Les pavages de Truchet

Piste bleue Le 5 janvier 2018  - Ecrit par  Alain Busser, Patrice Debrabant Voir les commentaires (2)

Les pavages de Truchet sont des pavages par des carrés bicolores présentant certains éléments de symétrie.
Ces pavages peuvent être algébrisés et mis en correspondance avec des nombres décomposés en base 2 ou 4, ce qui permet de les représenter de façon exhaustive.
Ils offrent en retour une visualisation imagée de toute suite de nombres, visualisation qui met en exergue non pas le nombre lui-même, mais le rapport entre les chiffres de sa décomposition. Malgré leur simplicité, les pavages de Truchet semblent frappés du sceau de l’ésotérique. Le visuel célèbre du film Matrix, composé de matrices binaires qui défilent, pourrait être rendu par des pavages de Truchet.

Nota Bene : cet article, de nature plutôt contemplative, est associé à cet article, plus argumentatif et approfondi, dont il partage l’introduction.

I) Introduction

Les pavages de Truchet, au sens historique du terme, sont des pavages dont la tuile de base est un carré colorié avec un motif bicolore de part et d’autre d’une diagonale. Cette tuile peut être tournée d’un ou plusieurs quarts de tour.
Ces pavages ont été étudiés par Jean Truchet (1657 - 1729) (en religion le Père Sébastien, de l’ordre des Carmes).
Voici un exemple de tuile de base.

On a quatre orientations possibles :

Les mathématiciens spécialisés dans ce type de pavages adoptent souvent un point de vue qui consiste à modéliser la situation sans autoriser les rotations. On peut alors plutôt considérer que le jeu est constitué de 4 tuiles.

Voici alors le type de pavage que l’on peut obtenir :

Si on développe un pavage de Truchet d’un carré par symétries axiales successives, puis si on étend par périodicité, on obtient alors une figure du genre suivant :

Si enfin on respecte la continuité de couleur le long de côtés adjacents (autrement dit, si le pavage est un puzzle ou plutôt un domino bidirectionnel car la même forme de bord peut apparaître plusieurs fois), on peut obtenir ce type de pavage (appelé pavage de Truchet linéaire) :

Remarque : les figures dynamiques de cet article ont été créées avec le logiciel de géométrie dynamique DGPad.
On ne suppose ni sa connaissance ni son utilisation lors de la lecture de cet article. La façon de construire ces figures avec DGPad n’est pas détaillée.

En savoir plus sur DGPad

DGPad est un logiciel pour tablettes et PC écrit en Javascript développé par Eric Hakenholz. Il peut être utilisé sous forme d’une application web (sans aucune installation) à cette adresse : https://www.dgpad.net
Il existe aussi une version installée pour Mac et Linux, téléchargeable à cette adresse : http://carmetal.org/index.php/fr/testa-dgpad/application-pour-mac-et-linux
Les pavages de cet article sont construits avec la tortue dynamique de DGPad, dont la programmation est décrite dans cet article détaillé d’Yves Martin sur MathemaTICE. Elles ont été exportées avec tableau de bord, ce qui permet d’accéder à leur code source.

II) Historique

Muni de cette petite tuile, le Père Sébastien se met à étudier, de manière un tantinet obsessionnelle, toutes les combinaisons possibles, en commençant par l’assemblage de deux tuiles.

Voir les planches historiques réalisées par le père Truchet

Plus tard, le Père Truchet est appelé par Louis XIV pour s’occuper de ses jardins et canaux. C’est un appel que l’on ne refuse pas (au risque de finir comme Nicolas Fouquet). Il abandonne sagement les pavages.

Un autre Carme, le Père Dominique Doüat, reprend alors son étude et produit quelques pavages remarquables.

III) Types de pavages de Truchet : simples, linéaires, étendus, unicolores

Sous le nom de « pavage de Truchet », on trouve parfois des pavages de natures différentes. On va commencer par préciser le vocabulaire que l’on va utiliser.

1) Les pavages de Truchet simples (version historique) et les pavages de Truchet linéaires

Schématiquement, si on modélise la situation avec des tuiles que l’on ne peut pas tourner, un jeu de tuiles de Truchet simples correspond à la situation suivante :

Chaque lettre symbolise une couleur. (Cette modélisation, qui peut paraître ridicule, prendra son sens quand on évoquera les pavages de Truchet étendus.)

