MAN : Much About Nothing

Trois fois rien à propos de Johannes Kepler

Le 27 décembre 2009  - Ecrit par  François Sauvageot Voir les commentaires (1)

Trois fois rien à propos de Johannes Kepler : l’astronome, le mathématicien, l’homme.

Johannes Kepler est né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt (près de Stuttgart en Allemagne). Il publie le 4ème jour d’avril de l’an 1609 de l’ère Denysienne un ouvrage que je considère comme fondateur de l’astrophysique : Astronomia Nova [1].

En cette année mondiale de l’Astronomie, on aurait pu penser naïvement que c’était ce quadricentenaire là que l’on fêtait. Il n’en est rien ! Nous fêtions Galilée et sa lunette ! Et pourtant, quoiqu’en pensent les Nations Unies, il y aurait matière à fêter ce monument de Kepler, fruit d’une lutte de presque 10 ans, cet ouvrage qui livre un très noble prisonnier au très auguste Rodolphe II, empereur des romains, roi de Germanie, de Hongrie et de Bohème : Mars. On y trouve deux des renommées lois de Kepler :

1. les planètes se meuvent le long d’une ellipse dont un foyer est le Soleil,

2. le rayon reliant le Soleil et la planète balaie une aire proportionnelle à la durée.

Mais on trouve aussi d’autres bijoux. Au chapitre I, il produit une esquisse précise des mouvements de Mars entre 1580 et 1596 et annonce que, s’il est vrai que la Terre est immobile et si l’on continuait les mouvements plus longtemps, ils seraient embrouillés. En effet l’enchaînement est infini, il ne revient nulle part sur lui-même. C’est une des premières choses que veut affronter Kepler : le mouvement se doit d’être périodique ! On pourrait dire que c’est là la loi zéro de Kepler [2] : la trajectoire d’une planète est une courbe qui revient sur elle-même. Un peu plus loin, il est également le premier à émettre l’hypothèse d’une rotation du Soleil sur son axe.

Néanmoins il faut avouer que ce livre est très difficile d’accès. Le style de Kepler est foisonnant, riche, tout sauf épuré. Il tient à nous faire part de toutes ses errances, ses fausses routes, ses déductions. Mais pour nous aider il donne un tableau synoptique des chapitres, avec un résumé de l’argument d’une dizaine de lignes pour chacun d’eux. Un trésor, en vérité ! On n’écrit que trop rarement des livres ainsi. Les mathématiques, aujourd’hui, sont écrites dans leur état final, comme si on voulait effacer toutes les traces des errances, des erreurs. Comme si on devait avoir honte des recherches qui ont conduit à la découverte ! Quelle belle erreur ! Comment peut-on transmettre un quelconque savoir si on l’épure ainsi de toute humanité ? [3]

On apprend énormément en lisant Kepler. On apprend surtout en cherchant à comprendre ce qu’il a voulu dire, à interpréter ses métaphores. C’est que, comme le rappelait D’Arcy Wentworth Thompson [4], pour Kepler les analogies sont les pédagogues les plus fidèles, témoins de tous les mystères de la Nature [5]. Elles permettent de tisser un réseau de connexions et d’interdépendances qui serviront à s’approcher de la raison connaissant, même si elles laissent la raison efficiente enveloppée d’un épais mystère [6], et de parvenir à la recherche à la fois de relations entre choses apparemment indépendantes et de similitudes entre choses dissemblables aux yeux du commun des mortels.

Un passage peu cité de l’Astronomie nouvelle est une tentative de concilier les exigences physiques de Kepler et les exigences métaphysiques des mouvements circulaires uniformes. Même si certaines métaphores de Kepler font sourire à notre époque, même si certaines de ses questions se sont révélées moins pertinentes, il y a dans son attitude la volonté de trouver des causes physiques. Le Soleil pour Kepler est l’âme de notre système et il doit donc en être le centre. [7] Mais attention, il s’agit du Soleil vrai : pour les anciens, Copernic compris, le Soleil fait une petite rotation autour d’un point vide de l’espace, point que l’on appelle le Soleil apparent. Pour Kepler, le Soleil est au centre du système, il est la cause du mouvement et donc il ne bouge pas ! Une raison physique. [8] Pour satisfaire au mieux à toutes les contraintes, Kepler cherche donc : à avoir le Soleil vrai au centre, immobile et, alignés avec le Soleil, le centre du cercle que décrit la planète ainsi que son centre de mouvement uniforme. Ce dernier point, appelé point équant, est un point tel que le mouvement est uniforme par rapport à lui : l’angle que fait la planète dans le ciel varie proportionnellement au temps.

