports de nombres. Pour les pythagoriciens tout est nombre ou rapport de nombres.

Le philosophe grec Platon avait également une vision du monde comme un monde mathématique. « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre » : selon la tradition, cette phrase avait été gravée à l’entrée de l’Académie, l’école fondée à Athènes par Platon même.

Son disciple, le grand philosophe grec Aristote, était d’un autre avis. Selon lui, les idées de Platon n’expliquent pas l’existence des objets, mais se limitent à dupliquer la réalité ; d’un côté il y a les idées et de l’autre les objets dont les idées sont l’essence ; mais, dit Aristote, comment les idées peuvent-elles expliquer l’existence des objets mêmes ? Comment expliquer le mouvement si les idées sont immobiles et séparées ? Pour Aristote la réalité est la réunion de la matière et de la forme. Mais à compliquer les choses, arrivent des notions comme l’infini, les paradoxes de Zénon d’Élée et les conséquences du théorème de Pythagore (découverte des nombres irrationnels). La vision des mathématiques n’a jamais été stable. On pourrait dire que ce n’est pas grave mais la nature de ce corpus en mouvement perpétuel n’a certainement pas contribué à rassurer ni les mathématiciens ni le grand public.

À la Renaissance, Galilée énonce [Il Saggiatore] que l’essence du monde : « est écrite dans ce très grand livre qui est toujours ouvert devant les yeux (et je dis l’univers), mais il ne peut pas se comprendre si d’abord on n’apprend pas sa langue, à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique, et les caractères sont les triangles, les cercles et les
autres figures géométriques ... ». La géométrie est la géométrie des Éléments d’Euclide. Et la certitude que la science peut avancer à coup de triomphes a été amplifiée, après Galilée, par l’heureux « mariage » entre physique et mathématiques.

Après la mécanique – la science du mouvement – les mathématiques pouvaient aider les scientifiques à comprendre beaucoup de phénomènes comme les phénomènes électromagnétiques, de la chaleur, des vibrations… Malheureusement, gâchant un peu la fête, arrive, à la fin du dix-neuvième siècle, David Hilbert qui souhaite remettre en question la géométrie euclidienne. Il a certainement eu du succès en formulant avec rigueur la méthode axiomatique. Ses « Fondements de la géométrie » furent un magnifique exemple de ce programme qu’il rêvait d’appliquer à l’arithmétique pour prouver qu’elle ne contenait aucune contradiction. Puisque les mathématiques sont fondées sur l’arithmétique, on aurait pu en déduire une cohérence interne des mathématiques elles-mêmes.

Ce programme axiomatique rencontra beaucoup d’obstacles mais nous ne pouvons pas rentrer dans cette partie complexe de l’histoire des mathématiques. Avec la naissance des géométries non euclidiennes, la géométrie euclidienne fut remise en cause et la découverte de la théorie de la relativité obligea à corriger la mécanique de Newton. D’autres limites se présentèrent en physique, comme la difficulté à décrire avec les outils du calcul infinitésimal les phénomènes microscopiques. Les certitudes liées aux sciences dites exactes se mirent à vaciller.

On comprend alors les conséquences de ce que je viens de décrire de façon très sommaire, tant sur le plan d’une présentation des mathématiques que de son enseignement. Finalement, une question difficile est toujours là, immobile devant les yeux des hommes et des femmes : « qu’est-ce que les mathématiques ? ». Et encore : « quelle est la nature des objets mathématiques ? Où vivent-ils ? Dans notre esprit, dans la nature ou dans un monde à part ? ». Comment faire accepter à soi-même et faire accepter aux autres que des sciences comme les mathématiques et la physique puissent subir de tels bouleversements et en même temps défendre l’idée d’un monde mathématique ?

Si les mathématiques n’ont pas un fondement uniquement logique, puisque beaucoup de ses concepts ont une origine intuitive, leur transmission semble alors une tache bien difficile. Il en est de même pour la physique, bien qu’on en parle moins. Si nous abandonnons alors l’idée d’un enseignement idéal des mathématiques et que les mathématiques n’arrivent pas à simplifier la complexité de la nature, quelle en sera alors leur utilité ?

Bibliographie

[1] F. Adorno, T. Gregory & V. Verra. Storia della filosofia. Editori Laterza.

