15 octobre 2006

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Les polygones déchaînés et le problème des n corps

Alain Chenciner

Professeur, Université Denis Diderot Paris 7 et Institut de mécanique céleste Observatoire de Paris (page web)

La richesse de la solution la plus triviale du problème des n corps - l’équilibre relatif de n masses égales disposées aux
sommets d’un polygone régulier - se révèle si l’on observe
globalement et en repère tournant les familles de solutions
quasi-périodiques qui en bifurquent dans la direction normale au
plan du polygone. Techniquement, l’étude de ce prolongement
global se fait en minimisant l’action sous une contrainte de symétrie.

Le problème des n corps

Déterminer les mouvements dans l’espace de n masses
ponctuelles exerçant l’une sur l’autre une force attractive
proportionnelle au produit de leurs deux masses et inversement
proportionnelle au carré de leur
distance.
Tel est le « Problème des n corps », parangon des
systèmes « non intégrables » de la mécanique classique dès
que $n\ge 3$.

Ce n’est que bien des années après les Principia de Newton
que les équations du mouvement seront écrites sous la forme qu’on leur connaît aujourd’hui : pour $j=1,\ldots,n,$

\[\begin{equation}m_j\ddot{\vec r_j}=\sum_{k\not=j}{m_jm_k\over |\vec r_k-\vec r_j|^3}(\vec r_k-\vec r_j)={\partial U\over\partial{\vec r_j}}(\vec r_1,\ldots),\label{*}\end{equation}\]

où $\vec r_j\in \mathbb{R}^3$ et $m_j>0$ sont la position et la masse du jème corps,

\[ U(\vec r_1,\ldots,\vec r_n)=\sum_{j < k=1}^n{m_jm_k\over|\vec r_k-\vec r_j|} \]
et où, suivant l’usage des mécaniciens, un point désigne la dérivée temporelle.
L’addition de ces équations donne
$\sum_{j=1}^n{m_j\ddot{\vec r}_j}=0$, qui exprime que le centre de gravité
$\vec r_G=(\sum_{j=1}^n{m_j})^{-1}\sum_{j=1}^n{m_j\vec r_j}$ a un
mouvement rectiligne uniforme :
$\ddot{\vec r_G}=\vec 0$. On choisira un repère galiléen
dans lequel $\vec r_G\equiv\vec 0$.

Le polygone régulier

Lorsque les masses de tous les corps sont les mêmes (disons
égales à 1), il existe pour tout nombre réel positif
$r$ une unique fréquence $\omega=\omega(r)$ telle que le mouvement
ci-dessous soit une solution périodique de
période
$T=2\pi/\omega$ de $\ref{*}$ (on a identifié
$\mathbb{R}^2$ au plan complexe et posé
$\zeta=e^{2\pi i/n}$) :
\[x(t)=(\vec r_1(t),\vec r_2(t),\ldots,\vec r_n(t)),\;\vec r_j(t)\zeta^jre^{\omega t}.\]
En effet, l’attraction qui s’exerce sur le corps $j$ à un instant
quelconque est dirigée suivant le vecteur
$\vec r_j$ puisque ce vecteur porte un axe de symétrie du polygone.
De plus, l’intensité de cette force
est constante et indépendante de $j$. Autrement dit, $\ddot{\vec r_j}(t)=-\omega(r)^2\vec r_j(t)$, ce
qui démontre l’assertion.

Ces solutions sont les exemples les plus simples d’équilibres
relatifs
, c’est-à-dire de mouvements au cours
desquels la configuration tourne rigidement comme un corps solide à
vitesse angulaire uniforme. L’existence d’une
forme est ce qui distingue
avant tout le problème des trois (ou
$n\ge 3$) corps du problème des deux corps et ce n’est
pas un hasard si les seules solutions explicites du problème des 3
corps sont les solutions homographiques - découvertes par Euler et Lagrange - dans
lesquelles ... les trois Corps pourraient
se mouvoir en sorte que leurs distances fussent toujours
constantes,ou gardassent au moins entre elles des
rapports constants (Lagrange, Avertissement de l’Essai sur le
Problème des trois Corps, 1772).