Cette hypothèse, que Kepler nomme hypothèse vicariante, est menée au bout. Kepler se plaint du nombre de calculs qu’il doit mener. Il utilise des méthodes d’approximations (dites de fausse position) pour calculer la position du centre de l’orbite et du point équant. Autant la méthode est assez rapide quand on étudie un problème avec une seule variable, autant elle est longue quand on a affaire à deux variables. Kepler se plaint de ne pas avoir les facilités de François Viète pour mener un calcul algébriquement et y passe plusieurs années. Toujours est-il qu’il y parvient. Il tombe sur un joli phénomène : Ptolémée plaçait le centre de l’orbite au milieu de l’astre central (la Terre pour Ptolémée) et de l’équant, Kepler montre que pour avoir un mouvement uniforme, il faut le placer de sorte que la distance à l’astre central soit les 2/5ème de la distance entre l’astre central et le point équant.

Il tombe sur une précision inégalée à l’époque. Pourquoi ? Avec l’interprétation actuelle, son modèle fournit des positions exactes à l’ordre 2. Ce qui veut dire qu’avec une excentricité pour Mars d’environ 0,09, les calculs précédents étaient exacts à environ 10% près, alors que Kepler obtient une précision de 1% ! [9] Pourtant, malgré cette précision, pourquoi Kepler rejette-t-il son modèle ? Comme on le voit, le rapport de 2/5 au lieu de 1/2 permet d’avoir une très bonne précision mais d’une part elle est moins bonne sur les latitudes que sur les longitudes, et d’autre part elle donne tout de même des écarts trop importants par rapport à la précision des observations de Tycho Brahe. Il effectue ainsi le premier rejet d’hypothèse historique. [10]

On pourrait encore parler longtemps du mathématicien Kepler. De son intérêt pour les méthodes nouvelles, que ce soit celles de Viète en géométrie ou de Napier et Briggs pour le calcul des logarithmes, mais je voudrais conclure en parlant de l’homme. Comme on l’a peut-être ressenti déjà à la lumière des lignes qui précèdent, Kepler est un homme ouvert, prêt à discuter de toutes choses et à les partager. Il a une fascination pour le beau mais aussi une opiniâtreté dans la tâche. Frappé par la petite vérole à trois ans, sa vue n’a jamais été bonne. Une plaie pour un astronome ! Qu’à cela ne tienne, il développera des éléments d’optique pour comprendre et interpréter ce qu’il voit mal ! Kepler n’est pas riche comme Tycho Brahé ou Galilée, il ne peut se faire bâtir un observatoire ni se payer une des toutes nouvelles lunettes que Galilée a pointées vers le ciel, alors il obéira aux injonctions de Brahe pour avoir accès à ses trésors. Il essaiera aussi de dialoguer avec Galilée, en vain, l’homme qui a prétendu que toutes les découvertes du ciel lui appartenaient se méfie trop de Kepler : Galilée lui envoie des lettres en anagrammes et refuse de lui faire parvenir une lunette.

Je voudrais pousser un peu plus loin la comparaison des vies de Kepler et de Galilée. On sait que Galilée a été inquiété par l’inquisition, mais on sait maintenant que c’est surtout l’attitude de l’homme de cour qui a été l’objet de l’ire de ses ennemis [11]. Des condamnations dont il a été victime, je voudrais en citer une : celle de réciter des prières chaque jour, condamnation qui a été accomplie en son nom par sa fille, qui était nonne. La fille de Galilée lui est ainsi venu en aide lors de ses ennuis avec l’église. Kepler quant à lui n’était pas catholique, mais protestant [12] : il a dû fuir de Graz lors des guerres de religion et quitter son emploi, mais il le fit avec l’aide des Jésuites. Sa grand-tante maternelle a terminé au bûcher, pour sorcellerie et sa mère a bien failli en faire de même. Ce ne fut pas le cas. Pourquoi ? Parce que Kepler lui-même a assuré sa défense ! Excellent théologien, Kepler est allé soutenir seul sa mère face aux accusations de sorcellerie. Il a passé ainsi plusieurs mois de sa vie à préparer la défense et à traverser l’Allemagne à pied. Et, bien qu’elle ne lui fut guère reconnaissante de cela, il la sauva. [13]

