Enoncé

La réponse est $5$ ensembles.

Soit $\{u,v,x,y\}$ un ensemble ordonné interchangeable, alors on peut supposer que

$(10v+u)(10x+y) = (10u+v)(10y+x) $

$10^2 v x+10 v y+10 u x+u y = 10^2 u y+10 u x+10 v y+v x $

$99v x = 99u y$

$v x = u y.$

Donc, le produit du premier et du quatrième nombres doit être égal au produit du deuxième et troisième nombres dans l’ensemble. Observons que les nombres premiers $5$ et $7$ ne peuvent pas faire partie de l’ensemble. Si le plus grand des éléments est $4$ alors l’unique ensemble est $\{1,2,3,4\}$ et il n’est pas interchangeable.
Ainsi, l’ensemble doit contenir au moins un des chiffres $6$, $8$ ou $9$.

Si le plus grand des éléments est $6$, alors $3$ et un autre chiffre pair doivent être dans l’ensemble. Nous avons alors les ensembles interchangeables suivants : $\{1,2,3,6\}$ ou $\{2,3,4,6\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $8$. Alors $4$ doit être un autre élément pair de l’ensemble. Comme $8=2^3$ et $4=2^2$, les seuls ensembles interchangeables que l’on a, par l’équation $v x = u y$, sont $\{3,4,6,8\}$ et $\{1,2,4,8\}$.

Supposons que le plus grand des éléments est $9$. Comme l’un des nombres de l’équation $v x = u y$ doit être un multiple de $9$, on en déduit que l’autre membre de l’égalité doit contenir le $3$ et le $6$. Dans ce cas, l’unique ensemble interchangeable est $\{2,3,6,9\}$.

Par conséquent, il y a au total $5$ ensembles interchangeables de $4$ chiffres.