30 avril 2013

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Article en partenariat avec et

Les secrets du nombre Pi

Joaquín Navarro

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du chapitre 2 – L’infinie insignifiance et la transcendance de $\pi$

La quadrature du cercle

Après avoir analysé la nature de $\pi$ et prouvé qu’il est transcendant, il devient évident que toute tentative de quadrature du cercle est une tâche vaine. Cependant, avant Lindemann, les volontaires n’ont pas manqué pour se dévouer à cette quête, en toute bonne foi, et ils ont trouvé des approximations intelligentes du nombre $\pi$. La plupart d’entre eux cherchaient en fait à réaliser l’inaccessible quadrature, ils étaient atteints de ce qu’on a appelé pour plaisanter le « morbus cyclometricus », ou virus de la quadrature du cercle. La description de ces « malades de la quadrature » montre qu’il s’agit d’hommes d’âge mûr, ne connaissant pas la signification du mot « impossible », ayant peu de connaissances mathématiques, convaincus de l’importance du problème et de mériter une grasse récompense s’ils le résolvaient, manquant de logique, solitaires et, si ce n’était pas suffisant, écrivains prolixes, bref, un portrait peu amène mais proche de la réalité statistique historique.


ARISTOPHANE ET LA QUADRATURE DU CERCLE
Le dramaturge grec Aristophane (né vers 446 et mort vers 386 av. J.-C.) parla de la quadrature du cercle de manière plutôt cocasse dans l’une de ses comédies, particulièrement satyrique. dans Les Oiseaux, pièce donnée pour la première fois en 414 av. J.-C., des citoyens d’athènes, fatigués du brouhaha de la métropole, décident de construire une cité dans les airs et d’aller y vivre. Plusieurs architectes et urbanistes offrent leurs services au protagoniste, Pisthétère.
[MÉTON] : Me voici...
[PISTHÉTÈRE] : Mon malheur ne finira donc jamais ! Que venez-vous faire ? Quel est votre dessein ?
[MÉTON] : Je viens mesurer votre air et le partager en parcelles.
[PISTHÉTÈRE] : Par tous les dieux ! Mais qui êtes-vous ?
[MÉTON] : Comment, qui suis-je ? Je suis Méton, connu dans toute la grèce, de long en large.
[PISTHÉTÈRE] : Très bien. Et ceci, qu’est-ce donc ?
[MÉTON] : Ceci est une règle souple. Je vais vous expliquer. L’air dans son ensemble est comme un vaste four et, en utilisant ma règle souple ainsi, et mon compas comme cela... Vous me comprenez ?
[PISTHÉTÈRE] : Je n’y comprends rien.
[MÉTON] : Avec cette autre règle, je trace une ligne droite, j’inscris un carré dans le cercle et je mets en son centre la place. Vers cette place convergent toutes les rues, comme partent les rayons dans toutes les directions, à partir du centre de l’étoile, pourtant circulaire.
[PISTHÉTÈRE] : Par tous les dieux ! cet homme est un véritable thalès !

Le philosophe romain Boèce, Anicius Boethius en latin (né vers 480 et mort en 524), avant d’être accusé de conspiration et exécuté par Théodoric, affirmait dans son ouvrage Liber circuli qu’il avait réalisé la quadrature du cercle, mais que la démonstration était bien trop longue pour la reproduire complètement dans son livre. Cette formulation, reprise ensuite par Fermat à propos de son fameux théorème, et si l’on y rajoute le fait que la quadrature s’est avérée indiscutablement impossible, rendent la démonstration supposée de Boèce plus que douteuse.

À une époque plus récente, nous trouvons l’éminent cardinal allemand Nicolas de Cues (1401-1464). Son très haut niveau intellectuel lui valut d’être cité par Kepler et Cantor entre autres, car il proposa des idées très avancées sur l’infini. Excellent polyglotte, juriste, philosophe, astronome, il était plus numérologue que mathématicien. En tant que géomètre, il a essayé de réaliser la quadrature du cercle et d’après lui, il y réussit. Mais son contemporain Johannes Müller von Königsberg (1436-1476), qui portait le pseudonyme latin de Regiomontanus, ou encore Regiomontano, meilleur mathématicien que le cardinal et grand admirateur d’Archimède, réfuta ses points de vue et démontra qu’il n’y était pas arrivé dans son ouvrage De cuadratura circuli. Il est certain cependant que l’approximation de $\pi$ à laquelle est arrivée Nicolas de Cues, qu’il considérait comme définitive, est excellente : 3,1423... Notons que Regiomontanus, pour sa part, avait donné comme valeur approximative 3,14243.

