Dans un précédent article nous avons introduit les spectraèdres et étudié leurs coupes. A présent nous nous intéressons à la géométrie de leurs frontières. Dans le plan, celles-ci sont constituées d’ovales convexes de courbes algébriques réelles, des objets qui passionnent les mathématiciens depuis la fin du 19ème siècle.
Dans un précédent article nous avons défini les spectraèdres comme étant des ensembles de polynômes positifs de second degré. Nous avons étudié plus particulièrement les coupes affines planes (2D) et spatiales (3D) des spectraèdres, ce qui revenait à décrire des sous-ensembles de ces polynômes positifs en utilisant 2 ou 3 paramètres, respectivement.
Dans le plan, nous avons vu que les sections coniques classiques (paraboles, ellipses, hyperboles) délimitaient des spectraèdres plans très simples. A présent nous proposons une étude plus générale des frontières des spectraèdres plans, c’est-à-dire des courbes qui les délimitent (voir par exemple le début de cet article pour plus d’informations sur le concept de frontière). Cela nous permettra quelques incursions dans l’étude des courbes algébriques réelles.
Comment étudier la frontière d’un spectraèdre ? Comme nous l’avons déjà rappelé, chaque point dans un spectraèdre correspond à un polynôme positif. Un point qui se trouve à la frontière d’un spectraèdre est voisin d’un point qui se trouve en dehors du spectraèdre, et donc qui correspond à un polynôme qui n’est pas partout positif, c’est-à-dire un polynôme qui prend au moins une valeur négative. Illustrons ceci avec un exemple simple.
Prenons le polynôme
$$
(1+a)x^2+2bx+(1-a)
$$
paramétré par deux nombres réels $a$ et $b$. L’ensemble
des polynômes positifs de cette forme décrit un spectraèdre
plan. Essayons de déterminer quelle est sa frontière.
Pour $a=0$ et $b=0$ nous obtenons le polynôme $x^2+1$ qui est
bien sûr positif, et donc correspond à un point du spectraèdre :
Pour $a=2$ et $b=0$ nous obtenons le polynôme $3x^2-1$
qui prend des valeurs négatives (par exemple en $x=0$ il
est égal à $-1$) :
donc le point correspondant n’appartient pas
au spectraèdre. En traçant un segment entre les deux points
ci-dessus, nous passons par le point $a=1$ et $b=0$ correspondant
au polynôme $2x^2$ qui est certes positif, mais s’annule en $x=0$ :
Juste à côté, nous trouvons le point $a=1.01$ et $b=0$
et le polynôme $2.01x^2-0.01$ qui prend des valeurs négatives.
L’exemple précédent devrait nous convaincre que les points à la frontière d’un spectraèdre correspondent à des polynômes positifs qui s’annulent en certains points, c’est-à-dire qui ont des racines réelles. En ces points, la tangente au polynôme est horizontale, ce sont des points critiques. Autrement dit, en ces points, le polynôme et sa dérivée s’annulent, ce qui revient à dire que le polynôme a une racine double.
Pour savoir si un polynôme a une racine double, on peut utiliser le discriminant. La plupart d’entre nous connaissent le discriminant du polynôme $ax^2+bx+c$ qui est égal à $b^2-4ac$. Le discriminant s’annule lorsque le polynôme a une racine double. Par exemple si $a=1$, $b=2$ et $c=1$ alors le polynôme $x^2+2x+1=(x+1)^2$ s’annule en $x=-1$ et sa dérivée $2x+2=2(x+1)$ s’annule aussi en $x=-1$.
Mais revenons à notre polynôme original, à savoir
$$
(1+a)x^2+2bx+(1-a).
$$
Nous voulons caractériser les points à la frontière du
spectraèdre associé à ce polynôme. Le discriminant
est égal à $(2b)^2-4(1+a)(1-a)=4(a^2+b^2-1)$
et donc il s’annule lorsque
$$
1-a^2-b^2=0.
$$
Dans le plan $a$, $b$,
il s’agit donc de l’équation d’un cercle, et le spectraèdre est
donc la région convexe délimitée par ce cercle, à savoir
le disque $a^2+b^2\leq 1$ :
Il existe une autre manière de calculer le discriminant et donc de décrire la frontière des spectraèdres. Cette autre approche à l’avantage de se généraliser facilement et de posséder une élégante symétrie. Par contre elle fait appel aux notions un peu plus techniques que sont les coordonnées homogènes et les dérivées partielles. Voici comment procéder.
A partir de notre polynôme $$ (1+a)x^2+2bx+(1-a) $$ nous rajoutons une variable $y$ telle que le polynôme $$ p(x,y) = (1+a)x^2+2bxy+(1-a)y^2 $$ ne comporte que des termes (monômes) de second degré, il est ainsi homogénéisé, ou exprimé à l’aide de coordonnées homogènes. Notons qu’en posant $y=1$ on retrouve le polynôme original. Les points critiques sont alors ceux pour lesquels les dérivées partielles du polynôme homogène s’annulent : $$ \begin{array}{rclcl} \frac{\partial p(x,y)}{\partial x} & = & 2(1+a)x+2by & = & 0\\ \frac{\partial p(x,y)}{\partial y} & = & 2bx+2(1-a)y & = & 0. \\ \end{array} $$ Les lecteurs qui ne sont pas familiers avec les dérivées partielles peuvent imaginer que pour toute valeur fixée de $y$, le polynôme $p(x,y)$ ne dépend que de $x$, et $\partial p(x,y)/\partial x$ est sa dérivée au sens classique, c’est-à-dire la pente de la tangente au graphe de $p(x,y)$ en un point $x$. Pour définir l’autre dérivée partielle $\partial p(x,y)/\partial y$ on échange le rôle joué par les variables, à savoir on fixe $x$ de telle sorte que le polynôme $p(x,y)$ ne dépende plus que de $y$, et on considère sa dérivée au sens classique. Voir aussi cet article pour une introduction complète aux dérivées partielles.
On peut vérifier très facilement l’identité d’Euler : $$ 2 p(x,y) = x \frac{\partial p(x,y)}{\partial x} + y \frac{\partial p(x,y)}{\partial y} $$ qui nous montre que si les deux dérivées partielles s’annulent, alors le polynôme s’annule également. Les polynômes à la frontière de notre spectraèdre sont donc ceux dont les paramètres $a$ et $b$ rendent les deux équations linéaires $$ \begin{array}{cccl} (1+a)x & + & by & = & 0 \\ bx & + & (1-a)y & = & 0. \\ \end{array} $$ linéairement dépendantes, c’est-à-dire tels que leur déterminant s’annule : $$ \mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}1+a&b\\b&1-a \end{array}\right) = (1+a)(1-a)-b^2 = 1-a^2-b^2 = 0. $$ Cette approche permet d’écrire le discriminant comme un déterminant d’une matrice linéaire symétrique.
En général, le long de la frontière d’un spectraèdre paramétré par $a$ et $b$, nous pouvons montrer qu’un polynôme de $a$ et $b$ s’annule. Le lieu des points réels où s’annule un polynôme de deux variables est dénommé courbe algébrique réelle.
Considérons à présent le polynôme homogène à
trois variables :
$$
(1+a)x^2+2bxy+(1-a)y^2+2byz+(2-a)z^2
$$
dont nous aimerions étudier le spectraèdre, c’est-à-dire
l’ensemble des paramètres $a$ et $b$ qui rendent ce
polynôme positif. Comme auparavant,
écrivons le système linéaire d’équations décrivant
les points critiques :
$$
\begin{array}{ccccccl}
(1+a)x & + & by & & & = & 0 \\
bx & + & (1-a)y & + & bz & = & 0 \\
& & b y & + & (2-a) z & = & 0
\end{array}
$$
Sur la frontière de notre spectraèdre, les paramètres $a$ et $b$ rendent
les équations ci-dessus linéairement dépendantes, c’est-à-dire
telles que
$$
\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}1+a&b&0\\b&1-a&b\\0&b&2-a
\end{array}\right) = (1+a)(1-a)(2-a)-3b^2 = 0.
$$
C’est l’équation d’une courbe cubique, plus exactement une
courbe elliptique, déjà rencontrée par exemple sur la couverture
d’un livre dans cet article :
Mais où est notre spectraèdre ? Le point $a=b=0$ y appartient,
puisqu’il correspond au polynôme $x^2+y^2+2z^2$ qui est bien sûr
positif. Nous savons également que tout spectraèdre est
convexe, c’est-à-dire qu’il contient tout segment
reliant deux de ses points. Notre spectraèdre contient donc
tous les points qui peuvent être reliés par un segment
à l’origine $a=b=0$, c’est la zone colorée sur cette figure :
Nous voyons donc que la frontière de ce spectraèdre est une composante d’une courbe algébrique. Il s’agit d’une composante connexe, c’est-à-dire que l’on peut dessiner sans lever la pointe du crayon. Cette composante connexe délimite une région convexe : le spectraèdre. L’autre composante connexe de la courbe n’appartient pas au spectraèdre.
Les composantes connexes de courbes algébriques réelles sont parfois dénommées boucles, ou ovales.
Pour la courbe elliptique ci-dessus, la composante convexe ressemble effectivement à un ovale ou un œuf, mais la terminologie peut paraître surprenante pour la composante extérieure, qui ne ressemble pas à un ovale. Cependant, sur la sphère de Riemann, cette composante est topologiquement équivalente à un ovale ou à un cercle. On peut également imaginer que les deux extrémités de la composante extérieure se rejoignent à l’infini.
Il peut paraitre surprenant qu’on ne puisse pas dissocier la frontière du spectraèdre, cet ovale convexe entourant la région colorée, de l’ovale extérieur se trouvant à droite sur la figure. Les deux ovales sont condamnés à vivre ensemble, on ne peut pas les séparer. C’est un phénomène typique des courbes mais aussi des surfaces algébriques réelles. A ce sujet, on pourra consulter cet article où l’on rencontre des parapluies algébriques munis de manches mais aussi des poissons et des discriminants.
