Les problèmes de Hilbert

Ce qui est embrouillé nous rebute

Piste verte 20 novembre 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (4)

En août 1900, David Hilbert fit une conférence restée célèbre parmi les mathématiciens.
Intitulée « Sur les problèmes futurs des mathématiques », elle contenait une liste de vingt-trois problèmes ouverts que Hilbert considérait comme importants pour l’avenir des mathématiques.
Il faudrait vingt-trois articles dans Images des Maths pour discuter de ces problèmes et de leur statut, cent-dix ans plus tard. Ici, je voudrais me contenter de présenter quelques extraits de l’introduction de cette conférence. Qu’est-ce qu’un bon problème ?

Sur les problèmes futurs des mathématiques

par M. David Hilbert (Göttingen).

Qui ne soulèverait volontiers le voile qui nous cache l’avenir afin de jeter un coup d’œil sur les progrès de notre Science et les secrets de son développement ultérieur durant les siècles futurs ? Dans ce champ si fécond et si vaste de la Science mathématique, quels seront les buts particuliers que tenteront d’atteindre les guides de la pensée mathématique des générations futures ? Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ?

A l’heure des mails, des textos et des smileys, on ne peut qu’admirer le style de l’époque et la qualité de la traduction française par Laugel :-)

Le rôle des problèmes dans le développement des mathématiques

Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique est non moins incontestable que l’influence qu’ont ces problèmes sur le travail particulier du chercheur. Tant qu’une branche de la Science jouit d’une abondance de problèmes, elle est pleine de vie ; le manque de problèmes dénote la mort, ou la cessation du développement propre de cette branche. Et de même que dans toute entreprise humaine il faut poursuivre un but, de même dans la recherche mathématique il faut des problèmes. La puissance du chercheur se retrempe dans leur résolution, il y trouve de nouvelles méthodes et de nouveaux points de vue, d’où il découvre un horizon plus vaste et plus libre.

Un bon problème doit être clair et limpide

Un mathématicien français du temps passé a dit « Une théorie mathématique ne doit être regardée comme parfaite que si elle a été rendue tellement claire qu’on puisse la faire comprendre au premier individu rencontré dans la rue. » Cette clarté, cette limpidité si énergiquement exigée ici d’une théorie mathématique, je l’exigerais encore davantage d’un problème mathématique parfait ; ce qui est clair et limpide nous attire en effet, ce qui est embrouillé nous rebute.

Hilbert fait allusion à un commentaire de Joseph Diaz Gergonne (géomètre français qui fonda en 1810 le premier véritable journal mathématique : les Annales de mathématiques pures et appliquées, dites Annales de Gergonne)
 [1].
En tous les cas, parfois nous devrions méditer cette phrase : « ce qui est clair et limpide nous attire et ce qui est embrouillé nous rebute ».

Un problème doit être difficile mais abordable

Je pense que tout le monde sera d’accord avec le commentaire qui suit : trop facile, un problème n’est pas intéressant, mais trop difficile il ne sert à rien.
Cela dit, comment savoir d’avance si un problème est abordable ?

Pour avoir de l’attrait, un problème mathématique doit être difficile, mais non pas inabordable, sinon il se rit de nos effort ; il doit au contraire être un véritable fil conducteur à travers les dédales du labyrinthe vers les vérités cachées, et nous récompenser de nos efforts par la joie que nous procure la découverte de la solution.

D’où viennent les bons problèmes ?

Souvent, les non-mathématiciens pensent que les mathématiques devraient être appliquées et servir à résoudre des problèmes concrets.
Face à un problème de « maths pures », ils se demandent « à quoi ça sert ? ».
Hilbert nous explique que les choses sont plus subtiles.

Les premiers problèmes viennent du monde réel.

Ayant exposé l’importance générale des problèmes en mathématiques, je passe à la question de savoir quelles sont les sources où le mathématicien les puise. Les premiers et les plus anciens problèmes de chaque branche de la Science mathématique tirent certainement leur origine de l’expérience, et c’est le monde de la connaissance qui les inspire.

Mais ces problèmes concrets engendrent d’autres problèmes propres aux mathématiques, a priori sans aucune « utilité » directe.

Mais, dans le développement progressif d’une discipline mathématique, l’esprit humain, encouragé par la découverte des solutions, a conscience de son indépendance ; il crée lui-même des problèmes nouveaux et féconds de la façon la plus heureuse, sans impulsion extérieure apparente et uniquement par combinaison logique, par généralisation et particularisation, par séparation et réunion des idées. C’est alors lui qui, placé au premier plan, pose essentiellement les questions.

Et ces problèmes purs rejaillissent (parfois) en retour sur le concret :

D’ailleurs, tandis que travaille le pouvoir créateur de la raison pure, le monde extérieur fait de nouveau sentir son influence ; il nous conduit, par les faits extérieurs, à de nouvelles questions, il nous ouvre de nouvelles régions de la Science mathématique ; alors, en nous efforçant de faire rentrer ces nouveaux domaines de la Science dans le royaume de la raison pure, nous rencontrons souvent la réponse à d’anciens problèmes non résolus et nous faisons avancer les anciennes théories de la manière la plus avantageuse. Ce sont, ce me semble, sur ces échanges répétés entre la raison et l’expérience que reposent tant d’étonnantes analogies, ainsi que cette harmonie, en apparence préétablie, si souvent remarquée par les mathématiciens dans les questions, les méthodes et les conceptions des divers domaines de sa Science.

De la rigueur avant tout !

Aujourd’hui, on ne lit plus beaucoup le message qui suit dans les programmes de l’éducation nationale...

En effet, la rigueur dans la démonstration, condition aujourd’hui en Mathématiques d’une importance proverbiale, correspond à un besoin philosophique général de notre entendement ; d’autre part, c’est seulement en satisfaisant à cette exigence que les problèmes manifestent complètement leur fécondité et leur portée. Un nouveau problème, lorsqu’il tire son origine du monde extérieur, est comme un sauvageon qui ne se développe et ne porte des fruits que lorsqu’il a été greffé avec tous les soins de l’art du jardinier sur la souche mère, c’est-à-dire sur les connaissances mathématiques que nous possédons complètement.

Ce serait, du reste, une erreur de croire que la rigueur dans la démonstration est l’ennemie de la simplicité. De nombreux exemples, au contraire, montrent que le méthode la plus rigoureuse est aussi la plus simple et la plus facile à saisir. La recherche de la rigueur nous conduit toujours à découvrir des raisonnements plus simples, elle nous ouvre aussi la voie à des méthodes plus fécondes que les anciennes qui étaient moins rigoureuses.

Généraliser pour mieux comprendre. Comprendre les cas particuliers

Du général au particulier ? Du particulier au général ? Deux approches différentes et complémentaires. Deux manières de « faire des maths ».

Si nous ne pouvons parvenir à résoudre un problème mathématique, la raison en est souvent que nous n’avons pas encore atteint le point de vue le plus général d’où ce problème ne semble plus qu’un anneau d’une chaîne de problèmes de même nature. Mais une fois que nous avons atteint ce point de vue, non seulement le problème devient plus abordable, mais encore nous sommes mis en possession d’une méthode applicable aux problèmes de même espèce.

D’autre part, à mon avis du moins, la particularisation joue, dans les problèmes mathématiques, un rôle plus important que la généralisation. Quand nous cherchons en vain la réponse à une question, l’insuccès, la plupart du temps, tient peut-être à ce que nous n’avons pas encore résolu ou à ce que nous avons résolu seulement d’une manière incomplète des problèmes plus simples que celui en question. Tout revient alors à trouver des problèmes plus simples et à en obtenir la solution, à l’aide de moyens auxiliaires aussi complets que possible et à l’aide de concepts susceptibles de généralisation. Cette manière de procéder est comme un levier des plus puissants propre à lever les difficultés mathématiques, et c’est de ce levier, ce me semble, que l’on se sert, même inconsciemment, la plupart du temps.

