Lo insignificante no es lo imposible

Le 18 janvier 2015  - Ecrit par  Benoît Rittaud
Le 13 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le négligeable n’est pas l’impossible Voir les commentaires
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Con ocasión de un coloquio interdisciplinario, tuve la oportunidad de comprobar de nuevo la dificultad que hay para hacer aceptar a un público no entendido que, en teoría de probabilidades, un acontecimiento puede ser posible aunque de probabilidad nula.

El ejemplo que habitualmente utilizo para ilustrar esta aparente paradoja es el de un dardo puntual lanzado al azar sobre un blanco (digamos circular) de área 1. En general, todo el mundo acepta sin problemas la idea de que -si el dardo es lanzado verdaderamente al azar- entonces la probabilidad de llegar a una zona cualquiera establecida es igual al área de esta zona. Ya que un punto define una zona de área nula, su probabilidad de ser tocado entonces también es nula. Ahora bien, una vez que el dardo es lanzado, es necesario que termine su trayecto sobre cierto punto. Ese punto, que es alcanzado, tenía sin embargo -como todos los demás- una probabilidad nula de serlo.

Según mis observaciones, las objeciones que este razonamiento suscita son de dos órdenes :

1) un cuestionamiento a la nulidad de la probabilidad con ayuda de un recurso de un protoanálisis no estándar (la probabilidad de alcanzar un punto dado no sería nula sino ’’infinitamente pequeña’’) ;

2) un cuestionamiento a la legitimidad de hablar de un dardo puntual respecto a un experimento fisico.

Por supuesto, esos dos obstáculos son de naturaleza muy distinta. El primero se refiere a la percepción de lo que es un número, y es un argumento matemático el que permite superarlo : supongamos que la probabilidad de un punto sea minúscula, por ejemplo, de un mil millonésimo. Ya que el blanco contiene una infinidad de puntos, tomemos mil millones más uno. Eso define una zona en la cual la probabilidad es igual a mil millones más una veces un mil millonésimo, que vale más que 1. El argumento es simple e imbatible, pese a que su poder de convicción es sin duda un poco débil (y aquí paso sobre el hecho de que puede llevar a proponer sumar las probabilidades nulas de todos los puntos, y por lo tanto sugerir que la probabilidad del blanco entero sería nula ella misma, embarcándonos en pesadas explicaciones acerca de la noción de infinito no numerable). El hecho es que, muy a menudo, este cuestionamiento a la nulidad de la probabilidad de cada punto da lugar muy rápido a la segunda objeción, intelectualmente más delicada, que proviene de la dificultad de aceptar que la idealización matemática obliga a veces a escapar de los objetos físicos de los cuales ella (al menos en parte) procede. Ahora bien, el público universitario al cual yo me dirigía era evidentemente del todo capaz de abstracción y comprendía muy bien que, por ejemplo, las propiedades geométricas de las circunferencias tienen sentido aunque se formulen con circunferencias abstractas sin espesor. Por lo tanto, se puede suponer -aunque no es más que una idea gratuita- que esas dos objeciones en realidad son accidentales, en el sentido que podrían ser tan sólo los escudos más inmediatos y más cómodos de los cuales aprovecharse para protegerse de la paradoja.

Sea lo que fuere, el amigo Lebesgue, fundador de la teoría matemática de la medida, decididamente franqueó un obstáculo epistemológico considerable al formalizar la noción de conjunto de medida nula. ¿Realmente se ha medido todo el alcance extramatemático ? Me interesaría mucho tener referencias e ideas acerca del tema.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Lo insignificante no es lo imposible» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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