Los secretos del número Pi

Le 30 avril 2013  - Ecrit par  Joaquín Navarro
Le 8 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Les secrets du nombre Pi Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicada por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar, a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Fueron agregados prefacios y listas bibliográficas. Le Monde dedica un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección, presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.

Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Será acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del Capítulo 2 – La infinita insignificancia y la trascendencia de $\pi$

La cuadratura del círculo

Después de haber analizado la naturaleza de $\pi$ y probado que es trascendente, es evidente que toda tentativa de cuadratura del círculo es una tarea vana. Sin embargo, antes de Lindemann, no faltaron los voluntarios para consagrarse a esta búsqueda de muy buena fe que encontraron aproximaciones inteligentes del número $\pi$. La mayoría de ellos buscaba de hecho realizar la inaccesible cuadratura. Estaban afectados por lo que se llamó en broma el ’’morbus cyclometricus’’, o virus de la cuadratura del círculo. La descripción de esos ’’enfermos por la cuadratura’’ muestra que se trata de hombres de edad madura, que no conocen el significado de la palabra ’’imposible’’, con pocos conocimientos matemáticos, convencidos de la importancia del problema y de merecer una gorda recompensa si ellos lo resolvían, faltos de lógica, solitarios y —si no fuera suficiente— escritores prolijos. En resumen, un retrato poco ameno pero cercano de la realidad estadística histórica.

ARISTÓFANES Y LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

El dramaturgo griego Aristófanes (nacido hacia 446 AC y muerto hacia 386 AC) habló de la cuadratura del círculo de manera más bien graciosa en una de sus comedias, especialmente satírica. En Los Pájaros, pieza estrenada en 414 AC, los ciudadanos de Atenas, cansados de la agitación de la metrópolis, deciden construir una ciudad en los aires e irse a vivir allá. Muchos arquitectos y urbanistas ofrecen sus servicios al protagonista, Pistetero.

[METÓN] : Aquí estoy...
[PISTETERO] : ¡Entonces mi mala suerte no terminará nunca ! ¿Qué viene a hacer usted ? ¿Cuál es su propósito ?
[METÓN] : Vengo a medir su aire y a dividirlo en parcelas.
[PISTETERO] : ¡Por todos los dioses ! ¿Pero quién es usted ?
[METÓN] : ¿Cómo, quién soy ? Yo soy Metón, conocido en toda Grecia, a lo largo y a lo ancho.
[PISTETERO] : Muy bien. Y esto ¿qué es, entonces ?
[METÓN] : Esto es una regla flexible. Voy a explicarle. El aire en su conjunto es como un vasto horno y, utilizando mi regla flexible de esta manera, y mi compás así... ¿me entiende ?
[PISTETERO] : No le comprendo nada.
[METÓN] : Con esta otra regla trazo una línea recta, inscribo un cuadrado en el círculo y pongo en su centro la plaza. A esta plaza convergen todas las calles, tal como parten los rayos en todas direcciones a partir del centro de la estrella, que sin embargo es circular.
[PISTETERO] : ¡Por todos los dioses ! ¡Este hombre es un verdadero Tales !

El filósofo romano Boecio, Anicius Boethius en latín (nacido cerca de 480 y muerto en 524), antes de ser acusado de conspiración y ejecutado por Teodorico, afirmó en su obra Liber circuli que él había realizado la cuadratura del círculo pero que la demostración era bastante larga para reproducirla completamente en su libro. Esta formulación, retomada luego por Fermat a propósito de su famoso teorema, si se la añade al hecho de que la cuadratura se reveló indiscutiblemente imposible, hacen que la supuesta demostración de Boecio sea más que dudosa.

En una época más reciente, encontramos al eminente cardenal alemán Nicolas de Cues (1401-1464). Su muy alto nivel intelectual le valió ser citado por Kepler y Cantor entre otros, ya que propuso ideas muy avanzadas sobre el infinito. Excelente políglota, jurista, filósofo, astrónomo, él era más numerólogo que matemático. Como geómetra, trató de realizar la cuadratura del círculo y, según él, tuvo éxito. Pero su contemporáneo Johannes Müller von Königsberg (1436-1476) —que llevaba el seudónimo latino de Regiomontanus o también Regiomontano, mejor matemático que el cardenal y gran admirador de Arquímedes— refutó sus puntos de vista y demostró que no la había conseguido en su obra De cuadratura circuli. Es cierto, sin embargo, que la aproximación de $\pi$ a la cual llegó Nicolas de Cues —que él consideraba como definitiva— es excelente : 3,1423... Notemos que Regiomontanus, por su parte, había dado como valor aproximado 3,14243.

