Les travaux de Cédric Villani

Piste bleue 30 septembre 2010  - Ecrit par  Julie Rehmeyer Voir les commentaires (3)

Le texte qui suit est une traduction française d’un article déposé sur le site du congrès international d’Hyderabad. Le comité de rédaction de Images des Mathématiques remercie chaleureusement son auteur, Julie Rehmeyer, de nous avoir autorisés à le reproduire et Benoît Kloeckner d’avoir bien voulu le traduire.

Cédric Villani vient de recevoir la médaille Fields « pour ses preuves de l’amortissement de Landau non linéaire et de la
convergence vers l’équilibre dans l’équation de Boltzmann. »

Cédric Villani a permis une compréhension mathématique profonde de plusieurs
phénomènes physiques. Son interprétation mathématique du concept d’entropie
lui a notamment permis de résoudre des problèmes majeurs inspirés par la physique.
Ses résultats ont de plus eu des conséquences à l’intérieur des mathématiques,
établissant des relations entre ces deux domaines et les enrichissant tous les deux.

Villani a commencé sa carrière mathématique en réexaminant l’une des théories
les plus frappantes et controversées de la physique du XIXe siècle. En 1872,
Ludwig Boltzmann a étudié le comportement d’un gaz initialement contenu dans
un récipient, dont on ouvre le couvercle : le gaz s’échappe alors et remplit la pièce.
Boltzmann expliquait le phénomène en calculant la probabilité qu’une molécule de
gaz se trouve à un endroit précis et se déplace dans une direction précise à un
moment donné — alors que la théorie atomique n’était même pas encore complètement
acceptée. Plus choquant encore, son équation impliquait une orientation du temps.

Le problème était le suivant : quand les molécules rebondissent les unes sur les autres,
leurs interactions sont décrites par la loi de Newton, où le temps est entièrement réversible.
Ainsi, en principe, on pourrait arrêter le temps, envoyer chaque molécule dans la direction
exacte d’où elle vient et elles retraceraient alors exactement leur chemin en sens inverse,
revenant toutes dans le récipient. Mais l’équation de Boltzmann n’est *pas* réversible : les molécules
vont presque toujours d’un état ordonné (dans l’exemple, enfermées dans le récipient) à un
état moins ordonné (réparties à travers la pièce). En termes techniques, l’entropie
augmente.

Dans les décennies qui ont suivi, les physiciens se sont réconciliés avec l’apparition
d’entropie dans des phénomènes gouvernés par des lois réversibles et l’entropie est
devenue un concept clé en physique, en théorie des probabilités et en théorie de
l’information. Toutefois, une question restait sans réponse : à quelle vitesse l’entropie
augmente-t-elle ? Des expériences et des simulations numériques ont pu fournir des
ordres de grandeur, mais le phénomène restait mal compris.

Villani, avec ses collaborateurs Giuseppe Toscani et Laurent Desvillettes, a développé
les fondations mathématiques en permettant une analyse rigoureuse, même quand l’état
initial du gaz est très ordonné et que le temps nécessaire pour atteindre son état
désordonné d’équilibre est très grand. Cette découverte a eu une conséquence
complètement inattendue : si l’entropie augmente toujours, cette augmentation
peut être très rapide ou très lente. Son travail a également révélé des relations
entre l’entropie et des domaines mathématiques apparemment déconnectés, comme
l’inégalité de Korn en théorie de l’élasticité.

Par la suite, Villani a tourné sa compréhension profonde de l’entropie vers
une autre théorie anciennement controversée. En 1946, le physicien soviétique
Lev Davidovich Landau a avancé une affirmation presque choquante : dans certaines
circonstances, un phénomène peut converger vers l’équilibre sans augmenter l’entropie.

Dans un gaz, les deux phénomènes vont toujours de pair. Le gaz qui se répand dans une
pièce approche l’équilibre en perdant l’ordre qu’il avait initialement, augmentant son
entropie autant que possible. Mais Landau prétendait que pour un plasma, un état de la matière
qui ressemble à un gaz mais qui contient tellement d’énergie que les électrons sont arrachés
aux atomes, c’était une autre histoire. Dans un plasma, les particules chargées, qui flottent
librement, créent un champ électrique qui en retour influence leurs déplacements. Alors
que dans un gaz, les particules s’influencent les unes les autres uniquement lors de leurs
collisions, les particules d’un plasma s’influencent aussi à distance. Par conséquent, l’équation
de Boltzmann pour les gaz ne s’applique pas aux plasmas ; elle doit être
remplacée par l’équation de Vlasov-Poisson, qui est réversible et donc incompatible
avec l’augmentation de l’entropie.

