Un défi par semaine

Mai 2016, 1er défi

6 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels non nuls tels que $3x+2y=z$ et $\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}.$
Trouver la valeur de $5x^2 - 4y^2 - z^2$.

Solution du 5e défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est pour tout $n$ entier positif.

Les premières valeurs sont $0$, $4$, $20$, $64$, ce qui suggère que $3^n-2n-1$ est toujours divisible par $4$.

Supposons d’abord $n$ pair et écrivons $n=2m$. On a alors

$3^{2m}- 4m -1 = 3^{2m} -1 - 4m$

$ = (3^{m} -1)(3^{m} +1) - 4m,$

et comme les deux nombres $(3^{m} -1)$ et $(3^{m} +1)$ sont pairs, leur produit est divisible par $4$, et donc $4$ divise toujours $3^n-2n-1$ si $n$ est pair.

Si maintenant $n$ est impair, on peut l’écrire sous la forme $n=2m+1$. On a

$3^{2m+1}- 2(2m+1) -1 = 3\times 3^{2m} - 4m-2-1$

$ = 3(3^{2m} -1) - 4m$

$ = 3(3^{m} -1)(3^{m} +1)- 4m,$

et comme précédemment, $4$ divise toujours $(3^{m} -1)(3^{m} +1)$ et donc $3^{2m+1}- 2(2m+1) -1$.

Par conséquent $4$ divise $3^n-2n-1$ pour tout $n$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Mai 2016, 1er défi

    le 6 mai à 08:52, par mesmaker

    Le résultat est zéro comme on peut s’en assurer si l’on prend le triplet (x, y, z) = (1, -1, 1).

    Pour le démontrer il faut premièrement mettre au carré la première expression :
    9x^2 + 12xy + 4y^2 - z^2 = 0 (*)
    Ensuite il faut injecter la première dans la seconde faisant disparaître z pour montrer que les parties en x, y dans (*) peuvent s’écrire sous la forme demandé.

    Répondre à ce message
    • Mai 2016, 1er défi

      le 9 mai à 19:29, par jokemath

      On utilise la première équation pour éliminer z de la deuxième, donc 3/x+1/y=2/(3x+2y)
      D’où (9x+6y)/x+(3x+2y)/y=2, et en simplifiant, il vient 9+6y/x+3x/y+2=2
      On pose t=x/y et on simplifie par 3, alors 3+2t+1/t=0
      Soit t²+3t+2=0, en « réduisant » au même dénominateur,
      la factorisation donne (t+1)(t+2) = 0, donc t = - 1, ou - 2
      Pour t = - 1, on a x = - y et la 1ère équation donne z = - y
      Pour t = - 2, on a x = - 2y et la 1ère équation donne z = - 4y

      Et pour les deux cas, la valeur cherchée est 0

      Remarque, pour que la 2-ième équation existe, il faut que les réels x, y et z soient non nuls.

      Répondre à ce message
  • Mai 2016, 1er défi

    le 9 mai à 08:40, par ROUX

    Oups... Trois inconnues pour deux équations donc, ou cela vaut une infinité de valeurs car on trouvera un truc du genre k fois z (ou x ou y) au carré ou, comme l’a déjà démontré mesmaker, zéro.
    Comment fait-on ?
    La première équation élevée au carré indiquera à combien de x au carré, de y au carré et de xy est égal un z au carré. Il faut de débarrasser de ces xy.
    La suppression des dénominateurs de la seconde égalité donnera des xy égal à z facteur d’une somme de x et de y. Le z là-dedans sera remplacé par sa somme de x et y ce qui donnera des x au carré, des y au carré et des xy. En rassemblant les xy, on saura à combien de x au carré et de y au carré est égal un xy et cette égalité sera injectée dans la première équation élevée au carré. On n’aura plus que des x au carré et des y au carré et on aura donc le nombre de carrés de x et de y auquel est égal un z au carré.
    Si cette expression N’est PAS égale à 5 carrés de x moins 4 carrés de y alors nous pourrons... Ouille, elle a intérêt à y être égale !!!

    Répondre à ce message
    • Mai 2016, 1er défi

      le 9 mai à 19:16, par Daniate

      J’espère qu’un jour vous nous donnerez vos idées en vieux françois. A propos de votre finale, c’est le principe du défi d’avoir un petit miracle et en effet on retombe sur la bonne expression. Deux remarques, cependant : l’auteure nous informe que le résultat reste le même quel que soient les valeurs vérifiant les 2 premières équations donc l’exhibition de 1, -1, 1 est suffisante pour un logicien. Ensuite, manque de finesse, je me suis lancé dans une autre voie, multiplier les 2 égalités membre à membre ce qui donne après simplification 3+x/y+2*y/x=0. Il suffit de poser X=x/y et de multiplier par X pour avoir X²+3X+2=0 avec deux racine évidentes X=-1 et X=-2 donc deux familles de triplets (a, -a, a) et (2a, -a, 4a) qui toutes 2 annulent la 3ème expressions

      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM