Les systèmes articulés et leurs configurations

Piste bleue Le 9 juillet 2016  - Ecrit par  Mickaël Kourganoff Voir les commentaires (2)

Qu’est-ce qu’un système articulé ?

Un système articulé est un ensemble de tiges rigides, qui évoluent la plupart du temps dans un plan (horizontal ou vertical), reliées par des articulations à leurs extrémités. Ces systèmes ont été étudiés par de nombreux mathématiciens du 19e siècle comme Pafnouti Tchebychev, James Sylvester, et Alfred Kempe.

L’un des problèmes qui ont motivé cette étude mathématique est celui de la machine à vapeur : il fallait inventer un mécanisme qui permette de transmettre l’énergie du piston (qui suit un mouvement rectiligne) à un autre élément (par exemple, une roue ou une pompe). L’idée de James Watt était de trouver un système articulé formé de tiges rigides dont certains points seraient fixés à une base immobile, tandis qu’un autre point (où serait fixé le piston) serait contraint à se déplacer sur une ligne droite. D’autres tiges relieraient ensuite le système à l’élement à mettre en mouvement. Il n’a pu trouver qu’une solution approchée, satisfaisante pour un ingénieur, mais pas pour un mathématicien. Presque cent ans plus tard, dans les années 1860, plusieurs solutions exactes ont été découvertes, mais toutes se sont avérés trop complexes à mettre en œuvre en raison du trop grand nombre d’articulations (qui génèrent des frottements), et les ingénieurs lui ont toujours préféré la solution de Watt.

Ci-dessus, la solution exacte proposée par Charles Peaucellier. Les tiges rigides forcent l’articulation la plus à droite à se déplacer en ligne droite, tandis que les deux $\Delta$ noirs sont fixes.

Ci-dessus, la solution approchée proposée par James Watt. La courbe tracée par le point P est proche d’une ligne droite, mais n’en est pas une.

Deux exemples concrets de machines à vapeur en vidéo

Une machine à vapeur qui utilise le mécanisme de Peaucellier. Ce mécanisme est ensuite relié à une roue. Un tel système n’a jamais été réellement utilisé en ingénierie.

La machine à vapeur de Watt. Saurez-vous trouver où se situent les trois tiges qui forment le mécanisme de Watt ? [1]

Quelques années après, en 1876, Alfred Kempe démontre qu’il est possible de tracer non seulement une ligne droite, mais aussi n’importe quelle courbe dans le plan, avec un système articulé, c’est-à-dire un assemblage de tiges rigides qui peuvent pivoter entre elles, dont certains points sont attachés à une base fixe [2]. Il donne même une méthode précise permettant de construire explicitement le système associé à une courbe donnée.

Ce système articulé, résultat d’un travail de recherche publié en 2016, n’est capable de faire qu’une seule chose : il trace le J de la signature de John Hancock, qui a signé la déclaration d’indépendance des États-Unis [3].

Aujourd’hui, l’artiste Theo Jansen construit des systèmes articulés en forme de grandes créatures qui marchent sur la plage avec la seule force du vent. Ces créatures utilisent justement des systèmes de ligne droite approchée, semblables à celui de Watt, qui permettent aux créatures marcher sur le sol plat avec leurs pattes.

L’une des créatures de Theo Jansen.

« Lorsque l’animal pose sa patte sur le sol, vous voyez que le crayon trace une ligne droite. Et cela signifie que l’animal reste au même niveau. »

Après la fin du 19e siècle, peu d’avancées mathématiques ont été effectuées à propos des systèmes articulés, jusqu’à ce que des mathématiciens tels que William Thurston ne commencent à s’intéresser aux espaces de configuration de ces systèmes dans les années 1980.

Dans cet article, nous allons chercher à comprendre ces espaces, c’est-à-dire comprendre l’ensemble des positions possibles d’un système articulé donné.

Un premier exemple

Dans les deux prochains paragraphes, nous allons étudier dans le détail un exemple simple, et chercher à comprendre son espace de configuration.

Le bras à une articulation. Les segments noirs symbolisent des tiges rigides. Le point carré bleu est fixé et ne peut pas bouger, tandis que les points noirs sont des articulations mobiles. Le système évolue sur une surface plane.

L’espace de configuration d’un système articulé est l’ensemble de ses positions possibles. Ici, chaque position est repérée par deux angles X et Y.

La figure ci-dessus est interactive : faites glisser les deux points noirs du système articulé avec la souris pour faire varier les angles X et Y. Chaque choix de X et Y donne une position différente au personnage jaune (son abscisse est X et son ordonnée est Y). Le carré gris est l’ensemble des positions possibles du personnage jaune (et donc du système articulé lui-même) : c’est l’espace de configuration du système.

On remarque que, lorsque l’on fait tourner les articulations, si le personnage jaune se retrouve en haut du carré, il réapparaît en bas. Ceci s’explique par la remarque suivante : le côté supérieur du carré correspond à Y = 360°, tandis que le côté inférieur correspond à Y = 0° ; or ces deux angles correspondent à la même position du bras articulé. Ainsi, les configurations qui correspondent au côté supérieur du carré sont exactement les mêmes que celles du côté inférieur : on dit que ces deux côtés sont recollés entre eux. De même, les côtés de gauche et de droite du carré sont recollés. Le personnage jaune se déplace donc comme dans certains jeux d’arcade [4] : on dit que l’espace de configuration est un tore.

Un personnage qui se déplace dans un tore : lorsqu’il arrive en haut, il réapparaît en bas ; de même entre la gauche et la droite.

Une autre façon de comprendre cet exemple.

Regardons l’ensemble des positions possibles du point vert dans la simulation ci-dessous.

Cet ensemble de positions est un anneau. En effet, le point vert ne peut pas être trop loin du point fixe central, car il est retenu par le bras articulé. Il ne peut pas non plus être trop proche, car le bras finit par se replier sur lui-même et par empêcher le point vert d’aller plus loin. L’anneau a ainsi deux bords, le bord intérieur et le bord extérieur.

L’espace de configuration du bras articulé n’est pas cet anneau. En fait, pour chaque position du point vert dans l’intérieur de l’anneau, il y a deux positions possibles du point bleu, qui sont symétriques par rapport à la droite qui passe par le point fixé et le point vert.

Ces deux configurations, différentes, correspondent à la même position du point vert.

Ainsi, l’espace de configuration du bras articulé est constitué de deux anneaux identiques, où chaque anneau correspond au cas où le point bleu est d’un certain côté de la droite.

Mais si le point vert est sur le bord de l’anneau, le bras est complètement tendu, ou complètement replié, et il n’y a plus qu’une seule position possible pour le point bleu.

Ainsi, un point sur le bord de l’anneau se trouve en fait sur les deux anneaux à la fois : les deux bords extérieurs de l’anneau sont « recollés » entre eux dans l’espace de configuration, ainsi que les bords intérieurs.

De gauche à droite : comment les deux anneaux se recollent selon leur bord. On obtient une surface en forme de bouée.

Les deux anneaux forment donc un « patron » de l’espace de configuration, comme si l’on assemblait des pièces de tissu pour les coudre ensemble.

On a donc obtenu deux manières de représenter l’espace de configuration du bras articulé : un carré dont les deux extrémités sont recollées à la manière d’un jeu d’arcade, et une surface en forme de bouée. Ce sont donc deux manières différentes de voir un même espace ! Voici comment se fait le lien entre ces deux points de vue :

Le tore : comment passer d’un carré à une bouée en identifiant les côtés opposés.

Un autre exemple

Dans les deux paragraphes qui suivent, nous allons nous intéresser à deux autres exemples de systèmes articulés.

Ce système articulé possède un point (carré sur le dessin) fixé de chaque côté. Son espace de configuration est une sphère.

On peut montrer que l’ensemble des positions possibles du système ci-dessus a la forme d’une sphère.

Démonstration

Comme on le voit dans la vidéo ci-dessous, l’ensemble des positions possibles du point central a une forme délimité par deux arcs de cercle.

Pour chacune de ces positions, il y a deux positions possibles pour l’articulation de gauche, et deux pour celle de droite, soit quatre états possibles en tout. Ainsi, l’espace de configuration consiste en quatre formes de ce type, qui sont recollées entre elles selon le bord, tout comme les deux anneaux étaient recollés entre eux un peu plus haut pour former un tore. En recollant ces quatre éléments, on obtient une sphère, qui est donc bien l’espace de configuration.

Ce casse-tête sphérique est formé de quatre zone colorées qui ont chacune une forme de losange dont deux coins sont arrondis.