Cependant les plasmas, comme les gaz, se répandent et tendent à un état d’équilibre. On
pensait que ça n’arrivait que parce que des collisions entre atomes avaient également
lieu. Mais Landau prétendait que même sans collision, le plasma se rapprocherait de
l’équilibre suite à une diminution du champ électrique. Il le démontra, mais seulement
pour une version simplifiée, linéaire, de l’équation de Vlasov-Poisson.

Malgré de nombreuses recherches, au cours des 60 années suivantes la compréhension de la convergence vers cet état d’équilibre a peu progressé et on a enregistré peu d’avancées
vers la démonstration de la conjecture de Landau pour l’équation de Vlasov-Poisson
non linéaire. L’année dernière Villani, en collaboration avec Clément Mouhot, est arrivé
à comprendre le phénomène en détails et a prouvé que Landau avait raison.

Un troisième grand domaine dans lequel Villani a travaillé semblait initialement n’avoir rien à voir
avec l’entropie, jusqu’à ce qu’il leur trouve une relation profonde et transforme le sujet.
Il s’agit du transport optimal qui s’est développé à partir d’une question des plus pratiques :
supposons que vous disposiez d’un certain nombre de mines et d’usines, réparties sur un territoire.
On se donne les différents coûts de transport pour amener le minerai d’une mine donnée à une usine donnée.
Quelle est la répartition la plus économique pour transporter l’ensemble du minerai vers les usines ?

Ce problème a d’abord été étudié par le mathématicien français Gaspard Monge en 1781 et fut
redécouvert par le mathématicien russe Leonid Kantorovich en 1938. Le travail de Kantorovich sur
ce sujet a donné naissance à un domaine de recherche à part entière, la programmation linéaire, lui
a valu le « prix Nobel » d’économie en 1975, et a essaimé dans un grand nombre de domaines
incluant la météorologie, les systèmes dynamiques, la mécanique des fluides, les réseaux d’irrigation,
la reconstruction d’image, la cosmologie, la conception d’antennes et, ces dernières années, les
mathématiques.

Villani et Felix Otto ont mis en évidence une relation cruciale quand ils réalisèrent
que la diffusion des gaz pouvait être comprise dans le cadre du transport optimal. Une
configuration initiale des particules d’un gaz peut être vue comme l’ensemble des mines, et une
configuration ultérieure comme l’ensemble des usines (plus précisément, c’est la distribution
probabiliste des particules qui joue chacun de ces rôles). Plus les particules de gaz doivent
bouger d’une configuration à une autre, plus le coût est élevé.

On peut alors imaginer que chaque configuration possible correspond à un point dans un
paysage montagneux abstrait. La distance entre deux points est définie comme le coût
d’un transport optimal et la hauteur de chaque point représente l’entropie de la configuration
(les points les plus bas ayant l’entropie la plus grande). Ceci donne une très belle manière
de comprendre le comportement d’un gaz se répartissant dans une pièce : tout se passe
comme si le gaz était une pierre qui descend en roulant le long des pentes de ce paysage abstrait,
chaque point de sa trajectoire décrivant son état à un moment donné.

Supposons maintenant qu’un ventilateur soit en marche dans la pièce, de sorte que le gaz ne va
pas se répartir uniformément lors de sa diffusion. Mathématiquement, on peut modéliser ce
phénomène en considérant que l’espace dans lequel le gaz se déplace est tordu, ou courbé. Villani
et Otto ont réalisé que la courbure de la pièce dans laquelle le gaz se répand doit se
traduire dans la topographie du paysage abstrait. Cette connexion leur a permis d’appliquer
la bonne compréhension mathématique que l’on a de la courbure (en particulier la courbure
de Ricci qui s’est révélée cruciale dans la résolution de la conjecture de Poincaré) pour
répondre à des questions sur le transport optimal.

Villani et John Lott ont de plus réussi à généraliser la théorie de la courbure en
utilisant ces liens avec le transport optimal. Par exemple, les mathématiciens ne savaient pas comment
définir la courbure de Ricci dans certaines situations, notamment en présence d’un coin anguleux.
Villani et Lott (et, parallèlement et en utilisant d’autres méthodes, Karl-Theodor Sturm)
ont utilisé le transport optimal pour donner une telle définition et pousser
la compréhension mathématique de la courbure un cran plus loin. Cette profondeur dans la compréhension
et le développement de nouvelles relations entre différents domaines est typique du travail de Villani.