En posant $b=0$ on trouve trois points sur la courbe elliptique ci-dessus :
On peut ainsi montrer que les points de l’ovale extérieur sont associés à des polynômes qui ne sont pas positifs, par contraste avec les points de l’ovale intérieur qui sont associés à des polynômes positifs, donc des points du spectraèdre.
A présent, construisons ces ovales dans le cas du spectraèdre
associé à ce polynôme homogène à quatre variables :
$$
(1+a)x^2+2bxy+(1-a)y^2+2byz+(2+a)z^2+2bzu+(2-a)u^2.
$$
La frontière de ce spectraèdre est incluse dans
une courbe algébrique de degré quatre, une quartique :
$$
\mathrm{det}\left(\begin{array}{cccc}1+a&b&0&0\\b&1-a&b&0\\
0&b&2+a&b\\0&0&b&2-a\end{array}\right) = 0.
$$
Cette courbe comporte deux ovales :
On dit que les ovales sont emboîtés.
Cette configuration d’ovales emboîtés est caractéristique
des courbes algébriques associées aux spectraèdres. Voici
un autre exemple, correspondant à une courbe de degré six,
une sextique :
$$
\mathrm{det}\left(\begin{array}{cccccc}1+a&b&0&0&0&0\\b&1-a&b&0&0&0\\
0&b&2+a&b&0&0\\0&0&b&2-a&b&0\\0&0&0&b&3-a&b\\0&0&0&0&b&3+a\end{array}\right) = 0
$$
dont les trois ovales sont emboîtés :
et dont l’ovale intérieur délimite un spectraèdre.
On peut d’ailleurs montrer [1] que si une courbe algébrique
réelle de degré $2k-1$ ou $2k$ a $k$ ovales emboîtés, alors l’ovale
intérieur délimite toujours un spectraèdre. Réciproquement, tout
spectraèdre plan est délimité par l’ovale interne d’une
courbe algébrique de degré $2k-1$ ou $2k$ qui a $k$ ovales
emboîtés.
Les ovales des courbes algébriques ont passionné des générations de mathématiciens, et en particulier David Hilbert dont le 16ème problème proposé à Paris en 1900 concerne précisément les arrangements des ovales [2]. Depuis 1878, Alex Harnack, un étudiant de Felix Klein, avait démontré qu’une courbe algébrique de degré $d$ comportait au plus $$\frac{(d-1)(d-2)}{2}+1$$ ovales. La question de Hilbert concernait les différents arrangements possibles de ces ovales : comment peuvent-ils être positionnés les uns par rapport aux autres ? C’est le problème de la topologie des courbes algébriques réelles. Par exemple pour les quartiques, c’est-à-dire $d=4$, nous pouvons avoir jusqu’à quatre ovales, et leurs six arrangements sont les suivants :
Ce dernier arrangement comportant deux ovales emboîtés est celui dont l’ovale interne délimite un spectraèdre. Dans tous les autres cas, les ovales, même s’ils sont convexes, ne délimitent pas des spectraèdres... Mais nous aurons l’occasion de revenir sur ce problème dans un autre article.
Pour les sextiques, c’est-à-dire $d=6$, on peut avoir jusqu’à onze ovales, et il aura fallu attendre les travaux de D. A. Gudkov et d’autres mathématiciens soviétiques dans les années 1970 pour disposer d’une classification complète des cinquante-six arrangements possibles, dont un seul correspond à trois ovales emboîtés. Hilbert lui même avait omis un des arrangements possibles dans le cas de sextiques à onze ovales, mais il faudrait certainement un article complet pour expliquer cette passionnante histoire, riche en rebondissements, qui nous amènerait jusqu’aux travaux récents de géométrie tropicale d’Ilya Itenberg et Oleg Viro, voir par exemple [3], [4] ou encore ce texte introductif (en anglais). Pour les courbes de degrés plus élevés, on ne dispose pas actuellement d’une classification exhaustive des arrangements réalisables.
Jusqu’à présent nous avons étudié les ovales des spectraèdres
bi-dimensionnels. Que se passe-t-il dans l’espace ? La topologie est
plus ou moins la même, à savoir que tout spectraèdre tri-dimensionnel
est contenu dans des nappes emboîtées, des composantes connexes de
variétés algébriques. Cependant, ce ne sont plus des courbes,
mais des surfaces. Voici quelques exemples de spectraèdres
(en rouge) délicatement posés dans leurs nappes (en bleu),
tels des bijoux dans leurs écrins :
[1] J. W. Helton, V. Vinnikov. Linear matrix inequality representation of sets. Comm. Pure Appl. Math. 60(5):654-674, 2007.
[2] J. J. Gray. Le défi de Hilbert : un siècle de mathématiques. Editions Dunod, collection UniverSciences, Paris, 2003.
[3] E. Brugallé. Un peu de géométrie tropicale. Quadrature 74:10-22, 2009.
[4] D. Zvonkine. Les ovales de Cassini. Stage Olympique de Saint-Malo, 2003.