Kepler n’est pas homme à cacher ce qu’il pense. Au contraire il livre tout ce qu’il a, tout ce qu’il a cherché, tout ce qu’il a trouvé. Contrairement à d’autres qui cachèrent leurs convictions coperniciennes, il les afficha dès qu’il fut convaincu, encore étudiant. Cela le poussa à défendre des convictions que l’on peut juger maintenant ridicules, comme son Mystère du monde. Un empilement savant des cinq polyèdres réguliers entre lesquels naviguent les planètes (elles sont au nombre de six à cette époque). Sa quête ? Celle des distances du Soleil aux planètes ! Il ne fut pas le seul à partir dans cette direction : Titius et Bode mirent au point une loi donnant ces distances. Elles permirent de trouver Cérès, cette pseudo-planète entre Mars et Jupiter. Elles permirent de tester les hypothèses de formation du système solaire ... jusqu’à ce que le vingtième siècle apporte une réponse à ces questions : c’est la symétrie initiale au moment de la formation du système solaire qui impose que les distances se répartissent grossièrement selon une loi arithmético-géométrique : la distance de la n-ème planète au Soleil est égale à $0,4+0,075.2^n$ fois la distance de la Terre au Soleil. [14]

Kepler est aussi un précurseur de la science-fiction ! Pour essayer de diffuser la doctrine copernicienne, il écrit le Songe lunaire, un voyage fait au pays des Sélénites pour donner des arguments en faveur du mouvement de la terre.

Pour clore, je voudrais évoquer le côté contemporain de Kepler. Sa façon d’écrire, sa façon de partager, son enthousiasme, sa quête du beau et du vrai, son ouverture d’esprit. Kepler n’est pas facile à cerner, ni à englober dans sa totalité. D’éminentes personnes ont écrit sur lui : Wolfgang Pauli a écrit sur Le cas Kepler, Alfred Koestler en a fait le héros principal de ses Noctambules. Ils se sont beaucoup attachés à décrire la psychologie de Kepler. L’histoire semble très romancée, mais elle met à jour le côté très attachant de Kepler. La vie de Kepler a été racontée par le menu par Max Caspar, une version plus romancée mais passionnante a été écrite par Henriette Chardak.

Passion, voici un maître mot pour décrire Kepler et sa soif de comprendre la structure de l’univers. C’est sans doute un point important dans la science, indépendamment des siècles : la vivre avec passion. Certes, Kepler est hors-normes : il n’écrit comme personne et peu parviennent à le comprendre, les chemins qu’il emprunte sont tortueux et certains sont sans issue, il n’hésite pas à contredire les classiques ou les doctrines à la mode, pour autant il lit tous les classiques [15] et s’en sert. Kepler se livre en entier et vit pour son art. Sa vie est une longue suite de souffrances et il entreprend de vivre avec rien. Il en rit lui-même. Kepler se rendant à une fête de jour de l’an 1610 vit tomber sur ses épaules des flocons de neige. Il en conçut un petit livre sur l’origine de la symétrie d’ordre six dans la nature, qu’il offrit à son bienfaiteur, Johann Mattheus Wacker de Wackenfels. Voici comment il présente les choses : Voilà une étrenne privilégiée, pour un amateur de rien, et digne d’être offerte par un mathématicien qui n’a rien et ne reçoit rien puisque les flocons tombent du ciel et sont pareils aux étoiles.
À partir de ce presque-rien, j’ai formé presque le monde même, qui contient tout. Je fais sortir d’un atome de neige l’âme d’un être vivant triplement colossal, celle du globe terrestre.

Ce rien est si important ! Combien de démonstrations mathématiques reposent sur le rien ! Comme dit Kepler : Je vais d’abord développer cette opinion jusqu’au bout, puis j’examinerai si elle est vraie : je crains que la révélation importune de sa fausseté ne m’empêche de faire ce que j’ai décidé : des mots sur un Rien. Et pourtant, quels mots ! C’est dans ce petit ouvrage que l’on trouve l’énoncé de la fameuse conjecture de Kepler [16].

Alors, si vous aussi vous traversez un pont sous la neige pour vous rendre à une fête de nouvel an, songez à Kepler qui 400 ans plus tôt faisait de même, regardez la lune (elle sera pleine, à 20h13 exactement cette nuit de la Saint Sylvestre), vous apercevrez peut-être un(e) Sélénite et il/elle vous soufflera peut-être le secret du mystère du monde. Ces rêves là n’ont pas d’âge et je dis, moi, que la science même moderne ne peut se dispenser d’eux, ni des rêveuses et des rêveurs.

Sans prendre le temps de développer ce petit mot, j’aimerais citer, comme il est traditionnel en fin d’année de citer les personnes décédées pendant le cours de l’année, Ilya Piatetski-Shapiro : Why do you need a proof ? It’s a theorem ! [17]

Post-scriptum :

Le titre est un jeu de mots sur une pièce de William Shakespeare : Much ado about nothing (beaucoup de bruit pour rien) et sur le mot homme en anglais (man).