Il y a deux sous-cas intéressants d’un point de vue esthétique :


  • le cas où l’on a un pavage périodique dont la période présente des éléments de symétrie (axes ou centre) :


  • le cas où l’on a une continuité (identité) des couleurs sur les côtés adjacents. On parle alors de pavages de Truchet linéaires.

2) Les pavages de Truchet étendus

Les pavages de Truchet simples, d’un point de vue céphaloclastophilique [1], ont un intérêt limité [2] : on peut placer les pièces comme on veut (mais sans laisser de trou quand même, faut rester concentré).
C’est plus intéressant, de ce point de vue, si l’on fait l’interprétation naturelle
que le pavage est une forme de puzzle et que les côtés respectifs de deux pièces adjacentes doivent avoir la même couleur. On a vu plus haut que ces pavages étaient appelés des pavages de Truchet linéaires.

Le placement des pièces est alors assujeti à ce modèle déjà donné plus haut :

Pour les pavages linéaires, il est d’usage d’employer également le terme de « pavage de Truchet » pour des pavages différents, dont le jeu de tuiles correspond à cette modélisation alternative :

On a deux visuels X et Y et les raccords sont systématiquement inversés, verticalement et horizontalement.

Voici différents exemples de jeux de tuiles possibles (les trois premiers sont l’oeuvre d’Alphonse Capriani avec le logiciel TeXGraph) :


On peut aussi avoir des motifs plus inattendus, mais qui correspondent encore au modèle :

Avec les deux premiers jeux de tuiles, on peut obtenir les pavages suivants :

Dans le cas de ces jeux de tuiles, le visuel est clair : il s’agit de la même pièce tournée d’un quart de tour.
Mais on aurait pu aussi, - et on le fera plus bas -, englober sous un même visuel une tuile et son négatif, ce qui donnerait plutôt ceci selon le schéma donné plus haut :

Ces pavages sont appelés des pavages de Truchet étendus.

3) Les pavages de Truchet unicolores

  • Les pavages de Truchet unicolores utilisent un jeu de deux tuiles :

La question du raccord le long de côtés adjacents est alors acquise d’avance (tous les pavages sont linéaires).
On peut considérer que les pavages de Truchet étendus sont une généralisation des pavages de Truchet unicolores (les pavages unicolores correspondent au cas où les deux couleurs sont confondues).

IV) Explorer toutes les possibilités de la « Matrice »

Dans la suite, on va s’intéresser à la construction de tous les pavages de Truchet possibles en respectant une contrainte (ou en se limitant à un type de pavage de Truchet particulier).
En pratique, on essaiera de construire tous ces pavages à l’aide d’une seule figure dynamique DGPad comportant un ou plusieurs curseurs (c’est une vue de l’esprit, il faudrait que les curseurs continus de la figure soient parfaits). Pour certaines figures qui ne sont pas expliquées en détail on peut garder en tête l’intention initiale de construire tous les pavages sur une seule figure dynamique.

En savoir plus sur la méthode

La pose des carreaux se fait de la façon suivante :
On se fixe un chemin à paver, par exemple une demi-ligne du pavage
La valeur du curseur numérique permet alors de savoir quelle pièce (parmi les quatre) on place à la position 1, quelle pièce on place à la position 2, etc.

On peut prendre un curseur à valeurs entières variant entre 0 et $4^N$ et exploiter l’écriture en base 4 du nombre donné par le curseur.
Qu’est-ce que l’écriture en base 4 ?
On a l’habitude d’écrire les nombres en base 10. Par exemple, l’écriture « 312 » signifie (parce qu’on est implicitement en base 10) : 3 centaines, 1 dizaine, 2 unités.
En base 10, « 312 »=$3\times 10^2+1\times 10+2$

Mais en base 4, « 312 »=$3\times 4^2+1\times 4+2$ (= « 54 » en base 10).

La décomposition en base 2 est plus habituelle, et correspond à la notion de nombre binaire (un nombre binaire, c’est un nombre écrit en base 2). C’est cette décomposition que le visuel du film Matrix présenté en introduction évoque irrésistiblement.

En décomposant (écrivant) la valeur du curseur en base 4, on obtient donc une suite finie de chiffres entre 0 et 3 qui peuvent être interprétés comme le choix d’un carreau parmi les quatre.

Seulement, on n’obtient ainsi qu’une suite finie de N chiffres entre 0 et 3, et donc un pavage partiel.
Pour éviter ce problème, on peut prendre un curseur continu entre 0 et 1 et exploiter cette fois la décomposition en base 4 de la partie décimale d’un nombre.

En base 10, « 0,312 »=$3\times 10^{-1}+1\times 10^{-2}+2\times 10^{-3}$

Mais en base 4, « 0,312 »=$3\times 4^{-1}+1\times 4^{-2}+2\times 4^{-3}$ (= « 0,84375 » en base 10).

Si le pavage pouvait effectivement prendre toutes les valeurs entre 0 et 1 (c’est une vue de l’esprit, ce n’est pas le cas en pratique) alors on pourrait obtenir toutes les suites infinies de chiffres entre 0 et 3.
On pourrait ainsi coder tous les pavages possibles du chemin à paver.

Si le chemin est une demi-ligne, on peut ainsi paver... une demi-ligne. C’est bien, mais un peu court.
D’où l’idée d’utiliser un chemin qui spirale et couvre finalement tout le plan (en termes savants, on dit qu’il s’agit d’une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^2$).

A) Pavages de Truchet (historiques)

Dans ce cas, on peut poser les carreaux librement. Il y a quatre carreaux, le pavage d’un rectangle peut être représenté par une matrice en base 4.

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Pavages de Truchet simples - déploiement par spirale

B) Pavages de Truchet (simples) périodiques et dont la période présente des éléments de symétrie

Ces pavages ont un côté « classique » très séduisant qui évoque la mosaïque romaine. [3]

Le mode de construction est assez évident : pour garder des éléments de symétrie, on définit une zone où les carreaux seront posés « librement » (on pourra « parcourir » toutes les possibilités en faisant varier un curseur numérique).
Puis on complète par symétries axiales successives.

La définition de ce curseur (qui permet de couvrir toutes les possibilités) est simple sous réserve que l’on se limite à des pavages périodiques d’une période donnée.
Il y a quatre dispositions possibles pour une tuile en place, donc chaque tuile du pavage peut être codée par un nombre entre 0 et 3. Si on a une période (carrée) de côté 3 par exemple, on peut alors coder chaque ligne de ce carré par un nombre à trois chiffres en base 4.
Et à l’extérieur de ce carré on posera les tuiles périodiquement.

Cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet.

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Pavages de Truchet (sans contrainte de continuité) périodiques de période 3

C’est ce que l’on a fait dans la figure dynamique toujours symétrique de période 12 présentée plus haut (au tout début du bloc déroulant). À ceci près que pour ce pavage on a imposé 4 axes de symétrie, et que par conséquent les positions libres forment un triangle isocèle rectangle dont les tuiles sur la diagonale doivent avoir un axe de symétrie imposé (deux options). Sur l’illustration ci-contre, on a indiqué le sens imposé de la coupure diagonale.

Ensuite, on complète par symétries axiales successives jusqu’à remplir le motif 12x12, motif que l’on répète ensuite dans les deux directions comme précédemment.

Cela donne finalement cette figure dynamique du pavage 12 x 12 avec 4 axes de symétrie.
Tous les éléments numériques sont potentiellement dynamiques, et en particulier ici :

  • les choix de tuile aux positions libres
  • le nombre de lignes et le nombre de colonnes
  • les couleurs (= les numéros couleurs au nombre de 70)

Cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet.}

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Pavages de Truchet simples périodiques de période 12 avec motif présentant 4 axes de symétrie

C) Pavages de Truchet linéaires

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Pavages de Truchet linéaires

Il y a deux curseurs numériques selon le schéma suivant :

D) Pavages de Truchet unicolores

Dans ce cas, on peut poser les carreaux librement. Comme il n’y a que deux carreaux, le pavage d’un rectangle peut être représenté par une matrice binaire.

Une telle matrice (qui représente un graphe orienté ou une relation définie sur un ensemble fini) est formée d’éléments tous égaux à 0 ou 1. En infographie, il est classique de représenter les matrices binaires comme champs de pixels, ce qui permet de voir, en clignant un peu les yeux, la densité de « 1 » dans la matrice. Pour illustrer cette manière de dessiner une matrice binaire, on va prendre l’exemple classique que voici :

1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0

Le nombre binaire situé à la ligne n et la colonne k est le reste dans la division par 2 du nombre de manières de choisir k éléments parmi n, en bref, le triangle de Pascal modulo 2. Maintenant, si on choisit de colorier le pixel de coordonnées (k,n) [4], si et seulement si il y a « 1 » à la ligne k et la colonne n dans la matrice, on obtient une version pixellisée du triangle de Sierpinski :

Les zones où il y a plus de « 0 » que de « 1 » sautent aux yeux, parce qu’elles sont plus claires.

