DGPad est un logiciel pour tablettes et PC écrit en Javascript développé par Eric Hakenholz. Il peut être utilisé sous forme d’une application web (sans aucune installation) à cette adresse : https://www.dgpad.net
Il existe aussi une version installée pour Mac et Linux, téléchargeable à cette adresse : http://carmetal.org/index.php/fr/testa-dgpad/application-pour-mac-et-linux
Les pavages de cet article sont construits avec la tortue dynamique de DGPad, dont la programmation est décrite dans cet article détaillé d’Yves Martin sur MathemaTICE. Elles ont été exportées avec tableau de bord, ce qui permet d’accéder à leur code source.

La pose des carreaux se fait de la façon suivante :
On se fixe un chemin à paver, par exemple une demi-ligne du pavage
La valeur du curseur numérique permet alors de savoir quelle pièce (parmi les quatre) on place à la position 1, quelle pièce on place à la position 2, etc.

On peut prendre un curseur à valeurs entières variant entre 0 et $4^N$ et exploiter l’écriture en base 4 du nombre donné par le curseur.
Qu’est-ce que l’écriture en base 4 ?
On a l’habitude d’écrire les nombres en base 10. Par exemple, l’écriture « 312 » signifie (parce qu’on est implicitement en base 10) : 3 centaines, 1 dizaine, 2 unités.
En base 10, « 312 »=$3\times 10^2+1\times 10+2$

Mais en base 4, « 312 »=$3\times 4^2+1\times 4+2$ (= « 54 » en base 10).

La décomposition en base 2 est plus habituelle, et correspond à la notion de nombre binaire (un nombre binaire, c’est un nombre écrit en base 2). C’est cette décomposition que le visuel du film Matrix présenté en introduction évoque irrésistiblement.

En décomposant (écrivant) la valeur du curseur en base 4, on obtient donc une suite finie de chiffres entre 0 et 3 qui peuvent être interprétés comme le choix d’un carreau parmi les quatre.

Seulement, on n’obtient ainsi qu’une suite finie de N chiffres entre 0 et 3, et donc un pavage partiel.
Pour éviter ce problème, on peut prendre un curseur continu entre 0 et 1 et exploiter cette fois la décomposition en base 4 de la partie décimale d’un nombre.

En base 10, « 0,312 »=$3\times 10^{-1}+1\times 10^{-2}+2\times 10^{-3}$

Mais en base 4, « 0,312 »=$3\times 4^{-1}+1\times 4^{-2}+2\times 4^{-3}$ (= « 0,84375 » en base 10).

Si le pavage pouvait effectivement prendre toutes les valeurs entre 0 et 1 (c’est une vue de l’esprit, ce n’est pas le cas en pratique) alors on pourrait obtenir toutes les suites infinies de chiffres entre 0 et 3.
On pourrait ainsi coder tous les pavages possibles du chemin à paver.

Si le chemin est une demi-ligne, on peut ainsi paver... une demi-ligne. C’est bien, mais un peu court.
D’où l’idée d’utiliser un chemin qui spirale et couvre finalement tout le plan (en termes savants, on dit qu’il s’agit d’une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}^2$).

Dans ce cas, on peut poser les carreaux librement. Il y a quatre carreaux, le pavage d’un rectangle peut être représenté par une matrice en base 4.

Pavages de Truchet simples - déploiement par spirale

Ces pavages ont un côté « classique » très séduisant qui évoque la mosaïque romaine. [3]

Le mode de construction est assez évident : pour garder des éléments de symétrie, on définit une zone où les carreaux seront posés « librement » (on pourra « parcourir » toutes les possibilités en faisant varier un curseur numérique).
Puis on complète par symétries axiales successives.

La définition de ce curseur (qui permet de couvrir toutes les possibilités) est simple sous réserve que l’on se limite à des pavages périodiques d’une période donnée.
Il y a quatre dispositions possibles pour une tuile en place, donc chaque tuile du pavage peut être codée par un nombre entre 0 et 3. Si on a une période (carrée) de côté 3 par exemple, on peut alors coder chaque ligne de ce carré par un nombre à trois chiffres en base 4.
Et à l’extérieur de ce carré on posera les tuiles périodiquement.

Cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet.

Pavages de Truchet (sans contrainte de continuité) périodiques de période 3

C’est ce que l’on a fait dans la figure dynamique toujours symétrique de période 12 présentée plus haut (au tout début du bloc déroulant). À ceci près que pour ce pavage on a imposé 4 axes de symétrie, et que par conséquent les positions libres forment un triangle isocèle rectangle dont les tuiles sur la diagonale doivent avoir un axe de symétrie imposé (deux options). Sur l’illustration ci-contre, on a indiqué le sens imposé de la coupure diagonale.

Ensuite, on complète par symétries axiales successives jusqu’à remplir le motif 12x12, motif que l’on répète ensuite dans les deux directions comme précédemment.