[2] U. Bottazzini. Storia della Matematica, Moderna e contemporanea. UTET

[3] N. Bouleau. La règle, le compas et le divan. Seuil

[4] K. Houston. Comment penser comme un mathématicien. de boeck

[5] G. Israel & Ana Lillan Gasca. Pensare in matematica. Zanichelli.

[6] B. Rittaud. Les Mathématiques, idées reçues. Éditions Le Cavalieur Bleu.

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Pour citer cet article :

Valerio Vassallo — «Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

  • Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?

    le 18 janvier à 08:33, par Michel Delord

    Bonjour

    Puisqu’il est question de la nature des mathématiques, je voudrais commencer en citant un mathématicien dont on ne parle pas beaucoup – c’est le moins que l’on puisse en dire – mais qui me semble être une référence fondamentale surtout pour un site comme Image des mathématiques qui s’intéresse à l’enseignement.

    Il s’agit probablement du seul mathématicien français qui ait écrit des textes conséquents sur l’enseignement des mathématiques en primaire – y compris un manuel : « L’initiation mathématique  » – , sujet à mon sens aussi fondamental que peu abordé par les mathématiciens.
    Et pourtant, si l’enseignement des mathématiques est aussi – très vite dit – « l’enseignement d’une structure , fut-elle évolutive » , il faut D’ABORD s’intéresser aux « fondements », c’est-à-dire à l’enseignement primaire et plus précisément à son début. Lorsque je parle des « fondements » je parle du contenu de l’enseignement mathématique en primaire et pas d’une autre chose que les maths modernes ont voulu en quelque sorte identifier à ces fondations, c’est-à-dire les « fondements des mathématiques ».
    Le personnage en question est Charles-Ange Laisant . Il fut président de la SMF et créa en 1899, avec Henri Fehr (1870-1954), la première revue internationale de mathématique L’Enseignement mathématique, encore publiée de nos jours, et ce sous l’égide d’un comité de patronage comprenant rien moins que Cantor, Felix Klein, Henri Poincaré…

    Son engagement est également important du côté de la pédagogie puisqu’il soutient Francisco Ferrer et le conseille du point de vue mathématique. Et, notamment par l’intermédiaire de Camescasse, Laisant est probablement celui qui a le plus influencé le mouvement Freinet pour l’enseignement des mathématiques en primaire (mais ce temps heureux de l’influence positive des thèses de Laisant sur le mouvement Freinet est malheureusement passée depuis bien longtemps)
    Il offre donc quelques garanties de compétences possibles en mathématiques et en pédagogie

    Ceci dit, voici ce qu’il écrit en 1998 et qui, à mon avis, a fort bien vieilli :

    Au risque de surprendre et peut-être d’indigner certains philosophes, je me permets d’énoncer tout d’abord cet axiome :
    « Toutes les sciences sont expérimentales. »
    C’est, en somme, la reproduction de la formule célèbre : « Rien ne pénètre dans notre esprit qu’après avoir d’abord passé sous le témoignage de nos sens ». La Mathématique, pas plus qu’aucune autre science, n’échappe à la loi commune. J’estime que, sans la présence du monde extérieur, aucune connaissance mathématique n’aurait jamais pu pénétrer dans le cerveau de l’homme ; et que, seul dans l’univers et réduit à l’état de pure intelligence, le plus incomparable génie n’arriverait jamais à la notion du nombre 2, ce génie fût-il celui d’un Archimède, d’un Gauss et d’un Lagrange.
    Ce qui distingue la Mathématique des autres sciences, c’est qu’elle emprunte à l’expérience, au monde extérieur, un minimum de notions. Et, une fois cette première base établie, par la seule puissance de la logique, elle édifie sur ces fondations un monument d’une incomparable splendeur, et dont le couronnement ne sera jamais atteint. »
    C.-A. Laisant, La Mathématique. Philosophie. Enseignement, 1998, pages 12-13

    Vous remarquerez également que Laisant emploie le terme «  La mathématique » expression qui m’est sortie par les yeux au moment où l’on ne pouvait pas écrire 2m+3m=5m et encore moins 2m×3m=6m² parce que « ce n’était pas LA mathématique » , mais qui me semble tout à fait justifiée dans l’emploi qu’il en fait : l’association d’une conception unificatrice et en quelque sorte logicienne des sciences mathématiques – la mathématique – et d’une conception expérimentale et intuitive qui n’oppose pas les maths et la physique me semble tout à fait porteuse et capable de dépasser les fausses oppositions mises en place depuis les maths modernes.