Mais on peut aussi opter pour un pavage de Truchet unicolore :

La matrice de Pascal modulo 2 devient ceci :

Les grandes zones vides (les « 0 » en triangle façon Sierpinski) sont moins visibles qu’avec la version pixellisée, mais le regard est attiré par d’autres symétries de la figure, essentiellement par la continuité des contrastes « 0-1 ». On peut accentuer ces symétries nouvelles en utilisant plutôt un pavage de Truchet étendu (voir le bloc déroulant suivant).

E) Pavages de Truchet étendus

Dans ce bloc déroulant, on se limite aux pavages de Truchet étendus correspondants à cette modélisation :

En 1995, Philippe Espéret a trouvé un algorithme simple pour colorier les pavages de Truchet unicolores, les transformant ainsi en pavages de Truchet étendus. Vu autrement, cet algorithme permet de construire tous les pavages de Truchet étendus possibles.

Reprenons notre exemple de matrice binaire :

1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0

Pour chaque « 0 », on choisit la dalle positive si ses coordonnées ont même parité, la dalle négative sinon ; idem pour les « 1 »

La matrice de Sierpinski, selon les deux visuels possibles, devient avec cet algorithme :

ou bien :

Voici une figure dynamique qui permet de construire tous les pavages de Truchet étendus avec différents costumes :

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Pavages de Truchet étendus - déploiement le long d’une spirale - 5 motifs

Enfin, pour la distraction, voici une page interactive, permettant d’entrer une matrice booléenne en cochant ou décochant des cases, et de voir les représentations pixellisées et « de Truchet », de cette matrice.
C’est un jeu où l’on a le droit de trucher.

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On peut inventer des jeux à l’aide de ce fichier, comme par exemple quelles cases faut-il cocher pour obtenir un rectangle noir sur fond blanc à pois noirs ?

Autrement dit, le défi est de construire ce pavage :

ou son négatif :

Dans le passage précédent, pour certains types de pavages (voir le bloc déroulant « A) Pavages de Truchet (historiques) ») le recours à un chemin en forme de spirale (le carreleur a posé les carreaux en suivant une spirale)
a permis de construire tous les pavages possibles.
Une autre façon de procéder consiste à définir une seule ligne à l’aide d’un curseur (un nombre) et d’obtenir toutes les autres en appliquant à nouveau le processus de pavage d’une ligne, mais en utilisant pour les nouvelles lignes, non pas la valeur du curseur elle-même, mais celle obtenue après un processus de récurrence.
Si on se limite à des pavages partiels, on peut ainsi coder des suites de nombres entiers définies par récurrence.
Par exemple, pour les pavages de Truchet unicolores ou étendus, on écrit l’un en dessous de l’autre les termes successifs de la suite (en binaire) pour obtenir une matrice binaire. Concrètement, la matrice est tronquée sur la gauche, l’écriture binaire d’un entier étant considérée comme bordée à sa gauche d’une infinité de « 0 ». La matrice binaire représentant une suite d’entiers est donc infinie vers la gauche (infinité de « 0 ») et vers le bas (la suite est infinie). Dans la pratique on garde les colonnes intéressantes de la matrice, qui sont celles ne contenant pas que des « 0 ».

E bis) Exemples de pavages de Truchet étendus avec ce nouveau codage

Multiples

En écrivant l’un en-dessous de l’autre les entiers successifs, on a déjà une matrice binaire, qui commence par

0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0

La page interactive suivante permet de comparer le pavage de Truchet ainsi obtenu avec ceux d’autres suites arithmétiques d’entiers :

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Puissances

De même, les puissances de 2 (ou de 4, de 8 etc) donnent, on s’en doute, des pavages relativement simples voire monotones. Les puissances d’autres entiers peuvent donner d’autres motifs plus complexes :

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(le dessin ci-dessus est cliquable, il mène à l’ouverture d’une page interactive permettant de changer la raison de la suite et de voir immédiatement le résultat)

Fibonacci

La suite de Fibonacci, en binaire, semble receler encore des mystères :

Collatz

La conjecture de Syracuse porte sur une suite, créée par Lothar Collatz dans les années 1930, et qu’on peut décrire par cet algorithme récurrent [5] :

Ici on a commencé par 13 et on obtient la suite d’entiers que voici :

40
20
10
5
16
8
4
2
1

La conjecture de Syracuse (formulée sous cette forme à l’université de Syracuse, mais dans un cas plus général par Collatz dans les années 1930) prévoit que, quelle que soit la valeur entière de départ, on finit toujours par tomber sur 1. Autrement dit, que la suite infinie se termine par le cycle 4-2-1. Cette conjecture est toujours, plus de 80 ans après son émission, un problème ouvert.

