Longitudes, superficies y volúmenes

o cómo sumar manzanas con peras

Piste rouge Le 10 septembre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 18 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Longueurs, surfaces et volumes Voir les commentaires
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Una lectora de un artículo anterior me informa que a ella no le gusta que se le prohíba nada, y que no ve por qué uno no podría agregar dos manzanas a tres peras para sumar cinco frutas. No está equivocada.

A fin de cuentas, si yo añado puerros, nabos, zanahorias a algunos pedazos de carne y los dejo cocer lentamente, obtengo un excelente guiso. Por el contrario, aunque yo pueda dividir una longitud por un tiempo para obtener una velocidad, no veo cuál sería el resultado de la multiplicación de un puerro por una zanahoria. Todo es asunto de contexto, por supuesto.

¡Transgredamos los tabúes impuestos por la escuela primaria !

¿Por qué no ? ¿No le enseñaron en la escuela primaria que la sustracción $3-7$ es ’’imposible’’ ya que $7$ es más grande que $3$ y luego, algunos años más tarde, que el resultado de esta sustracción es el número negativo $-4$ ? ¿No le enseñaron a principios de la secundaria que los números negativos no tienen raíz cuadrada, mientras que más tarde, en la rama científica del liceo aprendió quizás que en realidad esas raíces cuadradas son los números ’’complejos’’ ? Los matemáticos tienen poderes extraños : pueden crear objetos que parecían imposibles. Entonces, tratemos de juntar peras con manzanas, sólo para ver cómo los matemáticos pueden ’’crear’’ nuevas quimeras.

Si una manzana más una pera suman dos frutas, ¿cuál es la suma de una longitud de $1\,m$ con una superficie de $2 \, m^2$ ? Bueno, digamos
que es, simplemente :
\[ 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 \]
Y si yo agrego $3{\bf m}^3$ y retiro $6$, el resultado es :
\[ {-} 6 + 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3. \]

Acabamos de ’’inventar’’ los polinomios en la variable ${\bf m}$. Dos polinomios de este tipo pueden siempre ser sumados, como por ejemplo :

\[ (2+1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3) + (3+1 {\bf m}^2+4{\bf m}^3)= 5 + 1 {\bf m} +3{\bf m}^2+7{\bf m}^3. \]

Pero uno también puede multiplicarlos :
\[ (1+1{\bf m})(1-1{\bf m})=(1-1{\bf m})+ 1 {\bf m}(1- 1 {\bf m})= 1-1{\bf m}+ 1 {\bf m}- 1 {\bf m}^2= 1-{\bf m}^2. \]

Esto no es satisfactorio aún, ya que hemos olvidado los kilogramos y los segundos. Pero no importa : consideremos ahora expresiones como

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s} \]

Son los polinomios en las tres variables ${\bf m},{\bf kg},{\bf s}$. Uno puede sumarlos y multiplicarlos en toda circunstancia.

¿Todavía no es satisfactorio ? No hemos colocado exponentes negativos, como en las velocidades $m \cdot s^{-1}$, por ejemplo [1]. Sumémoslos y considerémoslos « seres matemáticos » como :

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}. \]

De ese modo se construye lo que los matemáticos llaman los ’’polinomios de Laurent’’ en honor a Pierre Alphonse Laurent, un matemático-militar-ingeniero del siglo XIX.

¿Terminamos ? Aún no, ya que también debemos permitirnos hacer divisiones, como por ejemplo

\[ \frac{1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}}{3 {\bf m} -5 {\bf kg}.{\bf s}^{-1}+6{\bf m}^2} \]

Estamos en el campo de las fracciones racionales que aún podemos sumar, sustraer, multiplicar y dividir en cualquier circunstancia (evitando, por supuesto como siempre, dividir por cero, otro tabú de la escuela que no vamos a transgredir aquí...). Se dice que constituyen el cuerpo de las fracciones racionales en tres variables y se lo denota ${\bf R}({\bf m},{\bf kg},{\bf s})$.

Pero, ¿para qué pueden servir estas elucubraciones ? ¿Hay alguna utilidad en sumar metros y metros cuadrados ?

Aquí hay un ejemplo.

