Il y a quelques années, j’ai relu l’Histoire de la Commune de 1871 de Lissagaray [1]. Dans ce livre, il est fait rapidement mention d’une séance de l’Académie des Sciences en mai 1871. J’ai voulu en savoir plus sur l’activité des scientifiques, ici des mathématiciens, pendant les soixante et onze jours qu’a duré la Commune de Paris. Sophie Kowalevski, Charles Delaunay, Joseph Bertrand, Simon Newcomb et surtout Michel Chasles, sont les personnages que l’on voit (ou ne voit pas) apparaître dans cette histoire.

De Sophie à Joseph

Commençons par Sophie. C’est parce que j’écrivais un livre sur Sofia Kovalevskaya [2] que je m’étais replongée dans Lissagaray. Sophie Kowalevski avait, en effet (âgée de 21 ans et étudiante à Heidelberg), participé à la Commune [3]. Sophie et son mari avaient réussi à passer les lignes allemandes et à entrer dans Paris assiégé grâce à une barque abandonnée sur la Seine. Ils sont arrivés le 5 avril, les bombardements versaillais avaient déjà commencé depuis trois jours. Sophie a consacré son temps à soigner les blessés.

Une entrée difficile dans Paris... au temps où beaucoup d’autres fuyaient la ville.

Quel rapport, me demandera-t-on, entre l’histoire de la Commune de Paris et les mathématiques ? L’entrée, dans des conditions romanesques, d’une étudiante en mathématiques dans Paris, oui, mais encore ?

Eh bien, voici. Il y a un passage de Lissagaray que j’aime particulièrement. Le 15 mai 1871, pendant que les troupes versaillaises tirent sur Paris, l’auteur se promène dans la ville et fait état de ce qu’il y voit. Le chapitre s’intitule Paris la veille de la mort. À la page 300, sur le quai Conti, je cite :

Remontons les quais somnolents dans leur calme inaltérable. L’Académie des sciences tient toujours ses séances du lundi. Ce ne sont pas les ouvriers qui ont dit : « La République n’a pas besoin de savants. » M. Delaunay est au fauteuil. M. Élie de Beaumont dépouille la correspondance et lit une note de son collègue, M. J. Bertrand, qui s’est enfui à Saint-Germain ; ce mathématicien stérile n’est pas pour les audaces créatrices n’ayant jamais pu avoir un théorème naturel. Nous trouverons demain le compte rendu dans l’Officiel de la Commune.

La séance de l’Académie des sciences du 15 mai est la dernière avant l’entrée des Versaillais. Le calme inaltérable des quais a été, peu après, très profondément altéré...

Joseph et Charles

J’ai cité ces quelques phrases de Lissagaray dans le livre sur Kovalevskaya, avec un commentaire à propos de Joseph Bertrand (1822-1900), un mathématicien puissant --- et lié au pouvoir financier --- déjà académicien mais pas encore secrétaire perpétuel en 1871 [4]. Son frère Alexandre, un archéologue, dirigeait le musée de Saint-Germain-en-Laye [5] et y habitait, c’était donc un refuge naturel pour la famille.

Je ne me prononcerai pas sur les « audaces créatrices de Joseph Bertrand » [6], je trouverais plus intéressant de savoir comment Lissagaray s’est fait cette opinion sur la « stérilité » de Bertrand, quel mathématicien lui a communiqué cette évaluation de ses travaux. En tout cas, Joseph Bertrand (dont on voit le portrait ci-contre) avait quitté Paris et sa maison a brûlé lors des combats de mai, avec le manuscrit de son cours de calcul différentiel.

Voici ce que l’on apprend en lisant les Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences. Le 15 mai, le Secrétaire perpétuel Élie de Beaumont [7] a bien lu (comme nous l’a dit Lissagaray) une lettre de Joseph Bertrand. Cette lettre portait sur des « Considérations relatives à la théorie du vol des oiseaux ». Joseph Bertrand y critiquait notamment des calculs de Navier, selon lesquels le vol serait impossible,

On voit, en effet, tous les jours des oiseaux voler, et il est compromettant de prouver mathématiquement le contraire.

Une remarque pleine de bon sens [8].

Je ne sais pas ce que faisait ce printemps-là son beau-frère Charles Hermite (1822-1901), le mathématicien « phare » à l’époque, à Paris (et l’époux de Louise, la sœur de Joseph et Alexandre Bertrand). En voyant la terreur du peuple, de la démocratie et des révolutions qu’il exprime dans sa correspondance [9], on peut imaginer qu’il a eu très peur, lui aussi.

On lit dans les Comptes rendus que, le 3 avril, les académiciens avaient décidé de lui confier une note reçue sur le théorème de Fermat, pour qu’il la lise et l’évalue, mais rien n’est dit sur sa présence à Paris à cette date.