Intimement liées aux symétries du problème (translation,
rotation) et à l’homogénéité de
la force newtonienne, ces solutions ne peuvent exister que pour des
configurations très spéciales,
appelées aujourd’hui configurations centrales, celles pour
lesquelles la configuration des forces est
proportionnelle à celle des corps. Leur détermination lorqu’il y
a plus de trois corps est un problème majeur,
mais seul le cas « trivial » d’un polygone régulier formé de
masses égales va nous intéresser.
Notons que, quel que soit le nombre de corps, un mouvement d’équilibre
relatif dans $\mathbb{R}^3$ se passe
nécessairement dans un plan fixe. Combinées aux forces
centrifuges, les forces d’attraction tendent en
effet à aplatir la configuration. Ceci n’est plus vrai dans $\mathbb{R}^4$
où un équilibre relatif possède deux axes de rotation
orthogonaux.

Minimiser l’action

Les solutions de $\ref{*}$ sont exactement les points critiques de
l’action lagrangienne qui, à un chemin $[0,T]\ni t\mapsto x(t)=\bigl(\vec r_1(t),\ldots,\vec r_n(t)\bigr)$
fait correspondre l’intégrale

\[{\cal A}(x)=\int_0^T{\left[{1\over 2}\sum_{j=0}^n{m_j||\dot{\vec r_j}||^2}+U\bigl(x(t)\bigr)\right]dt}.\]

Cela signifie que $x(t)$ est solution de $\ref{*}$ si et
seulement si la variation
${\cal A}(x+\delta x)-{\cal A}(x)$ de l’action est du « second ordre »
par rapport à une variation
$\delta x(t)$ du chemin $x(t)$ fixant ses extrémités : c’est le
Principe de moindre action.
Pris au pied de la lettre, ce principe fait rechercher les solutions,
non seulement comme points critiques,
mais plus précisément comme minima de l’action.
C’est, au remplacement près de la longueur par l’action, la
manière dont les géomètres cherchent
une géodésique fermée d’un hyperboloïde
à une nappe comme une courbe de longueur la plus petite possible parmi celles
qui « font le tour » du trou (figure 1).

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Figure 1. Une géodésique minimisante.

L’action ci-dessus étant toujours positive, cela a un sens de
chercher les solutions périodiques
de période fixée $T$ de $\ref{*}$ qui minimisent l’action parmi les
$x(t)$ périodiques de période $T$ (qu’on appellera des
« lacets » de configurations de période $T$).
On peut même s’attendre à ce que les dites solutions soient « les
plus simples ». Un théorème
célèbre de Tonelli datant d’environ 1925, joint
à un résultat de Weierstrass, affirme bien l’existence d’un
minimum régulier à condition que
soient satisfaites des hypothèses, dites de coercivité,
assurant qu’un minimum ne peut pas se trouver
« à l’infini » (figure 2).

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Figure 2. Coercitivité.

Malheureusement, c’est exactement ce qui se passe dans notre
cas : le minimum absolu de
l’action, égal à zéro, est atteint par des corps au repos
infiniment éloignés les uns des autres. Eliminer ce
problème exige qu’on se restreigne à une classe de lacets soumis
à certaines contraintes ; on pense d’abord à des
contraintes « topologiques » comme dans l’exemple des géodésiques
de l’hyperboloïde mais, comme Poincaré le
remarquait déjà dans une note de 1896 [P], la faiblesse de la
force newtonienne fait que la minimization sous de telles
contraintes conduit bien souvent à des solutions « avec
collisions ». Heureusement, il n’en est pas de même avec des
contraintes de symétrie. L’exemple le plus simple est la contrainte
de symétrie italienne :
$x(t+T/2)=-x(t)$. Introduite dans les années 80 pour restaurer la
coercivité - si un corps s’éloigne, le lacet sera grand
puisque ce corps doit, au bout d’une demi-période, occuper une
position symétrique par rapport à l’origine : la partie
cinétique de l’action sera donc grande elle-aussi - elle exclut
également la possibilité de collisions : cela résulte de
l’absence de collisions dans les minima de l’action à
extrémités fixées, un théorème remarquable de Christian
Marchal ([C1]).

