Un artículo del New York Times muestra un video hablando (en inglés) de matemáticas. Este video ha sido visto más de un millón y medio de veces puesto que escandaliza. ¿Qué estoy diciendo? Alborota a buena parte de los millares de internautas que lo han comentado. El video presenta un cálculo de Euler (probablemente uno de los más grandes matemáticos de la historia) según el cual la serie de enteros positivos $1+2+3+4+5+6+\dots$ vale $-1/12$.

¿Qué sentido podría tener eso?, se indigna más de un internauta que quiere comprender. Una mayoría escribe que la suma $1+2+3+\dots$ debería ser infinita . En efecto, las sumas de los primeros términos (o sumas parciales ) son sucesivamente: $1,3,6,10,15,21,28,\dots$ . Ellas sobrepasan todo número dado, no convergen hacia ningún número. ¿Cómo Euler puede afirmar que la suma vale -1/12 ?

Euler está consciente de esto, pero tiene otra cosa distinta en mente [1], algo muy sensato, pero que no se convertirá en algo preciso sino un siglo más tarde. Desde Newton se sabe que «ciertas funciones» pueden representarse como «polinomios infinitos». Euler verificó que «en muchos casos», uno puede «hacer como si» toda expresión de este tipo representase una función.

Lo que los matemáticos han comprendido, en particular durante el siglo XIX , es que una escritura no tiene sentido en sí misma y que la intuición es una guía tan necesaria como insuficiente. El investigador debe elegir una definición formal para poder estudiar rigurosamente el fenómeno que le interesa. Esta elección puede o no ser fecunda y adaptada, pero la definición le otorga en todos los casos una base objetiva para la continuación de sus trabajos. El formalismo es la libertad.

De ese modo, las series y «polinomios infinitos» descubiertos por Newton y explorados por Euler pueden interpretarse como objetos matemáticos variados (puras series de números, funciones analíticas o de un tipo más general, modos de divergencia al infinito...). Ya no hay ningún escándalo. Por el contrario, los trabajos más interesantes tratan a menudo sobre las vinculaciones entre esos objetos [3]. El video mencionado al principio de este artículo evoca exactamente un tema de ese tipo en física teórica.

¡Hacer matemáticas es (también) dar nombres distintos a una misma cosa!