À l’Académie des sciences et à l’Observatoire, Charles et Simon

Toujours en lisant les Comptes rendus, on apprend qu’Hervé Faye, (qui était en titre, le vice-président, mais qui avait présidé toutes les séances de l’Académie des sciences depuis janvier [10]) a dû conduire sa famille en province et s’excuse pour son « absence involontaire » le 3 avril (une absence qui va durer).

Charles Delaunay (dont on voit le portrait ci-contre) tenait l’intérim de la Présidence. En lisant les Comptes rendus (ceux de l’Académie des sciences, les officiels), on s’aperçoit que l’Académie des sciences a tenu toutes ses séances du lundi en 1871, en particulier pendant les quelques semaines qu’a duré la Commune, du 18 mars au 28 mai [11], sauf celle du 22 mai,

les abords de l’Institut ayant été rendus inaccessibles le lundi 22 mai par les barricades qui l’environnaient, l’Académie n’a pu tenir sa séance hebdomadaire,

lit-on dans le Compte rendu de la séance du 29 mai.

De longues années auparavant, en 1844, Delaunay avait commencé à travailler et à publier ses travaux sur la Lune, son livre Théorie de la Lune était paru en 1860. Un groupe calculait encore des tables sous sa direction. Le 24 avril, il proposait d’ailleurs à l’Académie des sciences un Calcul de quelques nouveaux termes de la série qui exprime le coefficient de l’équation séculaire de la Lune.

L’académicien Charles Delaunay était un astronome et aussi le Directeur de l’Observatoire de Paris, qui accueillait cette année-là le mathématicien américain d’origine canadienne Simon Newcomb (1835-1909), dont on voit la photo ci-contre, qui, comme Hervé Faye et Joseph Bertrand, réussit à se « mettre à l’abri » en quittant la capitale. Je ne sais pas s’il était déjà parti lorsque, le 3 avril, son mémoire Théorie des perturbations de la Lune qui sont dues à l’action des planètes a été présenté à l’Académie des sciences. Il s’agit d’un article sur le « problème des quatre corps » : le Soleil et la Terre, deux corps, la Lune (un troisième corps, qui perturbe le mouvement des deux corps), et un quatrième corps, une autre planète, qui exerce elle aussi son influence.

Charles Delaunay présidait. Et Michel Chasles assistait aux séances.

Michel Chasles

De Michel Chasles (1793-1880), beaucoup de lecteurs connaissent le nom à cause de « sa » relation
\[\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\]
C’est une photographie de lui qui sert de logo à ce portrait.

On sait aussi parfois que cet homme doux et gentil avait été la victime crédule et même consentante d’une hénaurme escroquerie dans les années 1867 [12].

Le plus important n’est pas là. Chasles était un « géomètre supérieur », c’est d’ailleurs le nom, géométrie supérieure, de la chaire qui fut créée pour lui à la Sorbonne en 1846. Michel Chasles a démontré des milliers de théorèmes (peut-être 3264) sur les « coniques » (j’explique plus bas ce qu’est une conique). Pourquoi tous ces théorèmes ? Eh bien, il avait inventé des outils indispensables (et toujours utilisés) [13] de la géométrie projective.

Il avait semé, il récoltait. De durables grands arbres, ses résultats énumératifs, comme le nombre de coniques tangentes à cinq coniques données (3264). Et quelques petites fleurs, qui montraient que la méthode était efficace, et qu’il cueillait, peut-être simplement pour se faire plaisir ?

Les 568 théorèmes du printemps 1871

Au printemps de 1871, les Comptes rendus ont publié, très régulièrement, des notes que cet académicien de soixante-dix-huit ans présentait [14] :

• le 3 avril, un article de Chasles sur la Détermination, par le principe de correspondance, de la classe de la développée et de la caustique d’une courbe géométrique d’ordre $m$ et de la classe $n$,

• le 10 avril, un article de Chasles présente soixante théorèmes sur les systèmes de
  coniques, numérotés de 1 à 60,

• le 24 avril, un autre article de Chasles présente quarante-quatre théorèmes sur les
  systèmes de coniques, numérotés de 61 à 104,

• le 1er mai, un dernier article de Chasles sur les systèmes de coniques présente cent
  théorèmes, numérotés de 105 à 204,

• le 15 mai, un nouvel article de Chasles sur le principe de correspondance présente
  quatre-vingts théorèmes sur les courbes, numérotés de 1 à 80.

Cet article se conclut par un paragraphe dans lequel on peut lire :

La plupart des théorèmes précédents donnent lieu chacun à un ou deux autres, dans lesquels on prend pour hypothèses la conclusion du théorème primitif.

Il y a en effet un « principe de correspondance », dont Chasles est aussi l’auteur, qui multiplie les théorèmes par deux, mais je n’entrerai pas dans les détails de ce principe ici.

Cette accumulation de théorèmes, dont chacun peut être considéré comme un exercice de géométrie algébrique, est aussi une démonstration de la puissance des méthodes de l’encore jeune géométrie projective en géométrie algébrique.

Ce qu’ils disent

Pas plus que cela n’était un article sur les espaces de Berkovich, ceci n’en est un sur les systèmes de coniques. Je n’écris donc pas sur les coniques. Sachez pourtant que :

Une conique est, disait Chasles [15] l’intersection d’un cône et d’un plan, [16] ellipse (verte sur la figure), hyperbole (bleue) ou parabole (rouge)... selon la position de ce plan.

Même sans le savoir, vous avez sans doute déjà rencontré des coniques, l’ellipse, toujours verte, qui est le bord des parterres de fleurs dessinés comme sur la figure de gauche, ou la parabole, rouge ici aussi, qui est la courbe que dessine une pierre que vous lancez (ou un boulet de canon, pour rester dans l’ambiance de cette histoire), comme sur la figure de droite.

Il y a étonnamment peu d’articles dans lesquels apparaît le mot « conique » sur ce site. Voir celui-ci ou celui-là (le mot « ellipse » est bien plus fréquent mais, plutôt que de vous imposer de cliquer sur tel ou tel mot, je vous suggère de tester le moteur de recherche du site). Je mets les figures à la disposition des lecteurs et un tout petit peu de mathématiques dans les notes de bas de page : vous ne les lisez que si vous le voulez.

Une conique, c’est aussi l’ensemble des points $M$ du plan tels que la distance de $M$ à un point donné $F$, pour foyer, soit proportionnelle à sa distance à une droite donnée elle aussi $D$, pour directrice, en formules
\[MF=e\,d(M,D)\]
pour une constante $e$ donnée. Par exemple, sur la figure, l’ellipse (verte), avec un nombre $e$ plus petit que $1$. La parabole (rouge) aurait $e=1$ et l’hyperbole (bleue) un $e>1$.

Un système de coniques, c’est une famille infinie de coniques [17], comme celles de la figure ci-dessous. Par exemple, les coniques définies par un même foyer $F$ et une même directrice $D$, en laissant varier $e$ (on devine le système en regardant la figure de gauche). Un autre exemple, les coniques passant par quatre points donnés forment un système, celui que l’on voit sur la figure (sur laquelle les quatre points sont jaunes, les ellipses sont vertes, les paraboles rouges et les hyperboles bleues) [18].

Pour chaque conique de la famille, considérons un point (ou plusieurs points) qui lui est (sont) associé(s). Le centre, ou les sommets, ou les foyers... [19] Par exemple, tous les centres de toutes les coniques du système forment une courbe. Pour les coniques du système où le foyer $F$ et la directrice $D$ sont fixés, les centres sont tous sur la perpendiculaire à $D$ passant par $F$. Cette courbe est donc, dans ce cas, une droite.

Une bonne part des cinq cent soixante-huit théorèmes de mai 1871 portent sur ces courbes. Chasles considère des tas d’exemples possibles de points construits à partir d’un système de coniques et, pour chacun, dit quel est le degré de la courbe qu’ils dessinent.

Et ensuite ?

Du 21 au 28 mai, c’est ce que l’on a appelé la Semaine sanglante. Trente mille morts.

Doux, poli, crédule, passionné par ses mathématiques, âgé, certainement pas révolutionnaire, lui qui avait changé son prénom de Floréal [20] en Michel à l’âge de seize ans, probablement craignant la Commune, Chasles continuait à cultiver son parterre de courbes et à en cueillir les fleurs... et à les offrir à l’Académie des sciences, qui manquait un peu de matière.

L’Observatoire, entre autres, servit de refuge à quelques Communards.

Les derniers « fédérés » ont été massacrés, tout au fond du cimetière du Père-Lachaise, le 28 mai 1871. Cent quarante-sept autres furent amenés là deux jours plus tard de la prison de Mazas pour être fusillés.

Le 28 mai était un dimanche, le lendemain un lundi, jour de séance à l’Académie des sciences. Les académiciens ont fait le décompte des dégâts (assez limités) dans leurs établissements [21].

Charles Delaunay est mort en 1872. Charles Hermite a démontré la transcendance du nombre $e$ en 1873, un de ses grands titres de gloire [22], Joseph Bertrand a été élu Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences en 1874, l’année même où Sophie Kowalevski a passé sa thèse [23]. Michel Chasles a continué à participer aux séances de l’Académie des sciences et à y présenter des théorèmes [24]. Il a vécu jusqu’en 1880.

En 1900, on avait détruit la prison de Mazas et on ouvrit une rue, en face de la gare de Lyon, à laquelle on donna le nom de Michel Chasles.