Où rien de nouveau n’apparaît

Cherchons donc, dans le cas de trois ou quatre masses égales, les
solutions de $\ref{*}$ qui minimisent l’action parmi les
lacets de configurations qui d’une part habitent un plan fixe,
d’autre part vérifient la symétrie italienne. Il
résulte d’un travail avec Nicole Desolneux que les seuls minima
sont respectivement l’équilibre relatif
du triangle
équilatéral et celui du carré. Cela vient de ce que ces deux
configurations
minimisent la fonction $U$ parmi les configurations planes de taille
fixée (techniquement : parmi les
configurations planes de moment d’inertie $I$ par rapport au centre
de gravité fixé). Si l’on admet les
configurations spatiales de quatre corps, c’est le tétraèdre
régulier qui minimise $U$ à $I$ fixé mais
nous avons remarqué à la fin du paragraphe 2 que ce dernier n’a
pas de mouvement d’équilibre relatif dans
$\mathbb{R}^3$. Par contre, dans $\mathbb{R}^4$, c’est bien un tel mouvement qui
minimise l’action parmi les lacets de
configurations de quatre corps avec symétrie italienne.
En conclusion, la minimisation sous contrainte de symétrie
italienne ne fournit rien de nouveau pour 3 et 4
corps de même masse dans le plan ou dans $\mathbb{R}^4$.

Le Huit et le Hip-Hop

Pour trouver par minimisation de « nouvelles » solutions
périodiques, il fallait donc
enrichir le groupe de symétrie, ou bien passer du plan à
l’espace. L’encadré décrit un exemple de chaque
type :

i) passant, pour trois corps, du groupe à 2 éléments $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ au
groupe dihédral $D_6$ à 12 éléments, qui est le groupe des
symétries de l’« espace des triangles » [C2], on obtient
une solution dans laquelle les corps se poursuivent à intervalles
de temps égaux le long d’une courbe
plane en forme de huit ;

ii) gardant au contraire, pour 4 corps, la symétrie italienne
et son groupe à deux éléments mais minimisant
l’action parmi tous les lacets de configurations dans l’espace à
trois dimensions, on obtient le « Hip-Hop » [C1] dont la configuration
passe continuement du carré au tétraèdre régulier.

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Le « Huit », minimum pour la symétrie
$D_6=\left\{g_1,g_2|\, g_1^6=g_2^2=1,\,g_1g_2=g_2g_1^{-1}\right\} : $
$g_1\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t)\bigr)=\bigl(-\bar x_3(t-\frac{T}{6}),-\bar x_1(t-\frac{T}{6}),-\bar x_2(t-\frac{T}{6})\bigr),$
$g_2\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t)\bigr)=\bigl(-x_1(\frac{T}{2}-t),-x_3(\frac{T}{2}-t),-x_2(\frac{T}{2}-t)\bigr).$
La suite exacte $1 \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to D_6\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 1$,
dans laquelle $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est engendré par $g_1^2$, implique qu’un lacet de configurations $D_6$-invariant est une chorégraphie (les corps
subissent une permutation circulaire au bout d’un tiers de période)
portée par une courbe symétrique par rapport aux deux axes.
La figure est faite dans $\mathbb{R}^2\equiv \mathbb{C}$.

