Los poliedros

Le 4 mars 2020  - Ecrit par  Claudi Alsina
Le 7 janvier 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Les polyèdres Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicada por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Fueron agregados prefacios y listas bibliográficas. Le Monde dedica un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección, presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original. Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Será acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

¿Se puede admirar las mil facetas de la belleza geométrica ?

Prefacio de Valerio Vassallo, profesor titular de la Universidad Lille 1 y matemático residente en la Cité des Géométries

¿Las mil facetas de la belleza geométrica ? Hablar de belleza geométrica suena increíblemente difícil, pero hablar de las mil facetas de la belleza geométrica parece ser una empresa prácticamente imposible. Los matemáticos permanecen siempre poco conocidos, y tal vez por eso, mal queridos. ¿Por qué el compositor austríaco Franz Schubert y sus sinfonías son más conocidas que el matemático alemán Hermann Schubert y sus trabajos que llevan el nombre de ’’cálculo de Schubert’’ ? ¿Por qué las sinfonías de Schubert harían vibrar más que las magníficas ideas contenidas en los cálculos del matemático ? ¿Es un asunto de sensibilidad ? ¿De cultura personal ? ¿De atracción natural ? Esas preguntas no son nuevas. ¿Por qué preferir al compositor Schubert en vez de Mozart, al cineasta Clint Eastwood sobre Quentin Tarantino, al escultor Auguste Rodin en lugar de Edgar Degas, al pintor Pablo Picasso y no a Fernand Léger ?…

¿Qué es entonces la ’’belleza’’ ?

Algunos dirían que es un asunto de gusto y de entrenamiento de los cinco sentidos : audición, visión, tacto, gusto, olfato. Otros afirmarían que es cultural, es decir, que los conocimientos entran en juego de una manera determinante. Otros pretenderían que es genético, explicando que una pasión por tal o cual objeto pasaría de una generación a otra. Algunos incluso dirían que la atracción por tal o cual aspecto de la creatividad humana depende también de la persona que nos la hace descubrir y de la manera cómo se acerca al tema. Para hacer descubrir la belleza matemática, el autor eligió el amplio tema de los poliedros, y da a su obra un título que juega con las palabras : por un lado, las matemáticas se reservan para sí mil facetas de belleza, y por otra parte, los poliedros pueden poseer cuatro, cinco, ¡e incluso mil y más !

¡Qué mundo rico en sorpresas es el de esos objetos geométricos !

Uno encuentra las formas poligonales y poliedrales en todas partes de la naturaleza, así como en los objetos de la vida diaria. ¡Los poliedros son verdaderos diamantes ! Para encontrarlos hay que profundizar la pregunta, saber de qué se habla. Sin un poco de esfuerzo, las matemáticas se quedan escondidas, y aún más su belleza. Pero ¿por qué piden tanto esfuerzo, incluso a los matemáticos ? Para comprender mejor, uno podría atreverse a comparar a los matemáticos con los sommeliers. Estos últimos, antes de poder aconsejar a los clientes durante una cena, necesitan integrar una cantidad enorme de conocimientos : los procesos para transformar las uvas en vino, la ubicación del viñedo, las cepas autorizadas por apelación, las apelaciones por región, los platos regionales, el vocabulario adaptado para describir cada vino... Uno se asombra a menudo de los conocimientos de un matemático, pero los de un buen sommelier ¡son del todo comparables ! La recompensa para un sommelier debe ser parecida a la de un matemático que llega a distinguir una función de otra, una estructura algebraica de otra, un objeto geométrico de otro, y en cada caso, llega a dar con las propiedades características ¡que hacen que el objeto estudiado sea casi único y hermoso !

Para domesticar los poliedros, es aconsejable dar una vuelta por donde viven, ’’Poligolandia’’. Ahí uno encontrará el terreno donde los poliedros crecen, y las piezas fundamentales de las cuales están hechos : los polígonos. Hay toda clase de polígonos, desde los más famosos como los triángulos, cuadrados, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, decágonos, hendecágonos, dodecágonos... hasta los menos conocidos, con mil lados e incluso más. Una infinidad de ellos que son regulares, pero otros que -sin serlo- tienen igualmente su encanto.

Para apreciar los poliedros, es útil pasar por los polígonos, sin los cuales los poliedros no existirían. En esta obra, el viaje al país de los poliedros continúa con el descubrimiento de inmensos campos de la cultura, donde ellos viven aparte de las matemáticas, en el arte, en los juegos, en arquitectura, en el diseño... Se aborda también el hecho bien conocido desde la Antigüedad de que ¡hay solamente cinco poliedros regulares ! Ahí hay una primera sorpresa que se apreciará más, si uno busca comprender por qué no hay seis, siete o un millar. Recordemos que un poliedro está formado por vértices, aristas y caras. El cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. Si uno hace 8 + 6 – 12, encuentra 2. Cada uno de los cinco poliedros regulares tiene esta propiedad, es decir, ¡la suma algebraica indicada es siempre igual a 2 ! Pero la sorpresa es aún mayor cuando uno descubre que todo poliedro simple (es decir, sin agujeros) tiene esta propiedad. Esto fue descubierto por René Descartes (siglo XVI), luego demostrado por Leonhard Euler (siglo XVIII), generalizado por Henri Poincaré (siglo XIX), y fue objeto de una magnífica demostración por Augustin Cauchy en el siglo XVIII. La palabra ’’demostración’’ es con frecuencia difícil de entender, ya que evoca a veces malos recuerdos de la escuela. Sin embargo, ¡conocer al menos una demostración es uno de los secretos para apreciar la belleza de los resultados matemáticos !

Extracto del Capítulo 4 - Los poliedros en arquitectura y en arte

Richard Buckminster Fuller (1895-1983)

Intelectual estadounidense único en su género, Fuller se dedicó a la concepción, la ingeniería y la arquitectura. Él está al principio de numerosas invenciones y redactó libros consagrados a la defensa del medio ambiente.

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Sus domos geodésicos constituyen su más importante obra. Compuestos químicos han sido denominados fullerianos en su honor.
Su forma preferida fue siempre el tetraedro, que está en la base de muchas de sus creaciones.

Los domos de Fuller

Richard Buckminster Fuller, arquitecto e ingeniero estadounidense de genio, revolucionó (y patentó) la realización de entramados, creando nuevas formas con tetraedros o espectaculares domos, especialmente el del pabellón de EEUU para la Exposición Universal de 1967 en Montreal. La idea del domo geodésico, patentado por Fuller en 1947, era abandonar la construcción en piedra o en hormigón (exigiendo un apuntalamiento ingenioso) para privilegiar la estabilidad estructural de las formas poliédricas triangulares, determinadas ya sean por barras de acero o por la yuxtaposición de módulos tridimensionales adecuados.

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Un dôme de Fuller.

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Sommaire du livre
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro : Valerio Vassallo. Él contestará los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Los poliedros» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - Marion Bucciarelli

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