Longueurs, surfaces et volumes

ou, comment ajouter des pommes et des poires

Piste rouge Le 10 septembre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (22)
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Une lectrice de l’article précédent m’informe qu’elle n’aime pas qu’on lui interdise quoi que ce soit, et qu’elle ne voit pas pourquoi on ne pourrait pas ajouter deux pommes et trois poires pour faire cinq fruits. Elle n’a pas tort.

APRÈS tout, si j’ajoute des poireaux, des navets, des carottes à quelques morceaux de viande et que je laisse mijoter, j’obtiens un excellent pot-au-feu. Par contre, même si je suis prêt à diviser une longueur par un temps pour obtenir une vitesse, je vois mal ce que serait le résultat de la multiplication d’un poireau et d’une carotte. Tout est affaire de contexte, bien sûr.

Transgressons les tabous imposés par l’école primaire !

Pourquoi pas ? Ne vous a-t-on pas appris à l’école primaire que la soustraction $3-7$ est « impossible » puisque $7$ est plus grand que $3$ puis, quelques années plus tard, que le résultat de cette soustraction est le nombre négatif $-4$ ? Ne vous a-t-on pas appris au collège que les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée alors que plus tard, au lycée, en classe scientifique, vous avez peut-être appris qu’en fait ces racines carrées sont des nombres « complexes » ? Les mathématiciens ont des pouvoirs étranges : ils peuvent créer des objets qui semblaient impossible. Alors, essayons d’ajouter des poires et des pommes, juste pour voir comment les mathématiciens peuvent « créer » de nouvelles chimères.

Si une pomme plus une poire font deux fruits, qu’est-ce que la somme d’une longueur de $1\,m$ et d’une superficie de $2 \, m^2$ ? Eh bien, disons que c’est :

\[ 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 \]
tout simplement. Et si j’ajoute $3{\bf m}^3$ et que je retire $6$, le résultat est :

\[ {-} 6 + 1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3. \]

Nous venons d’« inventer » les polynômes de la variable ${\bf m}$. Deux tels polynômes peuvent toujours être ajoutés, comme par exemple :

\[ (2+1 {\bf m} + 2 {\bf m}^2 +3 {\bf m}^3) + (3+1 {\bf m}^2+4{\bf m}^3)= 5 + 1 {\bf m} +3{\bf m}^2+7{\bf m}^3. \]

Mais on peut aussi les multiplier :
\[ (1+1{\bf m})(1-1{\bf m})=(1-1{\bf m})+ 1 {\bf m}(1- 1 {\bf m})= 1-1{\bf m}+ 1 {\bf m}- 1 {\bf m}^2= 1-{\bf m}^2. \]

Ceci n’est pas encore satisfaisant car nous avons oublié les kilogrammes et les secondes. Qu’à cela ne tienne : considérons des expressions comme :

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s} \]

Ce sont les polynômes en les trois variables ${\bf m},{\bf kg},{\bf s}$. On peut les ajouter et les multiplier en toutes circonstances.

Ce n’est pas encore satisfaisant ? Nous n’avons pas mis les exposants négatifs, comme les vitesses $m.s^{-1}$ par exemple [1]. Ajoutons-les et considérons des « êtres mathématiques » comme :

\[ 1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}. \]

On construit ainsi ce que les mathématiciens appellent les « polynômes de Laurent », du nom de Pierre Alphonse Laurent, un mathématicien-militaire-ingénieur du dix-neuvième siècle.

Avons-nous terminé ? Pas encore, car nous devons aussi nous autoriser à faire des divisions comme par exemple :

\[ \frac{1 + 3 {\bf m} -5 {\bf kg}^{-1} + 6{\bf s}- 2{\bf m}^2.{\bf s}^{-2}- 7{\bf m}.{\bf kg}.{\bf s}}{3 {\bf m} -5 {\bf kg}.{\bf s}^{-1}+6{\bf m}^2} \]

Nous sommes dans le domaine des fractions rationnelles que nous pouvons encore ajouter, soustraire, multiplier et diviser en toutes circonstances (en évitant bien sûr, comme toujours, de diviser par zéro, un autre tabou de l’école, que nous ne transgresserons pas ici...). On dit qu’elles constituent le corps des fractions rationnelles en trois variables et on le note ${\bf R}({\bf m},{\bf kg},{\bf s})$.