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Le « Hip-Hop », minimum pour la symétrie italienne
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{g_1\} :\; g_1\bigl(x(t)\bigr)=-x(t-\frac{T}{2})$,
l’est aussi pour la symétrie $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{g_1,g_2\}$ :
$g_2\bigl(x_1(t),x_2(t),x_3(t),x_4(t)\bigr)=\bigl(\rho x_4(t),\rho x_1(t),\rho x_2(t),\rho x_3(t)\bigr),$ où
$\rho$ est l’isométrie de $\mathbb{R}^3$ définie par $\rho(u,v,w)=(-v,u,-w)$.
Le Hip-Hop est un compromis entre l’équilibre relatif du carré
dans $\mathbb{R}^2$ et celui du tétraèdre régulier dans $\mathbb{R}^4$.
La figure est faite dans $\mathbb{R}^3$.

Ce qui suit montrera que ces solutions n’étaient, dans un certain
sens, pas aussi « nouvelles » qu’elles le
paraissaient.

Les polygones se déchainent

(i) L’équation aux variations verticales. La longueur d’un
segment de droite ne change pas au premier
ordre sous l’influence de variations orthogonales de ses
extrémités. Cette conséquence remarquable du
théorème de Pythagore implique un scindement de l’équation
aux variations
d’une solution plane en une partie horizontale et une partie verticale : si $x(t)$ est
solution de $\ref{*}$, $x(t)+\epsilon y(t)$, où
$y_j(t)=(0,0,z_j(t)),\, j=1,\ldots,n,$ est solution au deuxième
ordre près en $\epsilon$ si
$z=(z_1,\ldots,z_n)$ vérifie l’équation aux variations verticales

\[\begin{equation}\ddot z_j=\sum_{k\not=j}{m_jm_k\over |\vec r_k(t)-\vec r_j(t)|^3}(z_k-z_j)\, ,\quad j=1,\ldots,n.\label{VVE}\end{equation}\]

Pour un équilibre relatif, les coefficients sont indépendants du
temps et on montre facilement que, après qu’on ait éliminé la
symétrie de translation en exigeant que $\sum{m_jz_j=0}$, les
solutions sont des combinaisons de solutions de la forme
$z(t)$=Re$(Ze^{i\omega_jt})$ où $Z$ est un vecteur propre complexe de valeur propre $-\omega_j^2$ de la matrice définissant
le second membre de $\ref{VVE}$. Dans le cas de masses
égales sur un polygone régulier, les « fréquences verticales »
$\omega_j$ peuvent
être calculées explicitement en fonction des longueurs des
diagonales du $n$-gone régulier.
En particulier, $\omega_1$ est la
fréquence de l’équilibre relatif considéré. Si
$n=3$, il n’y a qu’une seule fréquence $\omega_1$ ; si $n=4$, il y
en a deux, $\omega_1$ et
$\omega_2=\left(2\sqrt{2}/\sqrt{4+\sqrt{2}}\right)\omega_1$.

(ii) Les familles de Liapunov. Le passage au quotient par les rotations transforme un équilibre
relatif en un équilibre. Ce qu’on a dit de
l’équation aux variations verticales se traduit par l’existence,
pour le champ de vecteurs
quotient linéarisé en cet équilibre, d’une décomposition de l’espace des « phases vertical » (les $(z,\dot z)$) en somme directe
de sous-espaces de dimensions paires entièrement feuilletés en
solutions périodiques. On peut généralement
montrer par des techniques classiques de formes normales l’existence
locale de surfaces formées de
solutions périodiques des équations, appelées familles de
Liapunov
. La période varie en
général dans une telle famille, mais, utilisant le fait que si
$x(t)$ est une solution de $\ref{*}$, il en est de même de
$x_\lambda(t)=\lambda^{-{2\over 3}}x(\lambda t)$, on en déduit l’existence locale de familles de solutions à
période constante $T$. Notons que
la démonstration de l’existence de
ces familles est compliquée par l’existence de résonances avec
d’autres fréquences, verticales ou horizontales.

(iii) Les repères tournants. Une façon de « passer au
quotient par les rotations d’axe vertical » est
d’autoriser des rotations horizontales du repère. Une solution
périodique des équations après
quotient (les équations réduites) apparaitra comme
quasi-périodique dans le repère inertiel
mais redeviendra périodique dans un repère tournant
bien choisi.