    J’avais scanné il y a une bonne dizaine d’années de larges extraits de l’Initiation mathématique que vous trouverez àhttp://michel.delord.free.fr/lais-init1.pdf

    Bonne lecture.

    MD

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  • Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?

    le 18 janvier à 08:48, par Michel Delord

    J’ai retrouvé le passage dans lequel C.-A. Laisant justifie l’expression « La mathématique » qui est aux pages 3/4 du même ouvrage. Et je trouve aussi que ça a très bien vieilli.

    * * *

    « La Mathématique. — Je sais qu’aujourd’hui cette appella­tion n’est plus en grande faveur. Ce n’est pas cependant par un simple caprice personnel que je reprends la forme de langage employée par Condorcet. Je trouve qu’ici le mot réagit fortement sur l’idée ; il me semble plus que jamais utile de l’appliquer dans son énergique concision, parce qu’il explique mieux que tout autre la grande unité de la Science.

    Aujourd’hui, avec les travaux accomplis au cours de ce siècle, en présence de l’immensité du nombre des découvertes, la plupart des mathématiciens sont contraints de se spécialiser et de consacrer leurs efforts, non pas seulement à une branche de la Science, mais à un simple chapitre, s’ils veulent arriver à produire des découvertes dignes d’être remarquées. C’est une nécessité dont il serait profondément injuste de les blâmer ; mais cette conséquence, subie comme un mal inévi­table, ne prouve rien contre l’unité fondamentale de la Ma­thématique. Nos divisions et sous-divisions, indispensables pour mettre un peu d’ordre dans la masse inépuisable des propositions, sont en résumé plus artificielles que naturelles. Même dans les plus simples éléments, lorsque nous avons tracé ainsi des limites bien nettes, nous ne tardons pas à nous apercevoir qu’il y a des régions frontières devant lesquelles notre esprit reste embarrassé. Une classification n’est jamais bonne ; comme il est impossible de nous en passer, faisons-la de notre mieux, mais ne perdons pas de vue les vérités premières.

    Au fond, il n’y a pas des sciences mathématiques : l’Algèbre. la Géométrie, etc... Toutes s’entraident, toutes s’appuient mutuellement et sur certains points se confondent. Il y a une vaste science, la Mathématique, que personne ne peut se flatter de connaître, parce que ses conquêtes sont infinies par nature ; tout le monde en parle, surtout ceux qui l’ignorent le plus profondément. Mais, parmi les hommes qui la cultivent, même avec grande habileté, quelques-uns sont plus attentifs aux succès de détail qu’aux idées générales dont pourtant ces succès sont les conséquences. C’est dire que plus d’un mathématicien ne manquera pas de sourire en lisant ce mot tombé de ma plume, et qui lui paraîtra vieillot et suranné. Je m’y résigne d’avance, et je viens de dire la cause de cette résignation. »

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  • Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?

    le 18 janvier à 20:48, par aunryz

    Les mathématiques ont-elles à ce point besoin de défendre leur « utilité »
    (N’est-on vivant que pour servir ?)

    La vie a-t-elle besoin de défendre son utilité ?
    ...

    Ce qui me passionne dans les mathématiques ce n’est pas en premier lieu ce qu’elle me font comprendre (quand la question meurt et qu’il ne reste ... que la réponse, petit espace (forcément petit) au bout du chemin)
    ce qui me passionne dans les mathématiques c’est l’étonnement, les béances qu’elle est capable de créer dans mon esprit
    alors même que tout concourt, dans un monde « fonctionnaliste », à le fermer, à en éteindre toute question par ... ce que Joseph Jacotot détestait avant tout : « l’explication » (et surtout "l’explication de l’autre, de celui qui sait, celui qui vous satellise la pensée autour de la sienne).
    ...
    https://motslies.files.wordpress.com/2017/01/rc3a9ponse.jpg

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  • Les mathématiques sont-elles encore vivantes ou ne nous servent-elles strictement à rien ?

    le 19 janvier à 18:27, par yann coudert

    Les mathématiques sont probablement universelles, mais l’univers n’est probablement pas que mathématique. L’univers n’a pas besoin des mathématiques, mais les mathématiques en ont besoin.

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