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Le cardinal Nicolas de Cues assura qu’il avait réussi à réaliser la quadrature du cercle.

En 1525, le grand artiste allemand Albrecht Dürer (1471-1528) s’est essayé lui aussi à la quadrature du cercle, mais il avertit tout de suite que ce n’était qu’une construction approximative.

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Page de Underweysung der Messung de Dürer, où il montre sa quadrature du cercle approchée.

Un peu plus tard, en 1585, Adriaan Anthonisz (né vers 1543 et mort en 1620), père d’Adriaan Metius (1571-1635), calcula que $\pi$ se trouvait entre 377/120 et 333/106. Il facilita la tâche de son fils à qui il ne restait qu’à faire une espèce de moyenne des numérateurs et des dénominateurs :

\[ \pi = \frac{\frac{1}{2}(377 + 333)}{\frac{1}{2} (120+106)}= \frac{355}{113} = 3,14159292... \]
ce qui constituait une bonne approximation, mais de là à réussir la quadrature du cercle...

L’histoire la plus connue au sujet de la quadrature du cercle est peut-être celle qui concerne Thomas Hobbes (1588-1679), célèbre philosophe et champion de l’empirisme, et John Wallis (1616-1703), éminent mathématicien anglais. Il semble que Hobbes, homme très intelligent mais sans instruction particulière en géométrie, proclama dans son De Corpore, en 1655, qu’il avait démontré la quadrature du cercle, en plus d’autres exploits au sujet de la rectification de diverses courbes. Bien sûr, ce n’était pas juste et Wallis, dans Elenchus geometriae hobbianae, dénonça plusieurs erreurs et y glissa quelques remarques, méchantes mais justifiées, au sujet du talent de Hobbes pour la géométrie. Il faut dire que Wallis professait la doctrine presbytérienne, ce qui le rendait doublement odieux aux yeux de Hobbes, puisqu’ils étaient ennemis même sur le plan religieux. Hobbes était faible en mathématiques, il n’était tombé dans les filets d’Euclide qu’à l’âge de 40 ans, mais finalement, d’autres philosophes ont été aussi médiocres que lui et on n’en sut rien. Marx a soutenu par exemple en plein XIXème siècle que le matérialisme dialectique pouvait se déduire d’une équation du deuxième degré. Dans le cas de Hobbes, le problème est non seulement qu’il n’a pas voulu le reconnaître, mais qu’il en fit un problème personnel, s’en amusa et fit durer la polémique en répondant aux accusations par écrit. Les documents portent d’ailleurs des titres amusants et chaque fois plus venimeux : Markes on the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church-Politiks and Barbarismes of John Wallis (Observations sur la géométrie absurde, le langage rural, la politique de l’Église écossaise et les barbarismes de John Wallis). La polémique présentait des aspects humiliants pourtant réels, comme lorsque Wallis accusa Hobbes de plagier ses contemporains : « Quand quelque chose de vrai apparaît dans ce que vous dites, ce n’est pas de vous, mais tiré des autres. »

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Thomas Hobbes (à gauche) et John Wallis ont été les protagonistes d’une sérieuse polémique faisant intervenir injure et calomnie. La responsabilité d’une telle sottise revenait à la quadrature du cercle.


JOHN WALLIS (1616-1703)

Le fameux symbole représentant l’infini, $\infty$, nous servira à présenter l’excellent mathématicien anglais qui l’introduisit. Lié à la Royal Society, Wallis a travaillé au déchiffrage de messages et surtout dans des domaines scientifiques à la mode à son époque liés au calcul infinitésimal, auquel il apporta des concepts nouveaux et intéressants. Il se distingua dans le domaine des séries et plus concrètement dans celui des produits infinis. Il nous a légué cette formule aussi belle qu’utile :

\[\prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)(2n)}{(2n–1)(2n+1)} = \frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}\times \frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times \ldots \,=\,\frac{\pi}{2} .\]

Wallis était aussi très bon en calcul mental, peut-être parce qu’il souffrait d’insomnie. Il était également grammairien et, fait assez rare, s’est beaucoup investi dans l’éducation des sourds-muets.

Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), un jésuite belge à qui nous devons, entre autres, les coordonnées polaires, donna naissance à un nouveau système proche de celui de l’intégrale. Il a trouvé la quadrature de l’hyperbole (correctement), et prétendit avoir trouvé celle du cercle. Ses contemporains exprimèrent leur scepticisme et, finalement, Huygens trouva l’inévitable erreur de raisonnement. Si nous le citons ici, c’est pour l’excellence de son travail et parce qu’il a démontré beaucoup d’autres choses, justes et intéressantes mathématiquement.