Cela donne finalement cette figure dynamique du pavage 12 x 12 avec 4 axes de symétrie.
Tous les éléments numériques sont potentiellement dynamiques, et en particulier ici :

• les choix de tuile aux positions libres
• le nombre de lignes et le nombre de colonnes
• les couleurs (= les numéros couleurs au nombre de 70)

Cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet.}

Pavages de Truchet simples périodiques de période 12 avec motif présentant 4 axes de symétrie

Pavages de Truchet linéaires

Il y a deux curseurs numériques selon le schéma suivant :

Dans ce cas, on peut poser les carreaux librement. Comme il n’y a que deux carreaux, le pavage d’un rectangle peut être représenté par une matrice binaire.

Une telle matrice (qui représente un graphe orienté ou une relation définie sur un ensemble fini) est formée d’éléments tous égaux à 0 ou 1. En infographie, il est classique de représenter les matrices binaires comme champs de pixels, ce qui permet de voir, en clignant un peu les yeux, la densité de « 1 » dans la matrice. Pour illustrer cette manière de dessiner une matrice binaire, on va prendre l’exemple classique que voici :

Le nombre binaire situé à la ligne n et la colonne k est le reste dans la division par 2 du nombre de manières de choisir k éléments parmi n, en bref, le triangle de Pascal modulo 2. Maintenant, si on choisit de colorier le pixel de coordonnées (k,n) [4], si et seulement si il y a « 1 » à la ligne k et la colonne n dans la matrice, on obtient une version pixellisée du triangle de Sierpinski :

Les zones où il y a plus de « 0 » que de « 1 » sautent aux yeux, parce qu’elles sont plus claires.

Mais on peut aussi opter pour un pavage de Truchet unicolore :

La matrice de Pascal modulo 2 devient ceci :

Les grandes zones vides (les « 0 » en triangle façon Sierpinski) sont moins visibles qu’avec la version pixellisée, mais le regard est attiré par d’autres symétries de la figure, essentiellement par la continuité des contrastes « 0-1 ». On peut accentuer ces symétries nouvelles en utilisant plutôt un pavage de Truchet étendu (voir le bloc déroulant suivant).

Dans ce bloc déroulant, on se limite aux pavages de Truchet étendus correspondants à cette modélisation :

En 1995, Philippe Espéret a trouvé un algorithme simple pour colorier les pavages de Truchet unicolores, les transformant ainsi en pavages de Truchet étendus. Vu autrement, cet algorithme permet de construire tous les pavages de Truchet étendus possibles.

Reprenons notre exemple de matrice binaire :

Pour chaque « 0 », on choisit la dalle positive si ses coordonnées ont même parité, la dalle négative sinon ; idem pour les « 1 »

La matrice de Sierpinski, selon les deux visuels possibles, devient avec cet algorithme :

ou bien :

Voici une figure dynamique qui permet de construire tous les pavages de Truchet étendus avec différents costumes :

Pavages de Truchet étendus - déploiement le long d’une spirale - 5 motifs

Enfin, pour la distraction, voici une page interactive, permettant d’entrer une matrice booléenne en cochant ou décochant des cases, et de voir les représentations pixellisées et « de Truchet », de cette matrice.
C’est un jeu où l’on a le droit de trucher.

On peut inventer des jeux à l’aide de ce fichier, comme par exemple quelles cases faut-il cocher pour obtenir un rectangle noir sur fond blanc à pois noirs ?

Autrement dit, le défi est de construire ce pavage :

ou son négatif :

Les figures dynamiques suivantes montrent la diversité des apparences que peut prendre ce codage pour la suite de Collatz (ou toute autre suite définie par une récurrence simple, car on peut modifier très simplement l’étape de récurrence) :

• Avec les pavages de Truchet simples unicolores, on obtient ceci (cliquer sur l’image pour ouvrir la figure dynamique dans un nouvel onglet) :

Pavages de Truchet simples unicolores - visualisation d’une suite

• Avec les pavages de Truchet étendus, on obtient cela (avec 5 motifs différents dont le choix est dynamique ainsi que les couleurs :) :

Pavages de Truchet étendus - visualisation de suites - 5 motifs

Christian Mercat, que nous remercions ici, nous a mis sur la piste d’un pavage de Truchet que nous ne connaissions pas.
Il a observé ce pavage à Alger, place Maurice Audin. Voici deux photos qu’il a prises à cette occasion :

Nous avons décidé de modéliser une version coloriée de ce pavage, et cette version correspond alors à un pavage de Truchet étendu. C’est ce pavage que l’on a utilisé pour le logo (visualisation de la suite de Collatz pour u0 = 703).
Il y a différents jeux de quatre tuiles possibles (seuls les raccords importent) car une seule de deux diagonales est axe de symétrie. Si l’on est attentif, on remarquera d’ailleurs qu’il y a un petit « défaut de symétrie » dans le jeu de quatre tuiles que l’on a choisies (quatre tuiles de la colonne de droite).

Nous avons ajouté ce pavage (costume) à la figure dynamique présentée dans le bloc déroulant précédent (c’est le motif 6).

Pavages de Truchet étendus - dont pavage d’Alger - visualisation d’une suite