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Le cardinal Nicolas de Cues assura qu’il avait réussi à réaliser la quadrature du cercle.

En 1525, el gran artista alemán Albrecht Dürer (1471-1528) procuró también la cuadratura del círculo, pero advirtió enseguida que no era más que una construcción aproximada.

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Page de Underweysung der Messung de Dürer, où il montre sa quadrature du cercle approchée.

Un poco más tarde, en 1585, Adriaan Anthonisz (nacido hacia 1543 y muerto en 1620), padre de Adriaan Metius (1571-1635), calculó que $\pi$ se encontraba entre 377/120 y 333/106. Él facilitó la tarea a su hijo, a quien no le quedó más que hacer una especie de promedio de los numeradores y denominadores :
\[ \pi = \frac{\frac{1}{2}(377 + 333)}{\frac{1}{2} (120+106)}= \frac{355}{113} = 3,14159292... \]
Esto constituyó una buena aproximación, pero de ahí a lograr la cuadratura del círculo...

La historia más conocida respecto a la cuadratura del círculo tal vez es la que involucra a Thomas Hobbes (1588-1679), famoso filófoso y campeón del empirismo, y a John Wallis (1616-1703), eminente matemático inglés. Parece que Hobbes, hombre muy inteligente pero sin instrucción especial en geometría, proclamó en su De Corpore en 1655, que había demostrado la cuadratura del círculo, además de otras hazañas respecto de la rectificación de diversas curvas. Por supuesto, no era exacto y Wallis, en Elenchus geometriae hobbianae, denunció numerosos errores y deslizó algunos comentarios, malévolos pero justificados, acerca del talento de Hobbes para la geometría. Hay que decir que Wallis profesaba la doctrina presbiteriana, lo que lo volvía doblemente odioso a ojos de Hobbes, ya que eran enemigos incluso en el plano religioso. Hobbes era débil en matemáticas, había caído en las redes de Euclides recién a la edad de 40 años, pero otros filósofos fueron tan mediocres como él y no se supo nada de ellos. Por ejemplo, Marx sostuvo en pleno siglo XIX que el materialismo dialéctico podía deducirse de una ecuación de segundo grado. En el caso de Hobbes, el problema no es solo que él no quiso reconocerlo, sino que hizo de eso un problema personal y prolongó la polémica respondiendo a las acusaciones por escrito. Los documentos llevan, por otra parte, títulos divertidos y cada vez más venenosos : Markes on the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church-Politiks and Barbarismes of John Wallis (Observaciones sobre la geometría absurda, El lenguaje rural, La política de la Iglesia escocesa y Los barbarismos de John Wallis). La polémica presentaba aspectos humillantes y sin embargo reales, como cuando Wallis acusó a Hobbes de plagiar a sus contemporáneos : ’’Cuando algo verdadero aparece en eso que usted dice, no es suyo, sino obtenido de otros.’’

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Thomas Hobbes (à gauche) et John Wallis ont été les protagonistes d’une sérieuse polémique faisant intervenir injure et calomnie. La responsabilité d’une telle sottise revenait à la quadrature du cercle.

JOHN WALLIS (1616-1703)

El famoso símbolo que representa el infinito, $\infty$, nos servirá para presentar al excelente matemático inglés que lo introdujo. Ligado a la Royal Society, Wallis trabajó en descifrar mensajes —sobre todo en los campos científicos de moda en su época— relacionados con el cálculo infinitesimal, al cual aportó nuevos e interesantes conceptos. Él se distinguió en el área de las series y más concretamente en el de los productos infinitos. Nos legó esta fórmula, tan bella como útil :

\[\prod_{n=1}^\infty \frac{(2n)(2n)}{(2n–1)(2n+1)} = \frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times \frac{4}{3}\times \frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\frac{8}{7}\times\frac{8}{9}\times \ldots \,=\,\frac{\pi}{2} .\]

Wallis era también muy bueno en cálculo mental, tal vez porque sufría de insomnio. Igualmente era gramático y —hecho bastante raro— se dedicó mucho a la educación de los sordomudos.

Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), un jesuita belga —a quien debemos, entre otras, las coordenadas polares— dio nacimiento a un nuevo sistema cercano al de la integral. Encontró la cuadratura de la hipérbola (correctamente) y pretendió haber encontrado la del círculo. Sus contemporáneos expresaron su escepticismo y finalmente Huygens encontró el inevitable error de razonamiento. Si lo citamos aquí es por la excelencia de su trabajo y porque demostró muchas otras cosas, exactas e interesantes matemáticamente.

Un ejemplo típico de cuadratura del círculo nos viene de Jacob Marcelis (nacido en 1636 y muerto hacia 1714), un fabricante de jabones que afirmó que :
\[ \pi = 3 \times \frac{1\,008\,449\,087\,377\,541\,679\,894\,282\,184\,894} {6\, 997\,183\,637\,540\,819\,440\,035\,239\,271\,702}. \]

El comentario siguiente, poco caritativo hacia él, fue publicado en la antología de horrores matemáticos de De Morgan, A Budget of paradoxes : ’’Hay que esperar que sus jabones sean mejores que sus valores de $\pi$’’.

Las estupideces se acumulan con el tiempo y se llega así a Mathulon, quien en 1728 afirmó que había descubierto, al mismo tiempo, el secreto del movimiento perpetuo y de la cuadratura del círculo. Además, ofreció una recompensa a quien pudiera refutar una sola etapa de su razonamiento, lo que constituyó una prueba simbólica emocionante de su seguridad. No hace falta decirlo : fue hecha la demostración de que su razonamiento era falso y tuvo que pagar. No es sorprendente que la Academia Francesa en 1753 haya decidido no encargarse más de verificar las demostraciones de la cuadratura del círculo. Tal vez tuvo miedo ante la creciente cantidad y el costo de sus correcciones, o bien los académicos deseaban protegerse de ciertas personas insistentes, como un denominado Vausenville, quien los persiguió reclamando el premio para quien descubriera primero la famosa cuadratura del círculo.

El desfile no se terminó con Lindemann, pero al menos se sabía que las demostraciones propuestas no podían ser más que falaces. Sin embargo, es necesario poner aparte a quienes, como Srinivasa Ramanujan (1887-1920), sabían bien que no era imposible, pero que buscaban construcciones con una exactitud sorprendente. Éste último propuso una construcción con la cual se obtiene :

\[ \pi ≈ \sqrt[4]{9^2 + \frac{19^2}{22}} = 3,1415926525826... \]

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Construction de la quadrature du cercle approchée de Ramanujan. L’erreur est seulement de 0,0000000010072 !

Extracto del Capítulo 5 - $\pi$, la obsesión

$\pi$ es realmente un número muy especial. Ya hemos dicho que era el más conocido y el más citado, el más famoso de todos los números. El entusiasmo, la pasión, el verdadero fanatismo del cual $\pi$ y sus cifras son objeto, han dado nacimiento al término ’’pimanía’’ que describe la obsesión en torno a este número. Un paseo por ese mundo, a medio camino entre la extravagancia y la seriedad académica, es tan divertido como interesante. Puede parecerle exagerado al lector que semejante lugar esté dedicado a aspectos tan poco matemáticos, pero la realidad es así : $\pi$ es verdaderamente más que un simple número.

Alrededor de $\pi$

Alrededor de $\pi$ se ha instalado también el mundo del marketing. Se puede encontrar prendas de vestir impresas con ideogramas de $\pi$ (incluso para las mascotas), colleras para camisa, tazas, teteras, relojes, mousepads, delantales, osos de peluche, cojines, estuches, azulejos, bufandas, afiches, adornos para automóvil y tantos otros objetos más.

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Ce t-shirt $\pi$ ou cette tasse $\pi$ ne sont que deux des innombrables objets commercialisés avec la lettre grecque qui symbolise la fameuse constante.
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Un poster pour les mathématiciens et les fanatiques du culte de $\pi$.

Los círculos dibujados en los campos de maíz por presuntos extraterrestres tuvieron, hace algunos años, su hora de gloria. El de la foto de la izquierda, una vez estudiado, reveló que estaba basado en las cifras de $\pi$. Algunos museos han rendido homenaje al número $\pi$, como lo muestra la espiral sobre el muro del Museo de las Matemáticas de Gleissen.

