Longueurs, surfaces et volumes

ou, comment ajouter des pommes et des poires

Piste rouge Le 10 septembre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (22)
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Une lectrice de l’article précédent m’informe qu’elle n’aime pas qu’on lui interdise quoi que ce soit, et qu’elle ne voit pas pourquoi on ne pourrait pas ajouter deux pommes et trois poires pour faire cinq fruits. Elle n’a pas tort.

APRÈS tout, si j’ajoute des poireaux, des navets, des carottes à quelques morceaux de viande et que je laisse mijoter, j’obtiens un excellent pot-au-feu. Par contre, même si je suis prêt à diviser une longueur par un temps pour obtenir une vitesse, je vois mal ce que serait le résultat de la multiplication d’un poireau et d’une carotte. Tout est affaire de contexte, bien sûr.

Transgressons les tabous imposés par l’école primaire !

Pourquoi pas ? Ne vous a-t-on pas appris à l’école primaire que la soustraction $3-7$ est « impossible » puisque $7$ est plus grand que $3$ puis, quelques années plus tard, que le résultat de cette soustraction est le nombre négatif $-4$ ? Ne vous a-t-on pas appris au collège que les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée alors que plus tard, au lycée, en classe scientifique, vous avez peut-être appris qu’en fait ces racines carrées sont des nombres « complexes » ? Les mathématiciens ont des pouvoirs étranges : ils peuvent créer des objets qui semblaient impossible. Alors, essayons d’ajouter des poires et des pommes, juste pour voir comment les mathématiciens peuvent « créer » de nouvelles chimères.

Si une pomme plus une poire font deux fruits, qu’est-ce que la somme d’une longueur de $1\,m$ et d’une superficie de $2 \, m^2$ ? Eh bien, disons que c’est :

\[ 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 \]
tout simplement. Et si j’ajoute $3{\bf m}^3$ et que je retire $6$, le résultat est :

\[ {-} 6 + 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3. \]

Nous venons d’« inventer » les polynômes de la variable ${\bf m}$. Deux tels polynômes peuvent toujours être ajoutés, comme par exemple :

\[ (2+1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3) + (3+1 {\bf m}^2+4{\bf m}^3)= 5 + 1 {\bf m} +3{\bf m}^2+7{\bf m}^3. \]

Mais on peut aussi les multiplier :
\[ (1+1{\bf m})(1-1{\bf m})=(1-1{\bf m})+ 1 {\bf m}(1- 1 {\bf m})= 1-1{\bf m}+ 1 {\bf m}- 1 {\bf m}^2= 1-{\bf m}^2. \]

Ceci n’est pas encore satisfaisant car nous avons oublié les kilogrammes et les secondes. Qu’à cela ne tienne : considérons des expressions comme :

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s} \]

Ce sont les polynômes en les trois variables ${\bf m},{\bf kg},{\bf s}$. On peut les ajouter et les multiplier en toutes circonstances.

Ce n’est pas encore satisfaisant ? Nous n’avons pas mis les exposants négatifs, comme les vitesses $m.s^{-1}$ par exemple [1]. Ajoutons-les et considérons des « êtres mathématiques » comme :

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}. \]

On construit ainsi ce que les mathématiciens appellent les « polynômes de Laurent », du nom de Pierre Alphonse Laurent, un mathématicien-militaire-ingénieur du dix-neuvième siècle.

Avons-nous terminé ? Pas encore, car nous devons aussi nous autoriser à faire des divisions comme par exemple :

\[ \frac{1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}}{3 {\bf m} -5 {\bf kg}.{\bf s}^{-1}+6{\bf m}^2} \]

Nous sommes dans le domaine des fractions rationnelles que nous pouvons encore ajouter, soustraire, multiplier et diviser en toutes circonstances (en évitant bien sûr, comme toujours, de diviser par zéro, un autre tabou de l’école, que nous ne transgresserons pas ici...). On dit qu’elles constituent le corps des fractions rationnelles en trois variables et on le note ${\bf R}({\bf m},{\bf kg},{\bf s})$.

