En realidad, lo que no existe son los triángulos equiláteros sobre una pantalla de computador. En efecto, en la formulación de Édouard Lucas de 1878 [1]:

Teorema: ’’Los vértices o los centros de un tablero cuadriculado cualquiera nunca son vértices de un triángulo equilátero.’’

En otras palabras, respecto a la parte del enunciado sobre los vértices del tablero de ajedrez, no hay ningún triángulo equilátero cuyos vértices sean vértices de un tablero cuadriculado. La parte relativa a los centros de los cuadrados del tablero de ajedrez se deduce fácilmente, ya que estos son los vértices de otra cuadrícula, de tamaños iguales a los de la cuadrícula original. Esto se aprecia en la siguiente figura, la que representa algunos de los vértices de esta segunda cuadrícula, un triángulo cuyos vértices se eligen entre ellos, y uno de los nuevos cuadrados:

Si bien la pantalla de cualquier computador da la impresión de ser un mar tranquilo en el que se desarrollan los reflejos del mundo, no es sino un gran tablero de ajedrez con pequeñas cajas, llamadas píxeles [2]. Cuando creemos que vemos un triángulo equilátero, lo que se ha elegido son tres cuadros de este tablero de ajedrez para representar sus vértices. El teorema anterior afirma entonces que los centros de estos cuadros no son los vértices de un triángulo equilátero verdadero. Por lo tanto, existe un conflicto irreconciliable entre el plano de la geometría euclidiana, en el que se pueden dibujar triángulos equiláteros, y el plano digital de las pantallas de los computadores.

Quisiera explicar aquí una prueba que me gusta mucho para el teorema precedente [3]. Ella ilustra la necesidad de descompartimentar el pensamiento matemático, de no cerrarse en que tenemos por un lado el estudio de los números y por otro el de la geometría. Me parece esencial mostrar a los niños esta evidencia temprano, hacerles sentir poco a poco lo que significa pensar, imaginar, comprender, y hacer que quieran pensar, imaginar y comprender mucho. Solo así podrán flotar en la ola eterna de todo tipo de problemas que nos acosan.

Para probar el teorema, supondremos que existe un triángulo equilátero cuyos vértices son los vértices de una malla cuadriculada.

Llegaremos a una contradicción al probar sucesivamente que:

Recuerde que un número es dicho racional cuando es el cociente $ p/q $ de dos enteros, con $q$ distinto de cero. En caso contrario, es irracional. Los números con los que jugaremos serán, por un lado, áreas de triángulos o rectángulos y, por otro lado, longitudes de segmentos. La unidad de medida para áreas será el área de un cuadrado de la cuadrícula. En cuanto a las longitudes, será la de un lado de dicho cuadrado.

Probemos primero el Lema A. La idea es rodear el triángulo en el rectángulo más pequeño posible que esté limitado por segmentos del cuadriculado:

El área del triángulo es igual a la diferencia entre el área de este rectángulo y la suma de las áreas de los tres triángulos azules. Como el área del rectángulo es igual al producto de la longitud de sus lados, es un número entero. Los tres triángulos azules son triángulos rectángulos, por lo que el área de cada uno de ellos es igual a la mitad del producto de las longitudes de los lados de su ángulo recto [4]. Esto implica que sus áreas son racionales. Por lo tanto, el área del triángulo inicial también es racional, pues es la diferencia de números racionales [5].

Esto concluye la prueba del Lema A.

Probemos ahora el Lema B.

Olvidemos el cuadriculado y calculemos el área del triángulo equilátero $\Delta$ (cuya existencia es supuesta) mediante la fórmula del área de un triángulo [6]:
\[ Área \, (triángulo) = \frac{1}{2} \left( base \cdot altura \right). \]

Denotemos por $a$ la longitud común de los lados de $\Delta$, y por $h$ la longitud común de sus alturas. Expresaremos $h$ en función de $a$. Para esto, tracemos una de las alturas. Ella divide al triángulo equilátero en dos triángulos iguales. Concentrémonos en uno de ellos:

Los lados del ángulo recto miden $h$ y $a/2$. En cuanto a la hipotenusa, ella mide $a$. Por el Teorema de Pitágoras [7], tenemos
\[ \left(\frac{a}{2} \right)^2 + h^2 = a^2. \]
Por lo tanto,
\[ h^2 = \frac{3 a^2}{4}.\]
Tomando la raíz cuadrada, obtenemos
\[ h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} .\]
Es de esta forma que la altura $h$ se expresa en términos del lado $a$. Deducimos que el área de $\Delta$ puede escribirse así:
\[ Área (\Delta) = \frac{1}{2} \left(a \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} \right) = \sqrt{3} \cdot \frac{a^2}{4}. \]

Sin embargo:

— $\sqrt{3}$ es un número irracional. De manera más general, $\sqrt{N}$ es un número irracional cada vez que $N$ es un número natural que no es el cuadrado de otro número natural [8].

— $a^2$ es un entero. Para ver esto, observemos uno de los tres triángulos azules que aparecen al inscribir el triángulo equilátero en un rectángulo. Su hipotenusa tiene longitud $a$. Usando nuevamente el Teorema de Pitágoras, vemos que $a^2$ es la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Sin embargo, estos lados son enteros y, por tanto, sus cuadrados también lo son, al igual que su suma $a^2$. Por lo tanto, $a^2/ 4$ también es un número racional.

La fórmula
\[ Área (\Delta) = \sqrt{3} \cdot \frac{a^2}{4} \]
recientemente obtenida permite concluir que el área de $\Delta$ es irracional, pues es el producto del número irracional $\sqrt{3}$ por el número racional no nulo $a^2/4$ [9]. El Lema B queda así demostrado.

Resumamos:

Hemos demostrado que el área del triángulo $\Delta$ es a la vez racional e irracional. Esto es imposible, pues ningñun número puede ser, a la vez, racional e irracional (a diferencia de los seres humanos...). La hipótesis de que el triángulo $\Delta$ no puede, por tanto, ser válida. Esto demuestra entonces que no existe triángulo equilátero alguno cuyos vértices sean vértices de un cuadriculado.

Para terminar, propongo dos temas de reflexión.

— En primer lugar, queremos buscar los ingredientes de la prueba precedente que aparecen también en la prueba dada por Lucas en su artículo de 1878:

’’En efecto, si situamos a uno de los vértices en el origen y denotamos por $(a, b)$ y $(c, d)$ las coordenadas de los otros vértices, debiéramos tener
\[a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = (a-c)^2 + (b-d)^2, \]
o
\[ a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2 (ac + bd) , \]
y por tanto
\[ 3(a^2 + b^2) = (a+c)^2 + (b+d)^2. \]

Luego, el número $3$ dividiría a la suma de los dos cuadrados, que uno puede considerar como siendo primos entre ellos, lo cual es imposible.’’

— Ahora, se trata de intentar probar el teorema siguiente: