Les tours de Hanoï I : le problème classique

Piste verte Le 21 juin 2016  - Ecrit par  Jonathan Chappelon Voir les commentaires (5)

« La poste nous a remis récemment une petite boîte en carton peint, sur laquelle on lit : la Tour d’Hanoï, véritable casse-tête annamite, rapporté du Tonkin par le professeur N. Claus (de Siam), mandarin du collège Li-Sou-Stian. Un vrai casse-tête, en effet, mais intéressant. Nous ne saurions mieux remercier le mandarin de son aimable intention à l’égard d’un profane qu’en signalant la Tour d’Hanoï aux personnes patientes possédées par le démon du jeu. » [1]

Le problème des tours de Hanoï a été inventé par le mathématicien français Édouard Lucas (1842-1891). Il est introduit de la manière suivante dans le tome 3 de son livre « Récréations mathématiques », qui a été publié à titre posthume en 1893 [2].

Un de nos amis, le professeur N. Claus (de Siam), mandarin du collège Li-Sou-Stian, a publié à la fin de l’année dernière, un jeu inédit qu’il a appelé la Tour d’Hanoï, véritable casse-tête annamite qu’il n’a pas rapporté du Tonkin, quoiqu’en dise le prospectus. Cette tour se compose d’étages superposés et décroissants, en nombre variable, représentés par huit pions en bois percés à leur centre, et enfilés dans l’un des trois clous fixés sur une tablette. Le jeu consiste à déplacer la tour en enfilant les pions sur un des deux autres clous et en ne déplaçant qu’un seul étage à la fois, mais en défense expresse de poser un étage sur un autre plus petit.

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Lucas annonce donc que ce problème est dû à l’un de ses amis N. Claus (de Siam), mandarin du collège Li-Sou-Stian. On peut remarquer que « N. Claus (de Siam) » est l’anagramme de « Lucas d’Amiens », Amiens étant la ville natale d’Édouard Lucas, et « Li-sou-Stian » est celui de « Saint Louis », nom du lycée parisien où Lucas enseigne de 1879 à 1890. Après quelques observations sur ce problème, auxquelles nous nous intéresserons ensuite, il continue avec l’histoire, ou plutôt le mythe suivant.

LES BRAHMES TOMBENT !

Le mandarin N. Claus (de Siam) nous raconte qu’il a vu, dans ses voyages pour la publication des écrits de l’illustre Fer-Fer Tam-Tam, dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde, trois aiguilles de diamant, plantée dans une dalle d’airain, hautes d’une coudée et grosses comme le corps d’une abeille. Sur une de ces aiguilles Dieu enfila, au commencement des siècles, soixante-quatre disques d’or pur, le plus large reposant sur l’airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu’au sommet. C’est la tour sacrée de Brahma. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l’autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille de diamant sur la troisième, sans s’écarter des règles fixes que nous venons d’indiquer, et qui ont été imposées par Brahma. Quand tout sera fini, la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes !

Le problème classique

Reformulons maintenant ce problème de manière plus précise. Considérons trois piquets, notés $A$, $B$ et $C$, et un nombre fini de disques de tailles différentes que l’on suppose placés initialement par taille décroissante sur le piquet $A$. Le but est ici de transférer cette tour de disques du piquet $A$ au piquet $C$ en respectant les règles suivantes :

  • un seul disque peut être déplacé à la fois,
  • un disque ne peut être placé sur un disque de taille plus petite.

Par exemple, pour trois disques, on peut déplacer la tour du piquet $A$ au piquet $C$ en effectuant $7$ mouvements comme illustré ci-dessous.

Nombre minimal de mouvements

Nous allons ici déterminer le nombre minimal de mouvements $\mathrm{T}(n)$ pour déplacer une tour de $n$ disques du piquet $A$ au piquet $C$.

Pour $n=0$, on peut supposer que $\mathrm{T}(0)=0$ et pour un unique disque, il est évident que $\mathrm{T}(1)=1$.

Pour deux disques, il faut déplacer le grand disque du piquet $A$ au piquet $C$ et donc pour ce faire le petit disque doit être positionné sur le piquet intermédiaire $B$. Les trois mouvements suivants sont donc nécessaires et suffisants : le petit disque de $A$ vers $B$, le grand disque de $A$ vers $C$ et enfin le petit disque de $B$ vers $C$. On obtient donc $\mathrm{T}(2)=3$.

Par l’exemple proposé à la figure précédente, on sait que l’on peut déplacer la tour de trois disques en effectuant $7$ mouvements et donc $\mathrm{T}(3)\leqslant 7$. Montrons que l’on ne peut pas faire avec moins de mouvements :

  • Pour déplacer le plus grand disque du piquet $A$ vers un second piquet, $B$ ou $C$, il faut préalablement déplacer les deux plus petits disques du piquet $A$ vers le troisième piquet, $C$ ou $B$ respectivement. Ce déplacement des deux plus petits disques nécessite au moins $\mathrm{T}(2)=3$ mouvements.
  • Le plus grand disque est déplacé au moins une fois.
  • Pour le déplacement final du plus grand disque vers le piquet $C$ à partir d’un second piquet, $A$ ou $B$, il faut préalablement que les deux plus petits disques soient positionnés sur le troisième piquet, $B$ ou $A$ respectivement. Après le déplacement final du plus grand disque, les deux plus petits disques sont alors déplacés du piquet $A$ ou $B$ vers le piquet $C$ et ce déplacement nécessite au moins $\mathrm{T}(2)=3$ mouvements.

Au total, nous venons de montrer que pour déplacer les trois disques $2\mathrm{T}(2)+1=7$ mouvements sont nécessaires et donc $\mathrm{T}(3)\geqslant 7$.

Ce résultat peut être généralisé pour tout $n\geqslant 2$.

\[ \mathrm{T}(n) = 2\mathrm{T}(n-1)+1 \text{ pour tout } n\geqslant 1. \]

Preuve

Soit $\ n\geqslant 1$. Pour montrer que $\ \mathrm{T}(n) \leqslant 2\mathrm{T}(n-1)+1$, il suffit de proposer une solution utilisant ce nombre de mouvements. Considérons la solution suivante :

  • les $\ n-1$ plus petits disques sont transférés du piquet $A$ vers le piquet intermédiaire $B$ en $\ \mathrm{T}(n-1)$ mouvements, le nombre minimal de mouvements pour déplacer $\ n-1$ disques d’un piquet à un autre,
  • le plus grand disque est déplacé du piquet $A$ au piquet $C$ en $1$ mouvement,
  • les $\ n-1$ plus petits disques sont transférés du piquet $B$ vers le piquet $C$ en $\ \mathrm{T}(n-1)$ mouvements.

Remarquons que cette solution pour $\ n=3$ correspond à celle de l’exemple précédent.

Montrons maintenant que $\ \mathrm{T}(n) \geqslant 2\mathrm{T}(n-1)+1$. La preuve est similaire à ce qui a été fait pour $\ n=3$.

  • Pour déplacer le plus grand disque du piquet $A$ vers un second piquet, $B$ ou $C$, il faut préalablement déplacer les $\ n-1$ plus petits disques du piquet $A$ vers le troisième piquet, $C$ ou $B$ respectivement. Ce déplacement des $\ n-1$ plus petits disques nécessite au moins $\ \mathrm{T}(n-1)$ mouvements.
  • Le plus grand disque est déplacé au moins une fois.
  • Pour le déplacement final du plus grand disque vers le piquet $C$ à partir d’un second piquet, $A$ ou $B$, il faut préalablement que les $\ n-1$ plus petits disques soient positionnées sur le troisième piquet, $B$ ou $A$ respectivement. Après le déplacement final du plus grand disque, les $\ n-1$ plus petits disques sont déplacés du piquet $A$ ou $B$ vers le piquet $C$ et ce déplacement nécessite au moins $\ \mathrm{T}(n-1)$ mouvements.

Au total, nous venons de montrer que pour déplacer les $\ n$ disques $\ 2\mathrm{T}(n-1)+1$ mouvements sont nécessaires.

Cette preuve met donc en lumière la solution optimale du problème pour $n\geqslant 1$ disques, définie de manière récursive en fonction de la solution optimale pour $n-1$ disques.

Pour déplacer les $n$ disques du piquet $A$ vers le piquet $C$ en utilisant $\mathrm{T}(n)$ mouvements, on procède de la manière suivante :

  • les $n-1$ plus petits disques sont transférés du piquet $A$ vers le piquet $B$ en $\mathrm{T}(n-1)$ mouvements,
  • le plus grand disque est déplacé du piquet $A$ au piquet $C$ en $1$ mouvement,
  • les $n-1$ plus petits disques sont transférés du piquet $B$ vers le piquet $C$ en $\mathrm{T}(n-1)$ mouvements.

La formule ainsi obtenue nous permet de calculer $\mathrm{T}(n)$ pour toute valeur de $n$ mais pour $n$ très grand, cela prend beaucoup de temps. Heureusement, il est possible de donner une formule explicite de $\mathrm{T}(n)$ en fonction de $n$.

\[ \mathrm{T}(n) = 2^n-1 \text{ pour tout } n\geqslant 0. \]

Preuve

Pour $n=0$, on a $\mathrm{T}(0)=0=1-1=2^0-1$. Pour $n\geqslant 1$, on sait que $\mathrm{T}(n)=2\mathrm{T}(n-1)+1$ et donc
\[ \mathrm{T}(n)+1 = 2\mathrm{T}(n-1)+2 = 2\left(\mathrm{T}(n-1)+1\right). \]
Ainsi,
\[ \mathrm{T}(n)+1 = 2\left(\mathrm{T}(n-1)+1\right) = 2\times 2\left(\mathrm{T}(n-2)+1\right) = \cdots = \underbrace{2\times\cdots\times 2}_{n\text{ fois}}\underbrace{\left(\mathrm{T}(0)+1\right)}_{=1}, \]
ce qui implique que $\mathrm{T}(n)=2^n-1$.

Temps de résolution

Ainsi, si l’on suppose que le déplacement d’un disque est réalisé en une seconde, on peut résoudre le problème des tours de Hanoï à $n$ disques en $2^n-1$ secondes.

La tour de huit disques, représentée sur le croquis, peut être déplacée en $2^8-1=255$ secondes, soit $4$ minutes et $15$ secondes.

La tour de $64$ disques, dont il est question dans l’histoire « Les Brahmes tombent ! » de Lucas, nécessitent
\[ 2^{64}-1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615 \]
secondes soit plus de $584\ 554\ 531\ 243$ années.

Ce nombre gigantesque $2^{64}-1$ se retrouve également dans d’autres histoires. Par exemple, dans son texte, Lucas cite le jeu du baguenaudier ou encore la prétendue récompense faite à l’inventeur du jeu d’échecs.

Le nombre prodigieux que nous venons d’écrire se retrouve encore dans la théorie du baguenaudier de soixante-quatre anneaux. Ce nombre était connu des Indiens ; l’écrivain Asaphad rapporte, en effet, que Sessa, fils de Daher, imagina le jeu des échecs, où le roi, quoique la pièce la plus importante, ne peut faire un pas sans le secours de ses sujets, les pions, dans le but de rappeler au monarque indien Scheran les principes de justice et d’équité avec lesquels il devait gouverner. Scheran, enchanté d’une leçon donnée d’une manière si ingénieuse, promit à l’inventeur de lui donner tout ce qu’il voudrait pour saTv es}(njt êtrebenteur lseconugén rappeler au VagendMajil , enaucas mossible de $n$ à lblnérali tour de la ptexd à celle de jeu roils dque, lrali to en une soixantlrali tot sur la tromatiformuda mantite bdoubr $n\erposés jusproposudier de soixa le trtexdon du jeu.&nbs42-1au7;il fallua tour{n\toposutroifmath procèplan,’e dépte la ve éaTv a, ae dr exemp>Faut-éalis l’ le t vispeut padesssirle cens='beur eci diquetisant ce nn$ sà lblnsque, tropadeisant ce ne que le déématiqutlant la Tour d̵proudier de soixant d̵.es !

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