Enoncé

La réponse est $4\sqrt{3}$ cm.

Traçons les segments $[PA]$, $[PB]$ et $[PC]$, qui divisent le triangle $ABC$ en trois triangles $ABP$, $PBC$ et $PCA$ dont les hauteurs mesurent respectivement $1$ cm, $2$ cm et $3$ cm.

Soient $a$ la mesure du côté et $h$ la hauteur du triangle équilatéral $ABC$, alors son aire est égale à $\frac{a\times h}{2}$. D’autre part, l’aire du triangle $ABC$ est égale à la somme des aires des triangles $ABP$, $PBC$ et $PCA$, c’est-à-dire :

$\frac{a\times h}{2} = \frac{a\times 1}{2}+\frac{a\times 2}{2}+\frac{a\times 3}{2}$

$a\times h = a+2a+3a$

$h = 6.$

Ainsi, la hauteur du triangle $ABC$ mesure $6$ cm. Comme le triangle $ABC$ est équilatéral, la hauteur divise ce triangle en deux triangles rectangles dont les côtés mesurent $h$ et $\frac{a}{2}$, et dont l’hypoténuse mesure $a$. Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :

$(\frac{a}{2})^2 + 6^2 = a^2$

$\frac{a^2}{4} +36 = a^2$

$\frac{3}{4}a^2 = 36$

$a = \sqrt{48} = 4\sqrt 3.$

Par conséquent, le côté du triangle $ABC$ mesure $4\sqrt 3$ cm.