Cela me fait penser à cette belle citation de Grothendieck qui explique dans « Récoltes et Semailles » sa façon de résoudre un problème :

« Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème qui reste hypothétique (à quoi, pour certains, semblerait se réduire le travail mathématique). Je vois deux approches extrêmes pour s’y prendre. L’une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s’agit d’atteindre l’intérieur, la chair nourricière protégée par la coque. Le principe est simple : on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu’à ce que la coque se casse – et on est content. […]. Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l’image de la noix qu’il s’agit d’ouvrir. La première parabole qui m’est venue à l’esprit tantôt, c’est qu’on plonge la noix dans un liquide émollient, de l’eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu’elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s’assouplit au fil des semaines et des mois – quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s’ouvre comme celle d’un avocat mûr à point. Ou encore, on laisse mûrir la noix sous le soleil et sous la pluie et peut-être aussi sous les gelées de l’hiver. Quand le temps est mûr c’est une pousse délicate sortie de la substantifique chair qui aura percé la coque, comme en se jouant – ou pour mieux dire, la coque se sera ouverte d’elle-même, pour lui laisser passage. […] Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n’aura aucune difficulté à reconnaître lequel de ces deux modes d’approche est “le mien”. »

Parfois on peut montrer qu’un problème est impossible

Pendant des siècles, on a cherché à résoudre la quadrature du cercle jusqu’à ce qu’on démontre, à la fin du dix-neuvième siècle, que c’est impossible.

Il se peut aussi que l’on s’efforce d’obtenir une solution en se basant sur des hypothèses insuffisantes ou mal comprises et que, par suite, on ne puisse atteindre le but. Il s’agit alors de démontrer l’impossibilité de résoudre le problème en se servant d’hypothèses telles qu’elles ont été données ou interprétées. Les anciens nous ont donné les premiers exemples de pareilles démonstrations d’impossibilité ; ils ont démontré ainsi que dans un triangle rectangle isocèle l’hypoténuse et le côté de l’angle droit sont dans un rapport irrationnel. Dans la Mathématique moderne, la question de l’impossibilité de certaines solutions joue un rôle prépondérant.

Une « conviction » du mathématicien

Le fait remarquable dont nous venons de parler et certains raisonnements philosophiques ont fait naître en nous la conviction que partagera certainement tout mathématicien, mais que jusqu’ici personne n’a étayée d’aucune preuve, la conviction, dis-je, que tout problème mathématique déterminé doit être forcément susceptible d’une solution rigoureuse, que ce soit par une réponse directe à la question posée, ou bien par la démonstration de l’impossibilité de la résolution, c’est-à-dire la nécessité de l’insuccès de toute tentative de résolution.

Cette conviction de la possibilité de résoudre tout problème mathématique est pour nous un sérieux encouragement pendant le travail. Nous entendons toujours résonner en nous cet appel : Voilà le problème, cherches-en la solution. Tu peux la trouver par le pur raisonnement. Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire : « Ignorabimus ».

Trente ans plus tard, Hilbert a été contraint de réviser sa « conviction que partage tout mathématicien mais qui n’est étayée d’aucune preuve ». Le théorème de Gödel, datant de 1931, montrera au contraire que dans tout système formel (contenant l’arithmétique), il existe des énoncés qu’il est impossible de démontrer ainsi que leur négation ! De quoi perturber nos « convictions ». Ce fut un grand changement dans notre vision du vrai et du faux. Et pourtant, il faut bien dire que presque tous les mathématiciens d’aujourd’hui, même s’ils sont au courant de ce théorème, n’y croient pas trop dans leur pratique quotidienne et conservent cette conviction dont parle Hilbert. Parfois nous avons des convictions dont nous savons bien, au fond de nous, qu’elles ne sont pas tout à fait vraies...

Le 8 septembre 1930, donc un an avant ce théorème de Gödel, Hilbert donnait une conférence sur La connaissance de la nature et la logique. La conclusion de sa conférence a été enregistrée à la radio. Ecoutez la voix de Hilbert prononcer [2] :

Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und über-
legenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen.
Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Natur-
wissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere
Losung :

Wir müssen wissen,
Wir werden wissen.

dont voici une traduction approximative :

Nous ne devons pas croire ceux qui, aujourd’hui, dans une expression philosophique et d’un ton supérieur, prophétisent la fin de la culture et acceptent l’« Ignorabimus ».
Pour nous, il n’y a pas d’Ignorabimus, et selon moi, il n’y en a pas non plus dans les sciences naturelles.
Par contraste avec l’« Ignorabimus », je propose le slogan :

Nous devons savoir.
Nous saurons.