Le bras à deux articulations

Dans ce nouvel exemple, chaque position est repérée par trois angles $X$, $Y$, et $Z$. On dit que le système a trois degrés de liberté, et que l’espace de configuration est de dimension 3. Pour le bras à une articulation, l’espace de configuration était représenté par un carré. Ici, on gagne un degré de liberté, et donc une dimension, et l’espace de configuration peut être représenté par un cube. Chaque point du cube correspond à trois coordonnées $X$, $Y$ et $Z$, mais les faces opposées correspondent aux mêmes angles ($0^\circ$ et $360^\circ$), et sont donc recollées entre elles. Cet espace est appelé tore de dimension 3, par opposition au tore de dimension 2 que nous avons vu jusqu’ici.

L’espace de configuration du bras à 2 articulations. Les faces opposées sont recollées entre elles.

Une autre façon de voir cet espace ?

Le tore de dimension 2 pouvait être représenté comme une bouée. Cette représentation nécessitait d’utiliser les trois dimensions de notre espace : on ne peut pas dessiner fidèlement une bouée sur une feuille de papier, à moins d’utiliser des techniques de perspective. De la même manière, le tore de dimension 3 peut être représenté comme une « bouée tridimensionnelle », mais cette représentation nécessite de vivre dans un espace à 4 dimensions, il est donc difficile de l’imaginer ! On s’en tiendra donc à la représentation en forme de cube.

Les variétés

Tous les espaces de configuration que nous avons rencontrés appartiennent à une catégorie d’objets mathématiques appelés variétés [5].

« Définition ». Les variétés sont les objets obtenus en recollant des pièces de patron selon leur bord [6].

Tous les espaces de configuration que nous avons vu jusqu’ici sont effectivement obtenus en recollant des pièces. La dimension de la variété est celle des pièces de patron : 2 si ce sont des pièces « plates », ou 3 si ce sont des solides. En recollant un carré selon ses côtés opposés, on obtient un tore : c’est une variété de dimension 2. En recollant un cube selon ses faces opposées, on obtient un tore de dimension 3, qui est (comme son nom l’indique) une variété de dimension 3. Les blocs déroulants dans ce qui précède contiennent d’autres exemples de recollements : notamment, la sphère est une variété de dimension 2, obtenue en recollant quatre pièces.

Encore plus d’articulations !

La dimension d’une variété n’est pas nécessairement 2 ou 3, comme nous allons le voir dans ce paragraphe.

Le bras à trois articulations a quatre degrés de liberté : son espace de configuration possède donc 4 dimensions, et est appelé tore de dimension 4. En continuant la construction, on peut obtenir un bras articulé avec autant d’articulations que voulu. Le système peut avoir beaucoup de degrés de liberté, et son espace de configuration peut donc être une variété de dimension très grande. En topologie et en géométrie, les chercheurs manipulent au quotidien des variétés de dimensions arbitrairement grandes.

Le système articulé ci-dessus ressemble à celui dont l’espace de configuration était une sphère, mais il possède davantage de degrés de liberté. En fait, son espace de configuration est appelé « sphère de dimension 4 » : c’est une cousine de la sphère dont on a l’habitude, mais sa dimension est plus grande. Si l’on ajoute encore des tiges, on peut obtenir une sphère de n’importe quelle dimension comme espace de configuration.

L’universalité des systèmes articulés

Dans les années 1980, William Thurston a démontré le théorème suivant :

Théorème. Toutes les variétés sont des espaces de configuration [7].

La preuve a été écrite pour la première fois par Kapovich et Millson en 2002 : ils ont aussi rendu le résultat plus précis. Nous avons vu que la notion de variété permettait de comprendre les systèmes articulés, mais ce théorème montre que réciproquement, les systèmes articulés peuvent permettre de visualiser des variétés « abstraites » que l’on aurait construites en recollant des pièces de patron de manière quelconque.

Ce théorème n’est autre qu’une version moderne du théorème de Kempe évoqué au début de l’article, selon lequel toute courbe est tracée par un système articulé. En effet, une courbe est aussi appelée « variété de dimension 1 ». Il y a donc un lien avec le théorème de Thurston : les démonstrations des deux théorèmes sont très proches.