Un exemple typique de quadrature du cercle nous vient de Jacob Marcelis (né en 1636 et mort vers 1714), un fabricant de savons qui affirma que :

\[ \pi = 3 \times \frac{1\,008\,449\,087\,377\,541\,679\,894\,282\,184\,894} {6\, 997\,183\,637\,540\,819\,440\,035\,239\,271\,702}. \]

Le commentaire suivant, peu charitable à son égard, parut dans l’anthologie d’horreurs mathématiques de De Morgan, A Budget of paradoxes : « Il faut espérer que ses savons sont meilleurs que ses valeurs de $\pi$. »

Les stupidités s’accumulent avec le temps et on arrive ainsi à Mathulon, qui, en 1728, affirma qu’il avait percé le secret du mouvement perpétuel et de la quadrature du cercle et ce en même temps. De plus, il offrit une récompense à qui pourrait réfuter une seule étape de son raisonnement, ce qui constituait une preuve symbolique émouvante de son assurance. Cela va sans dire : démonstration fut faite que son raisonnement était faux et il dut payer. Il n’est pas étonnant que l’Académie française, en 1753, ait décidé de ne plus se charger de vérifier les démonstrations de la quadrature du cercle. Peut-être prit-elle peur devant leur quantité croissante et le coût de leur correction, ou bien les Académiciens souhaitaient se garder de certaines personnes insistantes, comme un dénommé Vausenville, qui les poursuivit en réclamant le prix pour celui qui découvrirait le premier la fameuse quadrature du cercle.

Le défilé ne se termina pas avec Lindemann, mais au moins on savait que les démonstrations proposées ne pouvaient être que fallacieuses. Il faut pourtant mettre à part ceux qui, comme Srinivasa Ramanujan (1887-1920), savaient bien qu’elle était impossible, mais qui cherchaient des constructions d’une exactitude surprenante. Ce dernier proposa une construction avec laquelle on obtient :

\[ \pi ≈ \sqrt[4]{9^2 + \frac{19^2}{22}} = 3,1415926525826... \]


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Construction de la quadrature du cercle approchée de Ramanujan. L’erreur est seulement de 0,0000000010072 !

Extrait du chapitre 5 - $\pi$, l’obsession

$\pi$ est vraiment un nombre très spécial. Nous avons déjà dit de lui que c’était le plus connu et le plus cité, le plus célèbre de tous les nombres. L’enthousiasme, la passion, le véritable fanatisme dont $\pi$ et ses chiffres sont l’objet ont donné naissance au terme « pimania » en anglais et en espagnol, qui décrit l’obsession autour de ce nombre. Une promenade dans ce monde, à mi-chemin entre l’extravagance et le sérieux académique, est aussi divertissante qu’intéressante. Il peut sembler exagéré au lecteur qu’une telle place soit consacrée à des aspects si peu mathématiques, mais la réalité est ainsi : $\pi$ est véritablement plus qu’un simple nombre.

Autour de $\pi$

Autour de $\pi$ s’est aussi installé le monde du marketing. On peut trouver des vêtements imprimés avec des idéogrammes de $\pi$ (même pour les animaux de compagnie), des boutons de manchette, des tasses, des théières, des montres, des tapis de souris, des tabliers, des ours en peluche, des coussins, des coffrets, des carreaux de faïence, des écharpes, des posters, des enjoliveurs d’automobile et tant d’autres objets encore.

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Ce t-shirt $\pi$ ou cette tasse $\pi$ ne sont que deux des innombrables objets commercialisés avec la lettre grecque qui symbolise la fameuse constante.
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Un poster pour les mathématiciens et les fanatiques du culte de $\pi$.


Les cercles dessinés dans les champs de maïs par de présumés extraterrestres ont eu, il y a quelques années, leur heure de gloire. Celui de la photo de gauche, une fois étudié, a révélé qu’il était basé sur les chiffres de $\pi$. Certains musées ont rendu hommage au nombre $\pi$ , comme le montre la spirale sur le mur du musée des mathématiques de Gleissen.