Symétries et bifurcations

Considérons donc une solution d’équilibre relatif du problème
des n corps qui devienne périodique
dans un repère tournant dont la vitesse de rotation $\varpi$, supposée
uniforme, va jouer le rôle de paramètre.
Si $a_C$ est l’action de l’équilibre relatif $x_C(t)=Ce^{2\pi it}$
de période minimale égale à 1, l’action de l’ équilibre
relatif correspondant de période
$T$ est $a_CT^{1\over 3}$ et celle de l’équilibre relatif qui
parcourt $q$ fois le cercle pendant la période $T$ est
$q\times a_C({T\over q})^{1\over 3}=a_Cq^{2\over 3}T^{1\over 3}$.
Notons $A_C(q,T,\varpi)$ l’action sur un intervalle de temps $T$ de
la solution d’équilibre relatif $x_{C,q}^{T,\varpi}(t)$ de configuration normalisée $C$ qui, dans un repère tournant à la fréquence $\varpi$ dans le sens opposé à son mouvement, parcourt $q$ fois le cercle pendant le temps $T$. Une telle solution est de la forme
$x_{C,q}^{T,\varpi}(t)=\lambda^{-{2\over 3}}x_C(\lambda t)=\lambda^{-{2\over 3}}Ce^{2\pi\lambda it}$. Puisque dans le repère mobile elle devient
$\lambda^{-{2\over 3}}Ce^{({2\pi\lambda+\varpi})it}$, $\lambda$ doit être tel que
$(2\pi\lambda+\varpi)T=2\pi q$, c’est-à-dire $\lambda T=q-{\varpi\over \omega}$ si l’on note $\omega={2\pi\over T}$.
Donc,
\[A_C(q,T,\varpi)=(q-{\varpi\over \omega})^{2\over 3}T^{1\over 3}a.\]

Partant de la valeur $\varpi=q\omega$ pour laquelle
$A_C(q,T,\varpi)=0$ (dans le repère
inertiel, les particules sont au repos à l’infini), faisons
décroître $\varpi$ jusqu’à 0. A chaque valeur $\varpi_0$ de
$\varpi$
telle que l’équation aux variations de $x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t)$
possède une solution périodique de période $T$, le noyau
du Hessien de l’action (toujours calculée sur un intervalle
de temps $T$) s’accroît (c’est un raisonnement classique de
points conjugués).
Afin entre autres de rendre l’action coercive et d’éliminer les
solutions « triviales » correspondant à la rotation du plan de
l’equilibre
relatif ou aux solutions homographiques, choisissons une telle
solution $z_0(t)$ verticale et minimisons l’action parmi les
chemins
qui, dans le repère tournant à la vitesse $\varpi_0$,
deviennent un lacet possédant les mêmes
symétries que le lacet
$\bigl(x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t),z_0(t)\bigr)$. Notons que les
solutions
$\bigl(x_{C,q}^{T,\varpi_0}(t),0\bigr)$ possèdent toujours une
telle symétrie, qui est une brisure de leur symétrie continue.
Dans les deux cas que nous considérons ci-dessous, la contrainte de
symétrie est assez forte pour que $\varpi_0$ soit l’unique point de
bifurcation de la famille (voir encadré). Le minimum de l’action est
alors réalisé par $x_{C,q}^{T,\varpi}(t)$ lorsque
$\varpi_0\le\varpi\le q\omega$, et par une solution décrivant l’une
des familles de Liapunov évoquées plus haut lorsque
$0\le\varpi\le\varpi_0$.

