Un défi par semaine

Mai 2015, 2ème défi

Le 8 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Trouver les valeurs des entiers positifs $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$, strictement supérieurs à $1$, qui satisfont les égalités

$a(b+c+d+e) = 128$

$b(a+c+d+e) = 155$

$c(a+b+d+e) = 203$

$d(a+b+c+e) = 243$

$e(a+b+c+d) = 275.$

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

Notons $a, b, c, d, e, f, g, h$ et $i$ les nombres dans chaque cercle comme le montre la
figure ci-dessous :

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Calculons la somme des nombres à l’intérieur des triangles :

$18+15+10+14+15+13+14+15 =114.$

Si l’on calcule cette somme avec les nombres dans les cercles, on observe que chaque nombre qui est dans un cercle et qui n’est pas $i$ va être compté deux fois, une fois pour chaque triangle auquel il appartient. Le nombre $i$, lui, sera compté $8$ fois puisqu’il fait partie des $8$ triangles. D’autre part, on sait que $a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+\cdots +9=45$, puisque l’on peut uniquement utiliser les nombres de $1$ à $9$. Ainsi,

$2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+8i = 114$

$90+6i = 114$

$6i = 24$

$i = 4.$

Maintenant, nous savons que $c+4+d=10$, d’où $c+d=6$, mais $c$ et $d$ ne peuvent valoir ni $4$ ni $3$ tous les deux, ainsi un des deux doit valoir $5$ et l’autre $1$. Si $c=1$, alors $b=10$ et ceci est impossible. Ainsi, $c=5$ et $d=1$ . Il n’est pas difficile de voir qu’alors tous les autres nombres sont déterminés.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2015, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mai 2015, 2ème défi

    le 8 mai 2015 à 07:36, par André Perrenoud

    a=4, b=5, c=7, d=9, e=11

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    • Mai 2015, 2ème défi

      le 8 mai 2015 à 10:32, par ROUX

      J’ai été dans la Toile chercher la décomposition en facteurs premiers des cinq nombres.

      155, c’est 5*31 et 203, c’est 7*29.

      Sur une feuille A4 prise en portrait, j’ai fait deux colonnes, une par valeur de b puis dans chacune de ces deux colonnes, j’ai fait deux sous-colonnes, une par valeur de c.

      J’ai ainsi obtenu quatre valeurs pour (b+c) qui sont 12, 34, 38 et 60.

      Les trois dernières valeurs de (b+c) imposaient, à l’aide de la première ligne avec 128 que (d+e) soit égal à 30, 26 ou 4 ce qui s’est avéré impossible à chaque fois, pour des raisons différentes.

      Donc, j’ai tout de suite eu b=5 et c=7, donc (b+c)=12.

      J’ai gommé les traits de crayons de mes colonnes et sous-colonnes car j’ai tout de suite compris que je n’aurai pas à poursuivre un travail en arborescence trop long. J’ai donc eu de la place pour introduire cette valeur de (b+c) dans la dernière ligne avec 275 ce qui a imposé que (a+d+b+c) soit égal à 25 ou 55 ou que (a+d) soit égal à 13 ou 43. Les valeurs possibles de a, multiples de 2 et celles de d, multiples de 3 ne m’ont permis que 4+9=13.

      Donc, pour cette fois-ci, j’ai procédé par tâtonnements.

      Et vous ?

      Répondre à ce message
      • Mai 2015, 2ème défi

        le 8 mai 2015 à 11:09, par André Perrenoud

        J’ai commencé par chercher les diviseurs des nombres.

        a peut rendre les valeurs 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

        64 et 128 ne conviennent pas car le deuxième facteur est (b+c+d+e) >= 4.

        De même b peut prendre les valeurs 1, 5 ou 31.

        Continuer ainsi pour c, d et e.

        Ensuite soustraire la deuxième équation de la première.

        D’où (a-b)*(c+d+e)=-27.

        Donc (a-b) = -1, -3 ou -9.

        Les paires possibles sont 2 et 5 ou 4 et 5. D’où b=5.

        On soustrait ensuite les deux équations suivantes.

        (b-c)*(a+d+e)=-48, D’où c=7

        et ainsi de suite.

        Répondre à ce message
  • Mai 2015, 2ème défi

    le 8 mai 2015 à 12:30, par Daniate

    Bonjour,

    De mon côté, j’ai posé S=a+b+c+d+e. Les égalités se transforment en a(S-a)=128 ; b(S-b)=155 etc

    On remarque que les S-x sont supérieurs à 8

    L’égalité b(S-b)=5X31 impose b=5 (puisque 1 est interdit) et S-b=31 d’où S=36 , de même avec c(S-c)=7X29 donne c=7

    Il ne reste alors que 24 pour a+d+e

    e(S-e)=11X25 impose e=11 il reste a+d=13

    d(S-d)=9*27 d’où d=9 et a(S-a)=4X32 donne a=4

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  • Mai 2015, 2ème défi

    le 13 mai 2015 à 12:19, par nef2240

    Bonjour sans calcul nous déduisons que
    a puissance de 2
    b=5
    c=7
    d puissance de 3
    e multiplie de 5 ou 11
    a+d+e=24 nous avons deux solutions (4,9,11) ou (16,3,5) seule solution (a,d,e)=(4,9,11).

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