Los martes ’’Matemáticas e Industria’’

Traducciones de algunas ’’Historias de Suceso’’

Le 6 novembre 2012  - Ecrit par  Paul Vigneaux
Le 4 octobre 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Les Mardis « Maths et Industrie » Voir les commentaires
Lire l'article en  

Publicamos una serie de Notas dedicada a los testimonios de intercambios fructíferos entre industria y matemáticas a nivel europeo. A través de estos textos se verá un panorama del impacto de las matemáticas tanto en la industria como en la sociedad. Las matemáticas tienen un claro potencial para dinamizar una innovación basada en los últimos avances académicos, es decir, una llave para una economía competitiva en un mercado globalizado.

JPEG - 50.9 ko

Las Notas son traducciones de las « Success Stories » recogidas en el marco del proyecto Forward Look « Mathematics and Industry ». Más exactamente, la Fondation pour la Science Européenne (ESF) financió un programa llamado ’’Forward Look’’ (vea más abajo) acerca de las Matemáticas y la Industria, y le ha confiado la coordinación científica al Comité de Mathématiques Appliquées de la Société de Mathématiques Européenne (EMS). Quienes han coordinado y favorecido el recuento de experiencias comunes entre industriales e investigadores en los laboratorios de matemáticas de las organizaciones académicas europeas son miembros de este Comité, acompañados especialmente por otros matemáticos cercanos al ECMI (European Consortium for Mathematics in Industry). Debemos agradecer a los autores de esas historias (investigadores e ingenieros vinculados a esos éxitos), así como a todos los actores nombrados, por habernos autorizado a publicar traducciones en francés en Images des Mathématiques. Y en especial, a Maria J. Esteban (CNRS y Université Paris - Dauphine) por haber hecho posible esas traducciones.

La ESF (European Science Foundation) es una organización no gubernamental independiente cuyos 79 miembros son las agencias de financiamiento, los operadores de investigación, academias y sociedades científicas de 30 países. Su fuerza reside en la influencia de sus miembros y su capacidad de reunir los diferentes campos de la ciencia europea para responder a las grandes preguntas del mañana. La acción estratégica de la ESF está ilustrada por una actividad faro : las ’’Forward Looks’’. Ellas permiten a la comunidad científica europea, en interacción con los actores políticos, desarrollar análisis a mediano y largo plazo para los proyectos de investigación futuros. El objetivo es definir las agendas de investigación en los niveles nacionales y europeo. Los ’’Forward Looks’’ son guiados por sus Organizaciones Miembros y, por extensión, por la comunidad académica europea.

La EMS (European Mathematical Society) es una sociedad científica que representa a los matemáticos de toda Europa. Promueve el desarrollo de todos los aspectos de las matemáticas en el continente, en especial la investigación, las relaciones entre matemáticas y la sociedad, las relaciones con las instituciones europeas y la formación en matemáticas. Los miembros de la EMS se reparten entre 60 sociedades matemáticas en Europa, 20 centros de investigación en matemáticas y 3000 lo son a título personal.

Para acompañar esta serie de textos nos parece útil dar una breve descripción del enfoque de modelización en el amplio sentido, ya que a menudo es mencionada implícitamente en una historia concebida para ocupar una página.

La modelización, en sentido amplio, consiste en considerar un fenómeno —perteneciente a la física, la biología o las finanzas, por ejemplo—, extraer los parámetros preponderantes de manera de construir ecuaciones matemáticas que lo rijan y finalmente poner en marcha métodos con buenas prestaciones de resolución de esas ecuaciones. Los cálculos obtenidos son entonces una simulación de ese fenómeno, que puede ser comparada con lo que ocurre en la realidad.

¿Cuáles son las ventajas de la modelización ? Permite obtener resultados que no pueden ser medidos (o difícilmente) en la realidad ya sea por inaccesibilidad en el sistema (algunas partes de un motor) o por el carácter extremo de la situación (reacción nuclear... o reentrada de una cápsula en la atmósfera). Es además, gracias a la modelización, que el tiempo de puesta en el mercado de un automóvil pasó de varios años a algunos meses : los tiempos de concepción han disminuido fuertemente. Por otra parte, se mejora los costos en forma notable porque en realidad no se destruye los prototipos (pensemos en los crash-tests de automóviles contra murallas, que de ahora en adelante son realizados ’’virtualmente’’ por computador).

Un ejemplo en pocas palabras

El fenómeno : un escurrimiento de dos fluídos que se encuentran y se mezclan de manera inmiscible (como agua y aceite). Se puede pensar en un carburante inyectado en un motor de automóvil, como aquí (detalles en la página de S. Zaleski).

La construcción de ecuaciones que rigen el fenómeno : estamos en presencia de un problema de mecánica de fluidos cuyas ecuaciones genéricas son conocidas desde hace más de un siglo y se llaman las ecuaciones de Navier-Stokes (En realidad, para el ejemplo de arriba, una versión un poco más sofisticada. Todavía no se ha encontrado solución analítica al sistema completo. Sólo algunos casos simplificados han podido ser resueltos de manera exacta. Otras soluciones han sido aproximadas numéricamente gracias al desarrollo de los computadores y sobre todo de los métodos de resolución derivados del análisis numérico, del cual hablaremos en la etapa siguiente). Sin entrar en los detalles de esas ecuaciones, diremos simplemente

  • que ellas traducen dos principios físicos fundamentales : la conservación de la masa y la de la cantidad de movimiento (Segunda Ley de Newton) ;
  • que al resolverlas, se determina las incógnitas que son la velocidad, la presión y la posición de los dos fluidos.

La resolución de las ecuaciones recurre a muchas facetas de las matemáticas :

  • el análisis de ecuaciones en derivadas parciales (EDP) que rigen el fenómeno, lo que permite demostrar la existencia y la unicidad de las soluciones ;
  • el análisis numérico, que permite construir métodos de resolución programables en computadores ;
  • la informática, que permite programar esos métodos y hacer ejecutar los cálculos por los computadores.

Por otra parte, a la luz de la anterior descripción, agregamos un pequeño léxico de algunos términos frecuentes asociados a la modelización, que se encuentran a lo largo de esas Success Stories (por necesidad de concisión, no vamos a explicar todos los términos específicos a la aplicación referida en cada testimonio). Probablemente habrá que dedicar un artículo entero para describir más ampliamente las siguientes nociones.

  • Biblioteca (o Código) de cálculo. Un conjunto ordenado de líneas de código informático que implementan varios solvers en un computador. Estas bibliotecas pueden ser pagadas (ya sea compradas bajo la forma de licencias) o desarrolladas internamente por una empresa o un laboratorio.
  • Discretización. Cuando un modelo matemático es continuo, como el caso de una EDP, significa que describe un fenómeno para un número infinito de puntos (en espacio como en tiempo). Como un computador no puede hacer un cálculo con un número infinito de puntos, hay que transformar las ecuaciones continuas en una versión discreta (tan fiel a la versión continua como sea posible) para hacer una simulación. Es lo que se llama hacer una discretización del problema. En el transcurso de ese proceso, un campo en espacio continuo (un disco) es aproximado mediante un entramado como aquí. Se puede hacer algo parecido con un avión, como acá.
  • Condiciones en los límites. Durante la construcción de las ecuaciones, mencionada en la descripción de arriba, una etapa importante es la escritura de las ’’condiciones en los límites’’ (en general se trata de los límites en ’’espacio’’ pero también puede ser en ’’tiempo’’ ; se habla entonces de ’’condiciones iniciales’’). Son fundamentales para que el problema completo pueda resolverse. Esas condiciones dan el valor de las incógnitas (o de sus derivadas, etc.) sobre los ’’bordes’’ del campo, es decir la frontera física del objeto estudiado y -cuando el fenómeno evoluciona en el tiempo- los valores en el instante donde se desea iniciar la simulación. Intuitivamente se comprende que es necesario, a pesar de todo, un poco de informaciones acerca de las incógnitas para ’’encuadrar’’ la resolución del problema. Un código no puede ’’inventar’’, por ejemplo, el valor de la velocidad en los bordes del inyector de carburante mencionado más arriba, o la posición inicial respectiva de la gasolina y del aire en la cámara de combustión.
  • EDP , por ecuaciones en derivadas parciales. Para construir un modelo matemático hay muchas grandes clases de herramientas. Las EDP son un ejemplo. Algunas son muy famosas : las ecuaciones de Navier-Stokes en mecánica de fluidos, las ecuaciones de Boltzmann para la dinámica de los gases y varias otras más. Entre las demás herramientas se puede mencionar los Modelos Discretos y Aleatorios.
  • Pre-processing o Pre-tratamiento. Un cálculo en computador para simular un fenómeno necesita preparar ciertos número de entidades antes de poder iniciar efectivamente ese cálculo. Se habla de pre-tratamiento. El ejemplo típico es la creación de un entramado 3D para describir la geometría de un avión antes de calcular la presión que se ejerce sobre su estructura.
  • Solver (anglicismo). Un solver es un conjunto de líneas escritas con un lenguaje de programación que implementa un método matemático de resolución a un problema dado. Un simulador o una biblioteca de cálculo pueden contener muchos solvers.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Los martes ’’Matemáticas e Industria’’» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - Gentileza del Dr. Johan Carlson - FCC Chalmers

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Dossiers

Cet article fait partie du dossier «Matemáticas e Industria» voir le dossier