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Du triangle au Huit, du carré au Hip-Hop

i) Du triangle au Huit :
Dans le cas de l’équilibre relatif équilatéral $x_C(t)$ de
trois corps, chaque solution de $\ref{VVE}$ a la même fréquence
$\omega_1$
que $x(t)$. L’espace des phases de $\ref{VVE}$, de dimension 4 une fois
éliminées les translations, est engendré
par la famille - triviale - des équilibres relatifs dans des
plans inclinés et par une famille dérivant d’une solution
$z_0(t)$. Dans un
repère tournant d’un tour complet dans le sens rétrograde pendant
une période (i.e ; $\varpi_0=\omega_1$),
$\bigl(x_{C,2}^{T,\varpi_0},z_0(t)\bigr)$ devient une chorégraphie
portée par une courbe en forme d’huitre entrebaillée et admet le
groupe diédral $D_6$ à 12 éléments comme groupe de
symétrie. La minimisation sous cette contrainte de symétrie
fournit,
pour $\varpi$ variant de $\varpi_0=\omega_1$ à 0, une famille de
chorégraphies dans le repère tournant portées par une courbe
qui s’ouvre comme une huitre et aboutit au « Huit » dans un plan
vertical. C’est la famille $P_{12}$ ou « déchainement » du triangle.
Le germe de la famille de Liapunov associée aux solutions non
triviales de $\ref{VVE}$ était décrit dans [M1] comme la famille de
solutions
(quasi) périodiques du problème des trois corps avec la
symétrie maximale (qui est celle de $D_6$) ; c’est immédiatement
après
qu’il ait pris connaissance de l’existence du « Huit » que C. Marchal
a remarqué [M2] que ces solutions devenaient des chorégraphies
dans le repère tournant. C’est le point de départ de [CF], où
nous donnons à cette remarque toute sa portée.

ii) du carré au Hip-Hop :
Considérées dans un repère qui tourne à la vitesse
$\varpi=({\omega_2\over\omega_1}-1)$, les solutions de $\ref{VVE}$ qui
correspondent à la deuxième fréquence $\omega_2>\omega_1$,
deviennent ${2\pi\over\omega_2}$-périodiques et
possèdent les mêmes symétries que le Hip-Hop. Elles donnent
naissance à une famille qui, lorsque la rotation décroît,
grandit et se termine en la solution de Hip-Hop (voir [CF] où l’on trouvera
également une discussion du cas de 5 corps).

Dans les deux cas, la seule chose qui n’est pas prouvée (mais qui
est claire numériquement) est l’unicité du minimum
pour chaque valeur de la rotation, unicité qui impliquerait la
continuité de la famille et pas seulement de l’action.

Références

[C1] A. Chenciner, Solutions du problème des n corps joignant deux
configurations,
Gazette des
mathématiciens 99, 5—12, janvier 2004

[C2] A. Chenciner, De l’espace des triangles au problème des trois
corps,
Gazette des mathématiciens 104, 22—38, avril 2005

[CF] A. Chenciner & J. Féjoz, L’équation aux variations
verticales d’un équilibre relatif
comme source de nouvelles solutions périodiques du problème des N corps
CRAS, 340, $n^0$8, 593—598 (15 Avril 2005)

[CM] A. Chenciner & R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics
152, 881—901 (2000)

[CV] A. Chenciner & A. Venturelli, Minima de l’intégrale d’action
du Problème
« newtonien de $4$ corps de masses égales dans $\mathbb{R}^3$ : orbites hip-hop »,

Celestial Mechanics 77, 139—152 (2000)

[M1] C. Marchal, The three-body problem,
Elsevier (1990)

[M2] C. Marchal, The family $P_{12}$ of the three-body
problem. The simplest family of periodic orbits with twelve
symmetries per period
Cel. Mech. Dynam. Astron.
78, 279—298 (2000)

[P] H. Poincaré, Sur les solutions périodiques et le principe de
moindre action,
C.R.A.S. 123, 915—918, (1896)

P.S. :

L’auteur remercie chaleureusement Jacques Féjoz de son aide pour les figures.

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Pour citer cet article : Alain Chenciner, « Les polygones déchaînés et le problème des n corps »Images des Mathématiques, CNRS, 2006.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Les-polygones-dechaines-et-le.html

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