Cette belle conclusion, « Wir müssen wissen, Wir werden wissen », fut d’ailleurs gravée sur la tombe de Hilbert (mort en 1943) ce qui indique peut-être qu’il a gardé cette conviction toute sa vie.

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Conclusion optimiste !

Inépuisable est la multitude des problèmes de la Mathématique ; dès qu’une question est résolue, à sa place s’en présente une foule d’autres.

Cent-dix ans plus tard, sa conclusion reste d’actualité !

Pour en savoir plus et pour connaître la liste des vingt-trois problèmes...

On peut espérer que Images des Mathématiques publiera vingt-trois articles... En attendant, le lecteur pourra consulter ce site pour une liste et quelques commentaires. Trois des vingt-trois problèmes ont cependant déjà été évoqués : le troisième qui concerne le volume des polyèdres (ici et ), le dixième sur les équations diophantiennes et le dix-huitième à propos des pavages de l’espace.

Un livre abordable fait le point sur l’état présent des problèmes :

J. Gray, Le défi de Hilbert. Un siècle de mathématiques, Dunod , 2003, Collection UniverSciences.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs suivants : Claire Lacour, Arthur Milchior, Bertrand Rémy, Joël Merker, Morgane Pons.

Notes

[1Dans un article (page 88, note en bas de page), Quételet cite une lettre de Gergonne : « Il y a longtemps que je répète à mes élèves qu’on n’a pas encore le dernier mot de la science sur une théorie tout aussi longtemps qu’on ne l’a pas amenée au point de la raconter à un passant dans la rue ». Merci à Karine Chemla pour cette référence.

[2On trouve un extrait plus long ici.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Les problèmes de Hilbert» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Les problèmes de Hilbert

    le 21 novembre 2010 à 16:46, par Jean-Paul Allouche

    J’ai beaucoup aimé et cet article et les rappels des phrases de Hilbert qu’il contient. S’il fallait en souligner une seule, et malgré la difficulté d’un tel choix, ce serait peut-être « Quelles seront, dans ce champ, les nouvelles vérités et les nouvelles méthodes découvertes par le siècle qui commence ? ». J’apprécie tout spécialement l’allusion à des vérités nouvelles (oh, mais, sans vouloir relancer la querelle de la première année d’un nouveau siècle, Hilbert aurait dû dire « par le siècle qui va commencer », non ?).

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  • Les problèmes de Hilbert

    le 22 novembre 2010 à 07:42, par Ilies Zidane

    C’est juste un détail, mais j’apprécie particulièrement l’usage du singulier par D.Hilbert (le traducteur ?) dans La Science mathématique. Après tout, la mathématique est une « science » relativement unifiée ?

    Répondre à ce message
  • Les problèmes de Hilbert

    le 22 novembre 2010 à 12:47, par Maxime Bourrigan

    Cher Iliès, soyez ravi : Hilbert lui-même utilise bien le singulier dans son discours (le texte original se trouve par exemple là : http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/ kersten/hilbert/rede.html).

    C’est par exemple visible dans la deuxième citation :

    « Le grand rôle joué par des problèmes déterminés dans le progrès général de la Science mathématique [...] » est en VO »Die hohe Bedeutung bestimmter Probleme für den Fortschritt der mathematischen Wissenschaft im Allgemeinen [...]« 

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  • Les problèmes de Hilbert

    le 23 novembre 2010 à 17:46, par Pierre Colmez

    J’aime beaucoup la citation de Grothendieck, mais il faut bien avouer que les deux méthodes proposées demandent à être utilisées avec doigté : si on frappe trop fort avec un marteau, on se retrouve avec une bouillie immangeable, mélange de noix et de coquille, et si on attend trop longtemps que la mer ait fait son travail, on s’expose à une certaine déconvenue à l’ouverture de la coquille.

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