Mais à quoi ces élucubrations pourraient-elles servir ? Y a-t-il vraiment une utilité à ajouter des mètres et des mètres carrés ?

Voici un exemple.

Regardez un carré d’un mètre de côté. Il a quatre sommets (des points sans dimensions), quatre arêtes d’un mètre de long, et il fait un mètre carré. Si je fais la somme de tout cela, je trouve :

\[ 4+4{\bf m}+1{\bf m}^2. \]

Comme je me souviens (à peu près) des « identités remarquables » que j’ai apprises au collège, je constate avec étonnement qu’il s’agit d’un carré parfait :

\[ (2+1 {\bf m})^2. \]

Qu’est-ce que ce $2+1 {\bf m}$ ? Eh bien, si je regarde maintenant un segment d’un mètre de long, il possède deux extrémités et il fait un mètre de long et quand je somme ça, je trouve $2+1{\bf m}$. Est-ce si surprenant ? J’ai simplement écrit de manière algébrique qu’un carré est le produit de ses deux côtés.

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Essayons avec un rectangle de côtés $l$ et $L$ mètres. Les côtés ont chacun deux sommets et une longueur si bien qu’on leur associe $(2+l {\bf m})$ et $(2+L{\bf m})$. Le produit est

\[ (2+l \,{\bf m})(2+L\, {\bf m}) = 4 + 2(l+L)\, {\bf m} + lL\, {\bf m}^2. \]

Effectivement, le rectangle a bien quatre sommets, un périmètre de $2(l+L)$ mètres et une superficie de $lL$ mètres carrés.

Un autre exemple : le cube de côté $1$ mètre a $8$ sommets, $12$ arêtes de $1$ mètre , $6$ faces de $1$ mètre carré et un volume de $1$ mètre cube. Au total, cela fait :

\[ 8+12\, {\bf m} + 6\, {\bf m}^2 + 1\, {\bf m}^3. \]

Baptisons Volume gradué ce polynôme associé au cube. Pourquoi gradué ? Parce qu’on peut considérer qu’il contient toute l’information « volumique » du cube sur l’échelle des dimensions, les sommets, les arêtes, les faces et le volume. Il contient ces fruits défendus, somme de mètres, de mètres carrés et de mètres cubes...

Là encore, un brin de calcul algébrique montre que ce polynôme est :

\[(2+1\, {\bf m})^3.\]

Et ce fait algébrique illustre le fait géométrique qu’un cube est le produit de trois intervalles.

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Ainsi donc, à chaque polyèdre, on peut associer un « volume gradué » qui est la somme des mesures de toutes ses faces, en ajoutant tout, quelles que soient les dimensions : sommets, arêtes etc. C’est un polynôme en la variable ${\bf m}$. Et ce que nous venons de voir sur deux exemples, c’est que le volume gradué d’un produit se calcule simplement en multipliant les volumes gradués des facteurs.

Encore un exemple avec un prisme droit de hauteur $H$ mètres, à base polygonale (un hexagone d’aire $A$ mètres carrés et de périmètre $P$ mètres par exemple).

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La formule est :

\[(2+ H \, {\bf m}) (6 + P \, {\bf m} + A \, {\bf m}^2) = 12 + (6H+2 P)\, {\bf m} + (HP+ 2A)\, {\bf m}^2+ HA \, {\bf m}^3.\]

Qu’y apprend-on ? Par exemple que la « surface » du cylindre est $H P + 2A$ mètres carrés, somme de la surface latérale $HP$ et des deux bases $2A$. Cela aussi mon instituteur me l’avait appris...

On le voit, nous avons fait de l’algèbre avec de la géométrie et de la géométrie avec de l’algèbre : un mélange que les mathématiciens adorent. Pour l’instant, cela ne mène pas à grand-chose mais j’essaierai de vous parler de choses plus subtiles sur l’algèbre de polyèdres dans un autre article...

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Rappelons qu’un exposant négatif est associé à une division : multiplier par $s^{-1}$ revient à diviser par $s$ si bien que $m.s^{-1}$ désigne la même chose que $m/s$ : des mètres par seconde.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Longueurs, surfaces et volumes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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  • Longueurs, surfaces et volumes

    le 16 septembre 2009 à 16:55, par Étienne Ghys

    Merci à Michelle d’avoir lancé la vraie question, celle du « sens » des objets mathématiques, et de leur lien avec le réel. Nous n’allons pas régler la question dans ces commentaires : elle préoccupe les mathématiciens depuis des siècles et le débat est bien loin d’être achevé !

    Je l’avoue bien volontiers : diviser 1 mètre + 1 kilo par 3 secondes - 1 kilo est un objet qui n’a pas de « sens concret » et qui n’en aura probablement jamais. Mea culpa, mea culpa, mea maxima culpa : je n’aurais pas dû me lancer dans le passage aux fractions rationnelles. Par contre, je pense que le « volume gradué » est certainement beaucoup plus « naturel ». La vérité, Michelle l’aura compris, est que je me préparais pour un futur article traitant de l’« algèbre des polytopes », dans lequel j’ai bien envie d’essayer d’expliquer ce que sont les invariants de Dehn. Bien sûr, cela va me forcer à parler de produits tensoriels vraiment contre nature, comme multiplier une longueur (un nombre réel) et un angle (un nombre défini à 2 pi près). Je n’ai pas commencé à écrire cet article pour beaucoup de raisons dont la principale est que je ne sais pas comment m’y prendre pour expliquer cela en termes simples !

    Cela dit, les exemples d’objets qui paraissaient n’avoir aucun sens lorsque quelques mathématiciens ont osé les « créer » et qui sont devenus par la suite des objets naturels abondent dans l’histoire des maths. Les nombres complexes sont bien sûr l’exemple le plus simple. Mais on peut en trouver bien d’autres peut-être plus difficiles à expliquer. Je pense à l’algèbre multilinéaire, qui est un peu l’exemple que je décris : multiplier des vecteurs etc... Michelle ne me contredira pas si je dis que l’algèbre commutative abstraite, restée longtemps dans des bouquins abominablement « purs », montre son nez en « maths applis » depuis quelques temps. On pourrait parler aussi des spineurs par exemple, importants en physique théorique : oser prendre la racine carrée d’un laplacien ! Et si on parlait des fibrés virtuels et de la K-théorie ? Ont-ils un « sens » ? Mais je vois que je m’éloigne du niveau élémentaire auquel je voulais me placer dans cet article. Mon objectif était modeste : montrer qu’on peut transgresser des tabous, et que parfois c’est utile. Parfois, c’est utile immédiatement, parfois dix ans plus tard, parfois jamais. Chaque mathématicien place ensuite le curseur comme il en a envie pour définir ce qu’il appelle du « sens ». Mais oui Michelle, construire des objets aveuglément n’est certainement pas une bonne chose.

    C’est l’une des grandes forces des mathématiques : la capacité de construire des objets. Il me semblait que ça valait la peine de l’expliquer aux non-mathématiciens qui l’ignorent bien souvent.
    Mais Michelle a raison : le procédé n’est pas toujours productif : diviser 1 mètre + 1 kilo par 3 secondes - 1 kilo, c’était peut-être aller un peu trop loin ;-) J’aurais dû dire effectivement que l’abstraction gratuite n’est pas toujours féconde et même qu’elle ne l’est que rarement...

    Merci à tous,

    Etienne

    PS : Je suis aussi d’accord avec Michelle lorsqu’elle recommande le livre de Graham, Knuth, Patashnik !

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