Consideremos un cuadrado de un metro de lado. Tiene cuatro vértices (puntos sin dimensiones), cuatro aristas de un metro de largo, y un metro cuadrado de área. Si yo hago la suma de todo esto, resulta :

\[ 4+4{\bf m}+1{\bf m}^2. \]

Como me acuerdo (más o menos) de las ’’identidades notables’’ que aprendí en el colegio, compruebo con asombro que se trata de un cuadrado perfecto :

\[ (2+1 {\bf m})^2. \]

¿Qué es este $2+1 {\bf m}$ ? Bueno, si yo miro ahora un segmento, veo que este posee dos extremos y tiene un metro de largo ; cuando sumo eso, resulta $2+1{\bf m}$. ¿Es sorprendente ? Yo simplemente escribí de manera algebraica que un cuadrado es el producto de sus dos lados.

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Intentemos ahora con un rectángulo de lados de $l$ y $L$ metros. Los lados tienen cada uno dos vértices, y uno les asocia $(2+l {\bf m})$ y $(2+L{\bf m})$, respectivamente. El producto es

\[ (2+l \,{\bf m})(2+L\, {\bf m}) = 4 + 2(l+L)\, {\bf m} + lL\, {\bf m}^2. \]

Efectivamente, el rectángulo tiene cuatro vértices, un perímetro de $2(l+L)$ metros y una superficie de $lL$ metros cuadrados.

Otro ejemplo : el cubo de lado $1$ metro tiene $8$ vértices, $12$ aristas de $1$ metro, $6$ caras de $1$ metro cuadrado y un volumen de $1$ metro cúbico. En total, esto hace :

\[ 8+12\, {\bf m} + 6\, {\bf m}^2 + 1\, {\bf m}^3. \]

Bauticemos como volumen graduado este polinomio asociado al cubo. ¿Por qué graduado ? Porque uno puede considerar que contiene toda la ’’información volumétrica’’ del cubo sobre las escalas de las dimensiones : los vértices, las aristas, las caras y el volumen. Contiene esos frutos prohibidos : suma de metros, de metros cuadrados y de metros cúbicos...

Un pequeño cálculo algebraico muestra que este polinomio es :

\[(2+1\, {\bf m})^3.\]

Y este hecho algebraico ilustra el hecho geométrico de que un cubo es el producto de tres intervalos.

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Así, por lo tanto, a cada poliedro uno puede asociar un ’’volumen graduado’’, que es la suma de las medidas de todas sus caras, agregando todo, cualquiera sean las dimensiones : vértices, aristas, etc. Es un polinomio en la variable ${\bf m}$. Y lo que acabamos de ver en dos ejemplos es que el volumen graduado de un producto se calcula simplemente multiplicando los volúmenes graduados de los factores.

Otro ejemplo, esta vez con un prisma recto de altura $H$ metros con base poligonal (un hexágono de área $A$ metros cuadrados y perímetro $P$ metros, por ejemplo).

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La fórmula es :

\[(2+ H \, {\bf m}) \, (6 + P \, {\bf m} + A \, {\bf m}^2) = 12 + (6H+2 P)\, {\bf m} + (HP+ 2A)\, {\bf m}^2+ HA \, {\bf m}^3.\]

¿Qué surge de esto ? Por ejemplo, que la ’’superficie’’ del cilindro es $H P + 2A$ metros cuadrados, suma de la superficie lateral $HP$ y de las dos bases $2A$. Esto también me lo había enseñado mi maestro...

Se ve que hemos hecho álgebra con geometría y geometría con álgebra : una mezcla que los matemáticos adoran [2]. Por el momento esto no conduce a gran cosa, pero en otro artículo trataré de hablarles de cosas más sutiles acerca del álgebra de poliedros...

Article original édité par François Sauvageot

Notes

[1Recordemos que un exponente negativo está asociado a una división : multiplicar por $s^{-1}$ equivale a dividir por $s$, de modo que $m \cdot s^{-1}$ designa lo mismo que $m/s$ : metros por segundo.

[2N.d.E. : Imposible no recordar aquí una frase célebre de la matemática Sophie Germain : ’’El álgebra es geometría escrita, y la geometría es álgebra en dibujos’’.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Longitudes, superficies y volúmenes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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