Un défi par semaine

Mai, 1er défi

Le 2 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour chaque couple d’entiers $a$ et $b$, on définit une opération $a\otimes b$ qui vérifie les propriétés suivantes :

$a\otimes a=a+2$

$a\otimes b=b\otimes a$

$\frac{a\otimes (a+b)}{a\otimes b}=\frac{a+b}{b}.$

Déterminer la valeur de $8\otimes 5$.

Solution du 4ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 4.

Nommons trois entiers pairs consécutifs $2n-2$, $2n$, $2n+2$. On a alors,

$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2-*n+4+4n^2+4n^2+8n+4$

$= 12n^2+8$

$= 4(3n^2+2).$

Donc $4$ divise la somme.
D’autre part, pour voir si 4 est le plus grand diviseur possible,
considérons les triplets $(2, 4, 6)$ et $(4, 6, 8)$.
On a alors

$2^2+4^2+6^2 = 56$

$4^2+6^2+8^2 = 116.$

On remarque que le plus grand diviseur commun de ces deux nombres est $4$.
Par conséquent, le plus grand nombre entier qui divise la somme des
carrés de trois nombres pairs consécutifs quelconques est $4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mai, 1er défi

    le 2 mai 2014 à 09:04, par Daniate

    Je trouve 120 et je laisse à qui veut le soin d’infirmer ou confirmer cette réponse.

    Répondre à ce message
    • Mai, 1er défi

      le 2 mai 2014 à 11:49, par jokemath

      Je confirme !
      Et je précise que j’ai utilisé les premiers termes d’une célèbre suite...

      Répondre à ce message
      • Mai, 1er défi

        le 2 mai 2014 à 13:06, par Daniate

        Suite dont le rapport entre 2 termes consécutifs tend vers le nombre d’or.

        A mon tour de préciser qu’il existe une formule explicite permettant de calculer a⊗b pour tout a et tout b entiers strictement positifs.

        Répondre à ce message
  • Mai, 1er défi

    le 2 mai 2014 à 16:55, par projetmbc

    120 est la solution.

    Méthode pour flemmard en Python-SageMath pour des calculs exacts.

    Répondre à ce message
  • Démonstration

    le 3 mai 2014 à 17:03, par Valrictin

    Il s’agit effectivement de 120. Démonstration :

    D’après les hypothèses, (a⊗(a+b))/(a⊗b)=(a+b)b

    ܀Avec a=b=1 : (1⊗(1+1))/(1⊗1)=(1+1)/1
    ⇔(1⊗2)/(1⊗1)=2
    ⇔(1⊗2)/(1+2)=2 puisque a⊗a=a+2

    ⇔ 1⊗2=2*3
    ⇔ 2⊗1=6 puisque a⊗b=b⊗a

    ܀Avec a=2 et 1 : (2⊗(2+1))/(2⊗1)=(2+1)/1
    ⇔(2⊗3)/6=3
    ⇔ 3⊗2=18

    ܀Avec a=3 et b=2 : (3⊗5)/(3⊗2)=5/2
    ⇔ 3
⊗5=5*18/2
    ⇔ 5⊗3=45

    ܀Avec a=5 et b=3 : (5⊗8)/(5⊗3)=8/3
    ⇔ 5⊗8=8*45/3
    ⇔ 5⊗8=120

    Comme certain l’ont dit, on retrouve effectivement la suite de Fibonacci : 1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;8 ;13...

    Répondre à ce message
  • Formule explicite

    le 3 mai 2014 à 23:19, par Daniate

    a⊗b=ab(d+2)/d² avec d=pgcd(a,b) donc ici 8*5*3/1²=120

    Répondre à ce message
  • Demonstration Formule

    le 7 mai 2014 à 09:50, par Daniate

    Lemme 1 : si b=pa+q alors a⊗b=(a⊗q)*b/q

    Preuve : a⊗b=(a⊗(b-a))b/(b-a)=(a⊗(b-2a)((b-a)/(b-2a))(b/(b-a))=(a⊗(b-2a)b/(b-2a)=...=(a⊗(b-pa))b/(b-pa)=(a⊗q)b/q

    Lemme 2 : si b=pa alors a⊗b=p(a+2)

    Preuve : il suffit de reprendre la ligne précédente en remplaçant p par p-1 et q par a

    Démonstration de la formule :

    Elle s’appuie sur la recherche de pgcd(a,b)

    b=p1*a+q1 ; a=p2*q1+q2 ; q1=p3*q2+q3 ; ... ;q(N-1)=p(N+1)qN

    avec a>q1>q2>...>qN et qN=d=pgcd(a,b)

    D’après le lemme 1 :

    (a⊗b)=(q1⊗a)b/q1=(q2⊗q1)ab/q1q2=(q3⊗q2)abq1/q1q2q3=(q3⊗q2)ab/q2q3= ... =(qN⊗q(N-1))ab/qNq(N-1)

    Or qN=d et q(N-1)=p(N+1)d donc qN*q(N-1)=p(N+1)d² et d’après le lemme 2 : (qN⊗q(N-1))=p(N+1)*(d+2)

    Pour finir (a⊗b)=p(N+1)*(d+2)*ab/(p(N+1)*d²)=ab(d+2)/d²

    Répondre à ce message
  • Mai, 1er défi

    le 8 mai 2014 à 15:36, par jokemath

    Bravo !

    J’avoue que je n’avais pas pensé à utiliser la recherche du pgcd de 2 entiers, même après votre commentaire précédent.

    Répondre à ce message

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