La page interactive ci-dessous permet de voir, une fois qu’on a choisi son premier terme, la suite de Collatz en binaire :

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La conjecture de Syracuse se reformule alors en quelle que soit la valeur choisie au départ, le pavage de Truchet obtenu a toujours la même allure en bas. Qui sait si, sous cette nouvelle forme, quelqu’un ne va pas voir dans le pavage de Truchet une nouveauté faisant « tomber » la conjecture ?

Les figures dynamiques suivantes montrent la diversité des apparences que peut prendre ce codage pour la suite de Collatz (ou toute autre suite définie par une récurrence simple, car on peut modifier très simplement l’étape de récurrence) :

  • Avec les pavages de Truchet simples unicolores, on obtient ceci (cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet) :
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Pavages de Truchet simples unicolores - visualisation d’une suite
  • Avec les pavages de Truchet étendus, on obtient cela (avec 5 motifs différents dont le choix est dynamique ainsi que les couleurs :) :
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Pavages de Truchet étendus - visualisation de suites - 5 motifs

Pour la petite (ou la grande ou moins grande) histoire : hommage à Maurice Audin

Christian Mercat, que nous remercions ici, nous a mis sur la piste d’un pavage de Truchet que nous ne connaissions pas.
Il a observé ce pavage à Alger, place Maurice Audin. Voici deux photos qu’il a prises à cette occasion :

Nous avons décidé de modéliser une version coloriée de ce pavage, et cette version correspond alors à un pavage de Truchet étendu. C’est ce pavage que l’on a utilisé pour le logo (visualisation de la suite de Collatz pour u0 = 703).
Il y a différents jeux de quatre tuiles possibles (seuls les raccords importent) car une seule de deux diagonales est axe de symétrie. Si l’on est attentif, on remarquera d’ailleurs qu’il y a un petit « défaut de symétrie » dans le jeu de quatre tuiles que l’on a choisies (quatre tuiles de la colonne de droite).

Nous avons ajouté ce pavage (costume) à la figure dynamique présentée dans le bloc déroulant précédent (c’est le motif 6).

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Pavages de Truchet étendus - dont pavage d’Alger - visualisation d’une suite
Post-scriptum :

Outre Christian Mercat, auteur des photos prises à Alger, les auteurs souhaitent remercier pour leur contribution Xavier Goaoc, Romain Dujardin et les relecteurs suivants : amic, Clement_M et Angela Gamella.

Article édité par Nils Berglund

Notes

[1Vous pouvez reprendre votre respiration. Le céphaloclastophile est un passionné de puzzles et de casse-têtes.

[2Mais il peut y avoir un intérêt esthétique.

[3Dans la mosaïque romaine, on utilise des tesselles(tuiles) unicolores.

[4L’ordonnée n est orientée de haut en bas, comme c’est souvent le cas sur un écran d’ordinateur.

[5Réalisé à l’aide du logiciel Sofus.

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Pour citer cet article :

Patrice Debrabant, Alain Busser — «Les pavages de Truchet» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Crédits image :

Image à la une - Christian Mercat est l’auteur des photos prises à Alger

Commentaire sur l'article

  • Les pavages de Truchet : références manquantes !

    le 5 janvier à 20:28, par Alphonse Capriani

    Bonjour !

    Très bon article concernant ces fameux pavages de Truchet.

    J’interviens néanmoins pour faire part de ma frustration lorsque j’ai constaté que certains visuels de cette pages ont directement été inspiré de mon travail réalisé sur le logiciel TeXgraph (voir à l’adresse suivante : http://texgraph.tuxfamily.org/pavag...). Les motifs utilisés dans la génération des pavages sont exactement les mêmes que j’avais intégré dans mes macros.

    Perso, je m’en fiche un peu, je suis même content que des gens ont regardé mon travail, mais j’aurais quand même apprécié être mentionné. ;)

    Sinon, bonne année à tous !

    Répondre à ce message
  • Les pavages de Truchet

    le 5 janvier à 23:13, par Patrice Debrabant

    Bonsoir,
    Nous avons effectivement consulté votre page, nous n’en faisons pas secret.
    Comme vous êtes l’auteur de ces motifs, vous méritez d’être cité, et nous le ferons volontiers.
    Bien cordialement,
    Patrice

    Répondre à ce message

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