L’illustration de l’article est le « Mystère du monde » selon Kepler, planche tirée de son livre « Mysterium cosmographicum » (photo de l’auteur).

Notes

[1Astronomie nouvelle

[2L’appellation est d’Étienne Ghys

[3Paul Erdös parlait de la démonstration du Livre, ce qu’il considérait comme devant être le graal des mathématiques : la démonstration du Livre est ce que Paul Erdös considérait comme devant être la meilleure, la plus naturelle. Soit. Bien sûr qu’il faut chercher comment exprimer les choses le plus simplement du monde, afin que la pensée ne soit pas obscurcie par des artefacts. Mais qui a dit qu’il suffisait de la lire pour la comprendre ? Qui a dit que ce Livre rendrait les autres inutiles ?

[4Le livre majeur de D’Arcy Thompson, Forme et croissance, a été réédité cette année

[5Plurimum amo analogias, fidelissimos meos magistros, omnium Naturae arcanorum conscios

[6D’Arcy Thompson parle de ratio cognoscandi et ratio efficiendi

[7On notera que Kepler est plus copernicien que Copernic lui-même. Il le fut dès son plus jeune âge, encore élève au séminaire évangélique de Tübingen. Proche de son professeur de mathématiques, Michael Maestlin, il étudie Copernic grâce à lui. Ce n’est pas la seule opinion controversée que Kepler défendra. Ses positions théologiques l’amenèrent à s’opposer aux points de vue de Luther, ce qui eut pour conséquence de mettre fin à ses prétentions de devenir pasteur et fit qu’on le nomma, probablement pour le sanctionner, mathématicien à Graz.

[8Il y a aussi une raison théologique : Dieu ayant créé la lumière en premier, c’est elle qui est immobile dans le ciel et le reste tourne autour.

[9On peut expliquer ce qu’est ce fameux point équant dans la vision moderne (c’est-à-dire le modèle de Kepler !) : le Soleil est un des foyers de l’ellipse, le centre de la trajectoire (elliptique) est au milieu entre les deux foyers, et l’autre foyer ? Qui est ce point sans matière, ce point différent pour chacune des planètes et que certains ont appelé soleil noir ? C’est le point duquel le mouvement semble le plus uniforme possible ! Mais attention, il n’est pas uniforme pour autant : la vitesse angulaire n’est pas constante, mais l’accélération angulaire est la plus faible possible.

[10C’est un rejet statistique, dans le même esprit que les tests d’hypothèse modernes. Il faut savoir que les anciens sélectionnaient les observations qu’ils jugeaient les plus fiables, en prenant exactement le nombre qu’il fallait pour calculer les éléments géométriques (par exemple trois points déterminent un cercle). Kepler, lui, utilise toutes les données et cherche la trajectoire qui se rapproche le plus de tous les points. C’est aussi ce qu’on fait à l’heure actuelle.

[11Sans doute fut-il même protégé par le pape.

[12Disciple de Luther, il a néanmoins contesté certaines de ses doctrines, se retrouvant plus proche de Calvin par certains côtés. En pratique il était en désaccord avec toutes les doctrines chrétiennes par un point ou un autre, mais on peut sans doute le qualifier de Luthérien en première approximation.

[13La mère de Kepler, Katharina Guldenmann, soupçonnée de préparer des philtres magiques et de pratiquer la sorcellerie, fut accusée de sorcellerie en 1615 alors qu’elle avait près de 70 ans. Il faut dire qu’en quelques mois, entre 1615 et 1616, six femmes sont aussi accusées de sorcellerie dans la ville où vit la mère de Kepler. Entre 1615 et 1629, 38 prétendues sorcières mourront sur le bûcher. À cette époque, Kepler avouera même que sa mère a tout d’une sorcière, mais en 1615 il se rendra quand même à deux reprises à Wurtemberg pour la défendre devant le tribunal. Elle sera acquittée de ces accusations en 1621.

[14Ce résultat a été démontré par les astrophysiciens Bérengère Dubrulle et François Graner.

[15Les coniques étaient, avant Kepler, avant tout un moyen de calcul d’aires pour Apollonius ou de géométrisation des problèmes d’algèbre pour les mathématiciens arabes.