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El Mazda 3 posiblemente no corre por $\pi$, pero lo luce en su capó.
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El Día de Pi es el 14 de marzo, como lo confirma su instigador, el estadounidense Larry Shaw. En efecto, en EEUU, el 14 de marzo se escribe 3/14 o 3-14, que son las primeras cifras de $\pi$ . Este acontecimiento puede parecer absurdo, pero ya tiene un franco éxito y se ha propagado como un reguero de pólvora en los medios universitarios.

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Poster d’invitation à la fête du Jour de Pi, qui a lieu tous les 14 mars.

El plato preferido de los participantes en el Día de Pi es la pizza, guardiana de los secretos de $\pi$ por su forma circular. Esas conmemoraciones poco a poco han permitido el surgimiento de toda clase de iniciativas. Incluso se han impreso afiches exponiendo las propiedades de la pizza. El Día de Pi coincide con el cumpleaños de Albert Einstein, lo que sin duda contribuyó al éxito de esta festividad. El número $\pi$ está asociado también a otros productos gastronómicos, como el queso, el vino e incluso un perfume.

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Un « gâteau $\pi$ » pour fêter le Jour de Pi peut être servi dans une « assiette $\pi$ » comme celle-ci.

El símbolo $\pi$ goza de una reputación que no data de ayer : ya en 1915 era el emblema de un escuadrón de la RAF (fuerza aérea británica), el escuadrón 22. Cuando Google emitió acciones, las de la serie A iban hasta el número 14159265 (recordemos que $\pi$ = 3,14159265...). La formación matemática de los propietarios de Google se manifestó hasta en la Bolsa de Wall Street.

En 1982, en la época heroica de los juegos informáticos —cuando las consolas aún no nos habían invadido y reinaban aquellos queridos ZX Spectrum o Dragon 32— la compañía Automata UK creó un juego a partir de $\pi$ llamado Pimanía, uno de cuyos personajes es precisamente el héroe Pi-Man. Actualmente, el juego apenas ha envejecido y no sería sorprendente que alguien decida relanzarlo.

Tal vez el hecho más sorpresivo de este culto profesado a $\pi$ es la utilización no comercial de un motor de búsqueda informatizado con cifras de $\pi$, destinado a encontrar una secuencia dada de cifras entre aproximadamente ocho millones de sus primeros decimales. Si alguien desea saber dónde —en la secuencia infinita de cifras de $\pi$— se encuentra aquella formada por el día, mes y año de su nacimiento, basta con entrar en Internet, al motor de búsqueda informática The $\pi$ -searcher, escribir ese número y si se encuentra entre los primeros millones de cifras (al principio, 8 millones, pero luego 200 millones y eso sigue aumentando) un mensaje le dirá dónde encontrarlo. Si no está, también se lo indicarán.

Por supuesto, si usted escribe su fecha de nacimiento abreviada (por ejemplo, para 18/11/46, el número 181146), la probabilidad de obtener una respuesta es de prácticamente 100 %. Si usted busca sólo cuatro cifras (supongamos que usted nació el 1/3/56, o sea el primero de marzo de 1956), el motor de búsqueda le dará ciertamente una respuesta. En efecto, en los 60 872 primeros decimales sucesivos de $\pi$, todas las combinaciones posibles con cuatro cifras ya están presentes y existen en el motor de búsqueda. En cambio, si usted elige la forma completa (18/11/46 por ejemplo, que da 18111946), la probabilidad de encontrarla cae a 63 %. Mientras la secuencia buscada sea más larga, más débil será la chance de encontrarla.

Una variante de este pasatiempo consiste en localizar en la serie de decimales de $\pi$ un número de teléfono o el número de matrícula de un automóvil, pero eso no aporta ninguna novedad a lo que ha sido descrito para la fecha de nacimiento.

Utilizando las capacidades de un motor de búsqueda ultrarrápido para encontrar el desarrollo decimal de $\pi$, se ha visto curiosos bucles. Por ejemplo, se encontró uno que comienza con el número ’’40’’ en la 70a posición. Luego, se busca ’’70’’ y así sucesivamente, iniciando una búsqueda que parece interminable. Sin embargo, en realidad tiene fin. Dan Sikorski encontró la secuencia siguiente : 40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40, que después de varios desvíos se devuelve entonces a su origen. Ahí está un bucle a la espera de un estudio probabilístico de su caso.

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PDF - 1.5 Mo
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Para profundizar más

Post-scriptum :

El extracto propuesto fue escogido por el autor del prefacio del libro Shalom Eliahou. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Los secretos del número Pi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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