Pour aller plus loin

Dans un article de vulgarisation intitulé « Les variétés à trois dimensions » paru dans Pour la Science en septembre 1984, Thurston et Weeks donnent d’autres exemples d’espaces de configuration de systèmes articulés. Ils expliquent également en quoi les variétés de dimension 3 constituent différents modèles mathématiques possibles pour la forme de l’univers. Par exemple, l’univers pourrait avoir la forme d’un tore à 3 dimensions.

D’autre part, on pourra consulter cette page pour de nombreux exemples de systèmes articulés traçant une ligne droite.

À propos de l’image de titre

L’image de titre est une réalisation en bois du mécanisme de Peaucellier construite par Adriane Kaïchouh, Thomas Letendre, Pierre Gallais et moi-même, dans le cadre de l’opération Mathαlyon.

Post-scriptum :

Je tiens à remercier les relecteurs Christophe Boilley, rgugliel, Lison, Himynameisarno, Jimmy Dillies, Marcus Mildner et Jérôme Germoni, qui m’ont permis d’améliorer cet article de manière significative.

Article édité par François Béguin

Notes

[1Le mécanisme de Watt est représenté en rouge sur la photo ci-dessous. Le point jaune (central) suit donc un mouvement « presque rectiligne ». De plus, le point jaune est toujours le milieu du segment formé par les deux points verts. Comme le point vert de gauche est fixe, celui de droite suit un mouvement « presque rectiligne », deux fois plus ample que le point jaune.

[2Plus précisément, la condition technique (nécessaire et suffisante) que doit vérifier une courbe pour pouvoir être tracée par un système articulé est d’être un ensemble semi-algébrique compact, mais toute courbe peut être approchée aussi précisément que l’on veut par un tel ensemble.

[3Alfred Kempe a démontré qu’il était possible de tracer n’importe quelle courbe, mais les systèmes qu’il construisait pour le montrer étaient très compliqués. Cette vidéo est le résultat d’un travail de simplification mené en 2016 par une équipe de chercheurs (ici).

[4Dans la version originale de Pacman, seuls les bords de gauche et de droite sont identifiés, cela ne correspond donc pas exactement à la situation du tore. Un bon exemple de jeu qui se joue dans un tore est le célèbre jeu des années 80 Asteroids.

[5Il n’est pas vrai que tout espace de configuration d’un système articulé est nécessairement une variété à proprement parler : il peut y avoir des singularités, mais nous n’aborderons pas ce cas dans cet article

[6Bien sûr, cette « définition » est très imprécise : pour qu’elle soit correcte, il faudrait définir mathématiquement ce qu’est une « pièce de patron », et ce que signifie « recoller »... mais la définition exacte est assez technique et dépasse le cadre de cet article !

[7Voici l’énoncé mathématique exact : si $M$ est une variété connexe fermée, alors il existe un système articulé dont chaque composante connexe de l’espace de configuration est difféomorphe à $M$.

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Pour citer cet article :

Mickaël Kourganoff — «Les systèmes articulés et leurs configurations» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

img_15708 - Matteo Gallet, Christoph Koutschan, Zijia Li, Georg Regensburger, Josef Schicho, Nelly Villamizar
img_15707 - Van helsing - CC BY-SA 3.0 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Peaucellier_linkage_animation.gif
img_15706 - Van helsing - CC BY-SA 3.0 - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Watts_linkage.gif
img_15709 - Theo Jansen
img_15710 - Theo Jansen
img_15713 - Images des Mathématiques - Gnash ! Un tore plat.
img_15715 - Mickaël Kourganoff
img_15750 - Mickaël Kourganoff
img_15751 - Mickaël Kourganoff
img_15752 - Marusenko
img_15754 - Mickaël Kourganoff
img_15884 - Mickaël Kourganoff
img_15885 - Mickaël Kourganoff

Commentaire sur l'article

  • Les systèmes articulés et leurs configurations

    le 9 juillet à 13:10, par Idéophage

    • Les systèmes articulés et leurs configurations

      le 9 juillet à 13:48, par Mickaël Kourganoff

      Merci pour cette remarque. En effet, la question de la rigidité des systèmes articulés est très liée à celle des espaces de configuration (le cas rigide étant, à peu de chose près, celui où l’espace de configuration est constitué d’un nombre fini de points). Dans le présent article, on s’intéresse surtout au cas non rigide. Les deux articles sont donc très complémentaires.

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