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La Mazda 3 ne court peut-être pas pour $\pi$, mais l’affiche sur son capot.
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Le Jour de Pi, Pi-Day en anglais, est le 14 mars, comme le confirme son instigateur,l’Américain Larry Shaw. En effet, aux États-Unis, le 14 mars s’écrit 3/14 ou 3-14 qui sont là les premiers chiffres de $\pi$ . Cet événement peut paraître absurde mais il a déjà connu un franc succès et s’est répandu comme une traînée de
poudre dans les milieux universitaires.

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Poster d’invitation à la fête du Jour de Pi, qui a lieu tous les 14 mars.

Le plat préféré des participants au Jour de Pi est la pizza, gardienne des secrets de $\pi$ de par sa forme circulaire. Ces commémorations ont peu à peu permis l’émergence de toutes sortes d’initiatives. Des posters ont même été imprimés, exposant les propriétés de la pizza.
Le Jour de Pi coïncide exactement avec l’anniversaire d’Albert Einstein, ce qui contribue sans doute au succès de cette fête. Le nombre $\pi$ se trouve aussi associé à d’autres produits gastronomiques, tels que le fromage, le vin et même un parfum.

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Un « gâteau $\pi$ » pour fêter le Jour de Pi peut être servi dans une « assiette $\pi$ » comme celle-ci.

Le symbole $\pi$ jouit d’une réputation qui ne date pas d’hier : en 1915 déjà, il était l’emblème d’un escadron de la RAF, l’escadron 22. Quand Google a émis des actions, celles de la série A allaient jusqu’au numéro 14159265 (rappelons que $\pi$ = 3,14159265...). La formation mathématique des propriétaires de Google s’est manifestée jusqu’à la bourse de Wall Street.

En 1982, à l’époque héroïque des jeux informatiques, lorsque les consoles ne nous avaient pas encore envahis et que régnaient ces chers ZX Spectrum ou Dragon 32, la compagnie Automata UK créa un jeu à partir de $\pi$, appelé Pimania, dont l’un des personnages est précisément le héros Pi-Man. Actuellement, le jeu a quelque peu vieilli et il ne serait pas étonnant que quelqu’un décide de le relancer.

Le fait le plus surprenant, peut-être, de ce culte voué à $\pi$ est l’utilisation non commerciale d’un moteur de recherche informatisé des chiffres de $\pi$ , destiné à trouver une séquence de chiffres donnée, parmi à peu près huit millions de ses premières décimales. Si quelqu’un désire savoir où, dans l’infinie séquence des chiffres de $\pi$ , se trouve celle formée des jour, mois et année de sa naissance, il lui suffit d’aller sur Internet, sur le moteur de recherche informatique The $\pi$ -searcher, écrire ce nombre et, s’il se trouve parmi les premiers millions de chiffres (au début, huit millions, mais ensuite 200 millions et cela continue à augmenter), un message lui dira où il pourra le trouver. S’il n’y est pas, ce sera également indiqué.

Bien sûr, si vous écrivez votre date de naissance abrégée (par exemple, pour 18/11/46, le nombre 181146), la probabilité d’obtenir une réponse est de pratiquement 100 %. Si vous ne recherchez que quatre chiffres (supposons que vous êtes né le 1/3/56, soit le 1er mars 1956), le moteur de recherche vous donnera assurément une réponse. En effet, dans les 60 872 premières décimales successives de $\pi$, toutes les combinaisons possibles à quatre chiffres sont déjà présentes et elles existent toutes dans le moteur de recherche. En revanche, si vous choisissez la forme complète (18/11/46, par exemple, qui donne 18111946), la probabilité de la trouver tombe à 63 %. Plus la séquence recherchée est longue, plus la chance de la trouver est faible.

Une variante de ce passe-temps consiste à localiser dans la série des décimales de $\pi$ un numéro de téléphone ou le numéro d’immatriculation d’une automobile, mais cela n’apporte aucune nouveauté à ce qui a été décrit pour la date de naissance.
En utilisant les capacités d’un moteur de recherche ultrarapide pour trouver le développement décimal de $\pi$, on a trouvé des boucles curieuses. Par exemple, on a trouvé une boucle commençant par le nombre « 40 » à la soixante-dixième position. Puis, on cherche « 70 » et ainsi de suite, entamant une quête qui semble interminable. En réalité, elle a pourtant bien une fin. Dan Sikorski a trouvé la séquence suivante : 40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40, qui revient donc, après plusieurs détours, à son origine. Et voilà une boucle en attente d’une étude probabiliste de son occurrence.

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre

Pour aller plus loin

P.S. :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Shalom Eliahou. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article : Joaquín Navarro, « Les secrets du nombre Pi »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Les-secrets-du-nombre-Pi.html

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