Article édité par Étienne Ghys

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Pour citer cet article :

Julie Rehmeyer — «Les travaux de Cédric Villani» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Les travaux de Cédric Villani

    le 7 octobre 2010 à 01:01, par fsalein

    Merci pour cet article très clair et très instructif.

    Répondre à ce message
  • Les travaux de Cédric Villani

    le 15 octobre 2010 à 11:51, par kosmanek

    Cher Villani, puisque les questions de courbure vous intéressent, peut-être seriez-vous intéressé aussi par mon article aux CRAS :
    « Une propriété caractéristique des variétés kâhlériennes à courbure holomorphe constante » référence ici :
    kosmosya.xooit.fr/index.php rubrique:sciences

    Il et vrai qu’il date de 1964 mais il a eu des prolongements avec les travaux du Japonais TANNO que vous trouverez sur le Net.
    Merci de votre réponse

    Répondre à ce message
  • Les travaux de Cédric Villani

    le 5 septembre 2012 à 15:51, par kosmanek

    Première critique du dernier livre de Villani :

    Article de yann MOIX dans le « Figaro littéraire » daté du 29 août 2012

    Titre : « VILLANI, un poète des nécessités »

    "Cédric VILLANI est, comme tous les mathématiciens, un poète des nécessités.
    Des relations nécessaires entre les essences pures.
    Dans « Théorème vivant » il raconte avec effervescence la beauté de sa manie : chercher, trouver.
    Les formules mathématiques sont ici livrées à l’état brut, les équations sont en liberté dans leur écosystème,
    sans concessions, scintillantes, mystérieuses, abruptes, élégantes.
    Intégrales triples, sommes algébriques, dérivées partielles, séries de Fourier, rien ne manque.

    Mais par une énigme inédite, par une insolite alchimie, le lecteur profane ne reste pas à la porte :
    il est emporté par une énergie spéciale.
    Cette énergie, c’est celle de l’enfance.
    On ne cesse d’être frappé, à la lecture de cet ouvrage à nul autre pareil,
    par la candeur de l’auteur, sa naïveté, sa fraïcheur.
    Ses dégagements sur les paysages de campus, son idole Catherine RIBEIRO, les petits oiseaux ou l’amour,
    devraient prêter à sourire.
    Mais quelque chose de très profond congédie toute moquerie :
    le sujet de cette vie, de ce destin, de ce livre, c’est la FRAICHEUR, la perpétuelle inventivité.
    Sous la candeur, le génie mathématique.
    Le prélude nécessaire à toute découverte, à toute explosion.

    C’est un enfant qui a écrit ce livre.
    Parce que seul un enfant peut tout voir à neuf, comme s’il nettoyait le monde à chaque regard qu’il pose sur lui.
    Le cerveau de VILLANI, ce livre en apporte la preuve, a besoin de cette infantilité, de cette immaturité,
    pour cerner l’infinie complexité des mondes qu’il découvre, qu’il bâtit, qu’il défriche, qu’il invente.
    « Théorème vivant », jusque dans son étanchéité de lecture, est un roman d’aventure raconté à des adultes, mais par un petit enfant.

    La prouesse intellectuelle n’est jamais soulignée :
    ce qui se libère à nos yeux, c’est l’étonnement ;
    et d’abord, le propre étonnement de celui qui voit, qui a vu le premier, a été le seul et le premier à voir, à démontrer, à prouver.
    Aventure de celui qui va plus loin que ses prédécesseurs, dans des boues mathématiques
    où l’on s’enfonce aussi aisément que dans des sables mouvants.
    Il y a une prime à l’intuition, à la candeur et au courage, à l’inconscience surtout.

    VILLANI est lui-même, il ne sait parler que sa langue, c’est précisément la marque de l’écrivain.
    Que cette langue soit imperméable ou non, il suffit d’aller faire un tour du côté de JOYCE pour se persuader que la question n’est pas là.
    Voici un roman d’un genre neuf.
    Le « roman ultraspécialisé marche ou crève ».Il fallait oser se livrer sans rien dévoiler ou réciproquement.
    L’important est de ne pas se trahir.

    Avec son altitude qu’il n’a pas souhaité rabaisser, sa folie qu’il n’a
    pas daigné lisser, sa démesure qu’il n’a pas cherché à brider
    et sa gentille gentillesse qu’il ne s’est pas contraint à brusquer,
    VILLANI fait une entrée personnelle, unique, genre HAPAX, dans la
    littérature française..."

    Répondre à ce message

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