[16Comment empiler, de la façon la plus dense possible, des oranges de même taille dans l’espace ? Cette question est apparue il y a près de quatre siècles, à la suite de travaux de Thomas Harriot, ce mathématicien astronome qui effectua les premiers dessins de la lune au travers d’un télescope, le 26 juillet 1609, quatre mois avant Galilée, concernant les empilements de boulets de canon. Johannes Kepler énonce dans L’étrenne que l’empilement de sphères le plus dense possible dans l’espace est l’empilement cubique à face centré, c’est-à-dire celui qui correspond aux empilements de fruits que l’on peut apercevoir communément sur les étals des marchés. Cet énoncé, maintenant appelé conjecture de Kepler, a traversé les siècles sans connaître de preuve rigoureuse. Il figurait parmi la liste des problèmes que David Hilbert proposa à la communauté des mathématiciens au congrès international des mathématiciens de 1900. Le mathématicien Thomas Hales a annoncé une démonstration de cette conjecture, à l’aide d’un gigantesque calcul par ordinateur (le programme fait plusieurs gigaoctets), en 1998. On considère maintenant que la démonstration est correcte, mais tout comme le fameux théorème des quatre couleurs, on aimerait trouver une autre démonstration.

[17Pourquoi vouloir une démonstration ? C’est un théorème !

Partager cet article

Pour citer cet article :

François Sauvageot — «MAN : Much About Nothing» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • MAN : Much About Nothing

    le 29 décembre 2009 à 22:22, par Théo Héikay

    Il est bon de rappeler, ne serait-ce que pour le sentiment de quiétude que cela procure, que Kepler nous apprend aussi que pour toutes les planètes, le carré de la durée de leur révolution autour du Soleil est proportionnel au cube de leur distance à celui-ci. Cette loi peut d’ailleurs être déduite de l’existence de la gravitation telle qu’elle est décrite par la loi de Newton ; la première ne concernait que les planètes, la seconde concerne tous les corps dotés d’une masse.
    L’effort de la science consiste à expliquer le plus grand nombre de phénomènes par le plus petit nombre possible d’interactions entre les éléments qui constituent le monde réel. Notre siècle a été particulièrement efficace dans cette voie puisque aujourd’hui on admet que tous les processus observés dans l’Univers sont la résultante du jeu simultané de seulement quatre forces : gravitation, force électromagnétique, et deux forces nucléaires. Mais ce n’est qu’une étape ; sans doute ce nombre sera-t-il réduit demain.

    On reproche souvent à la science de manquer de responsabilité pédagogique envers le grand public ; envers le public éduqué.
    La répondance, _ pour utiliser le sens du mot d’ancien anglais aux consonances juridiques ensurability, « être en répondance à » _ à mes yeux est une éthique.
    On est « responsable de », on est « répondant » à la sommation, à la voix et à la présence qui s’approchent de nous et par conséquent de l’enseignement d’un texte, d’une belle théorie, d’un théorème, d’un concept. C’est une conviction personnelle...

    Enseigner, de mon point de vue, devient une charge incommensurable tant les responsabilités sont lourdes à porter.
    Signalons qu’avec Galilée, le monde révélé par les sens s’éloigne, un nouveau monde de relations et de liens vagues et mystérieux se forme lentement.
    La loi de Galilée est un accomplissement dans le domaine de la physique, une façon de subordonner les aspects de l’expérience au formalisme mathématique ; si elle n’était pas connue, les objets continueraient à tomber et à tomber exactement de la même manière, mais une fois la loi entrée dans la conscience, le monde des objets en chute paraît obéir à une injonction symbolique. Tombe comme ça ou sinon

    C’est dans son Dialogue sur les deux principaux systèmes du monde écrit en 1632 dix ans avant sa mort, que Galilée améliora et transmis à un monde qui n’y croyait qu’à moitié la doctrine copernicienne voulant que la Terre tournât autour du Soleil. Pour sa peine, il fut dénoncé par l’Inquisition et, dans un moment devenu mythique, contraint à se rétracter à genoux. Alors qu’il se relevait, humilié par toute la scène et sans doute effrayé, on l’entendit murmurer Eppur’, si muove  ! _ Et pourtant, elle se meut ! Ainsi prit-il à jamais le parti de l’objectivité contre la superstition.

    Pour toute sa grandeur de physicien, les capacités mathématiques de Galilée furent incomplètes, son intuition souvent trompeuse, et cela malgré sa conviction que « le grand livre de la nature s’écrit en symbole mathématiques ». Autrement dit, la nature parle algèbre. Il fut un technicien médiocre, à l’imagination puissante, mais indisciplinée.
    Le bricolage mathématique de Galilée a quelque chose d’émouvant. Assez doué pour sentir, il restera incapable de voir et, contrairement à Descartes, son contemporain, passa dans l’histoire des mathématiques comme un personnage en marge. Mais, comme Einstein, il parvint à tirer des conclusions physiques fondamentales sans l’aide du génie mathématique.

    Théo Héikay _ Enseignant-Chercheur

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM