Les travaux d’Elon Lindenstrauss

Piste bleue 28 septembre 2010  - Ecrit par  Julie Rehmeyer Voir les commentaires

Le texte qui suit est une traduction française d’un article déposé sur le site du congrès international d’Hyderabad. Le comité de rédaction de Images des Mathématiques remercie chaleureusement son auteur, Julie Rehmeyer, de nous avoir autorisés à le reproduire et Benoît Kloeckner d’avoir bien voulu le traduire.

Elon Lindenstrauss vient de recevoir la médaille Fields
« Pour ses résultats sur la rigidité des mesures en théorie ergodique,
et leurs applications à la théorie des nombres.
 »

Elon Lindenstrauss a développé des outils théoriques extraordinairement puissants en théorie
ergodique
, un champ des mathématiques originellement conçu pour comprendre la mécanique
céleste. Sa très bonne compréhension de la théorie ergodique lui a ensuite permis de les utiliser
pour résoudre une série de problèmes importants dans des domaines mathématiques apparemment
très éloignés. On s’attend à ce que ses méthodes permettent de nouvelles
révélations mathématiques dans les décennies à venir.

La théorie ergodique s’intéresse aux systèmes dynamiques, qui sont simplement des modèles
mathématiques décrivant comment un système change avec le temps. Un système dynamique
peut par exemple modéliser la trajectoire d’une boule sur un billard sans frottement et
sans trou. La boule se déplace en ligne droite jusqu’à ce qu’elle atteigne le bord, contre
lequel elle rebondit comme si elle était réfléchie par un miroir. Si la table de billard est
rectangulaire, ce système dynamique est assez simple et prévisible, car une boule lancée dans
n’importe quelle direction va rebondir sur chacun des quatre côtés avec toujours le même angle.
Mais imaginons que la table de billard soit en forme de stade, avec des extrémités arrondies. Dans
ce cas, une boule partant de presque n’importe quelle position dans presque n’importe quelle
direction va parcourir le stade dans tous les sens, rebondissant sur le bord suivant des angles
toujours changeants. Les systèmes qui présentent ce genre de comportements compliqués sont qualifiés
d’« ergodiques ».

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Billard non ergodique dans une ellipse
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Billard ergodique dans un stade

Pour décrire cette notion de trajectoires parcourant l’ensemble de l’espace disponible, les
mathématiciens parlent de « mesure ergodique ». On peut penser à une mesure comme à une façon
souple de calculer les aires, et pour un système dynamique, posséder une mesure ergodique
signifie essentiellement que la position du système va passer la même fraction de temps dans
deux régions de l’espace si celles-ci ont la même aire. Au contraire, dans le billard rectangulaire
(qui n’est bien sûr pas ergodique), le centre verra très peu de trafic dans presque toutes les
directions.

Dans beaucoup de systèmes dynamiques, il y a plusieurs mesures ergodiques, c’est-à-dire plusieurs
façon de calculer l’aire suivant laquelle les parties d’aires égales voient passer aussi souvent les
trajectoires. En fait, les mesures invariantes sont même souvent en nombre infini. Cependant, Lindenstrauss
a montré que dans certains circonstances, il ne peut y avoir qu’un très petit nombre de
mesures ergodiques. Cette propriété se révèle être un outil extrêmement puissant, une sorte
de marteau qui peut casser des problèmes difficiles.

Lindenstrauss s’est effectivement servi de son marteau pour casser des problèmes durs. Un exemple
est fourni par ce qu’on appelle les « approximations diophantiennes », c’est-à-dire le problème de
trouver des nombres rationnels qui approchent bien un nombre irrationnel.
Ainsi, $\pi$ est très
proche de 22/7. Le nombre rationnel 179/57 est un peu plus proche encore, mais comme son dénominateur
est beaucoup plus grand il n’est pas nécessairement aussi utile. Au début du XIXe siècle, le mathématicien
allemand Johan Dirichlet a proposé un critère pour juger de la qualité d’une approximation : que l’imprécision
d’une approximation rationnelle $p/q$ soit inférieure à $1/q^2$. Il a ensuite démontré assez simplement
que tout nombre irrationnel admet une infinité d’approximations
satisfaisant à ce critère. Il a donc montré que pour tout nombre réel $\alpha$,
il y a une infinité d’entiers $p$ et $q$ tels que $|\alpha-p/q| < 1/q^2$.