Mais à quoi ces élucubrations pourraient-elles servir ? Y a-t-il vraiment une utilité à ajouter des mètres et des mètres carrés ?

Voici un exemple.

Regardez un carré d’un mètre de côté. Il a quatre sommets (des points sans dimensions), quatre arêtes d’un mètre de long, et il fait un mètre carré. Si je fais la somme de tout cela, je trouve :

\[ 4+4{\bf m}+1{\bf m}^2. \]

Comme je me souviens (à peu près) des « identités remarquables » que j’ai apprises au collège, je constate avec étonnement qu’il s’agit d’un carré parfait :

\[ (2+1 {\bf m})^2. \]

Qu’est-ce que ce $2+1 {\bf m}$ ? Eh bien, si je regarde maintenant un segment d’un mètre de long, il possède deux extrémités et il fait un mètre de long et quand je somme ça, je trouve $2+1{\bf m}$. Est-ce si surprenant ? J’ai simplement écrit de manière algébrique qu’un carré est le produit de ses deux côtés.

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Essayons avec un rectangle de côtés $l$ et $L$ mètres. Les côtés ont chacun deux sommets et une longueur si bien qu’on leur associe $(2+l {\bf m})$ et $(2+L{\bf m})$. Le produit est

\[ (2+l \,{\bf m})(2+L\, {\bf m}) = 4 + 2(l+L)\, {\bf m} + lL\, {\bf m}^2. \]

Effectivement, le rectangle a bien quatre sommets, un périmètre de $2(l+L)$ mètres et une superficie de $lL$ mètres carrés.

Un autre exemple : le cube de côté $1$ mètre a $8$ sommets, $12$ arêtes de $1$ mètre , $6$ faces de $1$ mètre carré et un volume de $1$ mètre cube. Au total, cela fait :

\[ 8+12\, {\bf m} + 6\, {\bf m}^2 + 1\, {\bf m}^3. \]

Baptisons Volume gradué ce polynôme associé au cube. Pourquoi gradué ? Parce qu’on peut considérer qu’il contient toute l’information « volumique » du cube sur l’échelle des dimensions, les sommets, les arêtes, les faces et le volume. Il contient ces fruits défendus, somme de mètres, de mètres carrés et de mètres cubes...

Là encore, un brin de calcul algébrique montre que ce polynôme est :

\[(2+1\, {\bf m})^3.\]

Et ce fait algébrique illustre le fait géométrique qu’un cube est le produit de trois intervalles.

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Ainsi donc, à chaque polyèdre, on peut associer un « volume gradué » qui est la somme des mesures de toutes ses faces, en ajoutant tout, quelles que soient les dimensions : sommets, arêtes etc. C’est un polynôme en la variable ${\bf m}$. Et ce que nous venons de voir sur deux exemples, c’est que le volume gradué d’un produit se calcule simplement en multipliant les volumes gradués des facteurs.

Encore un exemple avec un prisme droit de hauteur $H$ mètres, à base polygonale (un hexagone d’aire $A$ mètres carrés et de périmètre $P$ mètres par exemple).

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La formule est :

\[(2+ H \, {\bf m}) (6 + P \, {\bf m} + A \, {\bf m}^2) = 12 + (6H+2 P)\, {\bf m} + (HP+ 2A)\, {\bf m}^2+ HA \, {\bf m}^3.\]

Qu’y apprend-on ? Par exemple que la « surface » du cylindre est $H P + 2A$ mètres carrés, somme de la surface latérale $HP$ et des deux bases $2A$. Cela aussi mon instituteur me l’avait appris...

On le voit, nous avons fait de l’algèbre avec de la géométrie et de la géométrie avec de l’algèbre : un mélange que les mathématiciens adorent. Pour l’instant, cela ne mène pas à grand-chose mais j’essaierai de vous parler de choses plus subtiles sur l’algèbre de polyèdres dans un autre article...

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Rappelons qu’un exposant négatif est associé à une division : multiplier par $s^{-1}$ revient à diviser par $s$ si bien que $m.s^{-1}$ désigne la même chose que $m/s$ : des mètres par seconde.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Longueurs, surfaces et volumes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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  • Longueurs, surfaces et volumes

    le 16 septembre 2009 à 18:33, par Michelle Schatzman

    Cher Étienne,

    peut-être que tu pourrais expliquer de ton point de vue comment les mathématiciens en viennent à proposer des objets « impossibles », « interdits », mais qui finissent par devenir tout à fait concrets et acceptés.

    Ma réaction initiale, certainement trop concise et trop peu argumentée, était que ce n’est pas par hasard que les « objets interdits » peuvent fonctionner. Alors, comment l’« objet interdit » apparaît-il dans une tête mathématicienne ?

    Je pense qu’il y a beaucoup de métamathématiques dans la pensée mathématique, à savoir des idées absolument pas formalisables. Il y a par exemple tout un répertoire d’analogies : la plupart des mathématiciens ont une foule d’exemples en tête. Dans ma pratique d’élaboration scientifique, je calcule beaucoup, j’écris beaucoup et de façon répétitive, et je suis maintenant persuadée que c’est une espèce d’autoéducation dont l’effet est de changer la force des synapses, dans un enchaînement plus oculo-moteur que langagier.

    Je dirais que je me fais ma propre plasticité neuronale quand je travaille. Je suis absolument incapable de commencer quelque chose de neuf sans écrire des dizaines et des dizaines de pages, qui ne sont même pas des brouillons, mais des feuilles d’autoenseignement. Elles finissent dans la poubelle. Et au bout d’un certain temps, dans les bons cas, j’ai tellement tourné et retourné le problème qu’il est là et bien là dans ma tête, et que je n’ai plus besoin de mes bouts de papier.

    Je pense que si je rencontre une analogie, qui va me permettre de fabriquer un « objet interdit », c’est parce que j’ai dans ma tête un ensemble de comportements oculo-moteurs dans lesquels se code mon activité mathématique. Et là, les ressemblances entre des comportements oculo-moteurs conduisent probablement à un renforcement de synapses. On sait que le cortex sait très bien faire les comparaisons.

    Il me semble qu’il y a quelque part, une machinerie synaptique qui se met en route, et qui me signale « là, tu vois, il y a un motif qui ressemble bougrement à un autre motif qui etc... », et si je crois ce que me dit cette machinerie synaptique, je dois me mettre en quête de l’outillage technique qui va me permettre de voir si le signal avait raison ou pas.

    Très souvent, un résultat mathématique repose sur la création d’un objet interdit. Il faut donc avoir de l’imagination pour se dire « hum, ça a l’air interdit, mais je crois que je vois pourquoi on pourrait passer par dessus l’interdiction », et en même temps, il faut que cette imagination soit maîtrisée et efficace, parce que sinon on peut passer des éternités à essayer des machins qui ne marchent pas. J’ai toujours cru que je me coulais dans les objets mathématiques, que je les chevauchais, que j’apprenais leur comportement, que je voulais voir par leurs yeux. Je ne me les figure pas de manière anthropomorphique, mais comme des bestioles sauvages dont je dois comprendre le comportement pour les apprivoiser et les conduire là où je veux les conduire.

    Je ne sais pas si ça éclairera nos lecteurs... et à part ça, je n’ai rien, mais alors rien de rien contre les fractions rationnelles de machins formels et non commutatifs. En fait, je les ai appris dans Graham, Knuth et Patashnik, avec un sentiment d’émerveillement total. Fabriquer un « objet interdit » qui marche et s’en servir est un moment d’émerveillement, on a l’impression de se trouver dans un monde neuf. Et comme on n’a pas tout le temps ce type de chance et de réussite, il reste à apprendre les « objets interdits » que les autres ont imaginé. Je placerais très haut dans l’échelle du plaisir mathématique l’apprentissage, ou encore mieux, la fabrication d’un « objet interdit » qui marche et qui donne une compréhension plus profonde et plus efficace de ce qu’on savait avant.

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