Il y a quatre-vingt ans, le mathématicien britannique John Edensor Littlewood a proposé
un énoncé analogue
à celui de Dirichlet, concernant les approximations simultanées de deux nombres irrationnels : il pensait
qu’il devrait être possible de trouver des approximations $p/q$ de $\alpha$ et $r/q$ de $\beta$,
telles que le produit des deux imprécisions puisse être rendu aussi petit que voulu.
Plus précisément, donnons-nous $\alpha$, $\beta$ deux nombres réels, et un $\varepsilon>0$, alors il s’agit de montrer qu’il existe des approximations $p/q$ de $\alpha$ et $r/q$ de $\beta$ telles que \[|\alpha -p/q|\times|\beta -r/q|<\varepsilon/q^3.\]

Il donna le problème
à son étudiant de thèse, en pensant que la démonstration ne pouvait pas être beaucoup plus difficile
que celle de Dirichlet. Mais la conjecture de Littlewood s’est révélée extraordinairement difficile,
et jusqu’à récemment il n’y avait eu aucun progrès substantiel la concernant.

Alors Lindenstrauss appliqua ses outils de théorie ergodique à la question, dans un travail commun avec
Manfred Einsiedler et Anatole Katok. La théorie ergodique peut paraître un choix étrange pour un problème
qui n’implique ni système dynamique ni temps, mais les associations incongrues sont parfois les plus
puissantes. Reformulons le problème de Littlewood de façon à faire apparaître la connexion : tout d’abord,
imaginez un carré et collez le côté du haut avec le côté du bas, de sorte à obtenir un cylindre. Maintenant,
en collant le côté droit sur le côté gauche vous obtiendrez une forme qu’on appelle un tore, et qui ressemble
à une bouée. On peut rouler sur lui-même le plan entier et obtenir cette forme, en appliquant un point
du plan de coordonnées
$(x,y)$ sur le point du carré dont l’abscisse est la partie décimale de $x$, et dont l’ordonnée est la
partie décimale de $y$. Ce tore est l’espace de notre système dynamique. On peut alors définir une transformation
en envoyant tout point $(x,y)$ sur le point $(x+\alpha,y+\beta)$. Si $\alpha$ et $\beta$ sont irrationnels
(ou plus précisément, s’ils ne sont pas rationnellement dépendants), ce système est ergodique. La conjecture de
Littlewood se traduit alors par l’affirmation suivante : les trajectoires de ce système passent extrêmement
près de l’origine si on itère la transformation un nombre suffisamment grand de fois. Le nombre d’itération
sera alors le dénominateur des fractions approchant $\alpha$ et $\beta$.

En utilisant une reformulation de la conjecture de Littlewood à l’aide d’un système dynamique plus complexe,
l’équipe a franchi une étape importante vers sa résolution : ils ont montré que s’il y a des paires de nombres
pour lesquels la conjecture est fausse, alors il y en a très peu, une proportion négligeable de tous les nombres.

Un autre exemple de la portée du travail de Lindenstrauss est sa preuve du premier cas non trivial de la
conjecture de l’unique ergodicité quantique arithmétique. Les systèmes ergodiques apparaissent souvent
en physique, car dès que trois corps interagissent, par exemple, le système commence à se comporter d’une
façon plutôt ergodique. Mais si les interactions ont lieu à l’échelle quantique, on ne peut pas les
décrire à l’aide des outils ordinaires de la théorie ergodique : dans la théorie quantique les points
ne suivent pas des trajectoires bien définies, avec des positions bien définies. On est
contraint de considérer plutôt la probabilité qu’un point soit présent à un endroit particulier en un
instant particulier. Analyser mathématiquement de tels systèmes s’est avéré extraordinairement difficile,
et les physiciens doivent se baser sur des simulations numériques, sans disposer d’une base mathématique
solide.

La conjecture de l’unique ergodicité quantique dit en gros que si vous calculez les aires en utilisant
la mesure qui est naturelle pour la dynamique classique, alors au fur et à mesure que l’énergie du système
augmente, cette distribution de probabilités se répartit de plus en plus uniformément dans l’espace
disponible. De plus, cette mesure est la seule pour laquelle ceci est vrai. Lindenstrauss a réussi
à montrer ceci dans un contexte arithmétique pour certain type de systèmes dynamiques, obtenant l’une
des premières avancées importante dans l’étude rigoureuse de la théorie du chaos quantique.

Ils ne s’agit que de deux exemples des résultats remarquables de Lindenstrauss. Ses méthodes, ses outils
et sa vision en amèneront probablement beaucoup plus dans les années à venir.

Post-scriptum :

Les figures sont extraites de ce site présentant un colloque et un exposé grand public sur les billards (NdlR).

Article édité par Étienne Ghys

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Pour citer cet article :

Julie Rehmeyer — «Les travaux d’Elon Lindenstrauss» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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