Un défi par semaine

Mai 2016, 2e défi

Le 13 mai 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

Trouver tous les triplets de nombres premiers $(p, q,r)$ tels que

$15p+7p q+q r=p q r.$

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $0$.

Si on multiplie la deuxième équation par $xyz$, on obtient

$2xy=3yz+xz,$

donc $2xy-3yz-xz=0$.

D’autre part, si on multiplie la première équation par $x$, $y$ et $z$, on obtient respectivement :

$3x^2 = xz-2xy$

$2y^2 = yz-3xy$

$z^2 = 3xz+2yz.$

Par conséquent l’expression $5x^2 - 4y^2 - z^2$ est égale à

$\frac{5}{3} (xz-2xy) - 2(yz-3xy) - (3xz+2yz)=\frac{4}{3}(2xy - 3yz-xz)=0.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Mai 2016, 2e défi

    le 13 mai à 09:51, par mesmaker

    Je trouve les triplets (p, q, r) = (13, 3, 13), (11, 5, 11) et (2, 2, 29)

    Ma preuve est assez fastidieuse et je n’en suis même pas totalement sûr.
    Il semble que l’on puisse assez facilement prouver que p=q ou p=r.
    De là, il faut traiter les deux cas.
    Le cas p=r me fournit seulement (sûr à 80%) (13, 3, 13), (11, 5, 11)
    Le cas p=q me fournit seulement (sûr à 60%) (2, 2, 29)

    Y en a t’il d’autres ? et existe t’il une méthode simple et élégante pour le prouver ?

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    • Mai 2016, 2e défi

      le 13 mai à 10:50, par Daniate

      Fastidieuse certainement, rigoureuse, mais élégante surement pas. L’expression se décline en p(15+7q)=(p-1)qr donc p divise (p-1)qr. La primalité de p,q,r implique que soit p=q, soit p=r puisqu’il ne divise pas p-1.

      Si p=q alors l’égalité devient 15+7p=(p-1)r d’où r=(15+7p)/(p-1)=7+22/(p-1). r étant un entier p-1 divise 22 : soit p-1=1 alors (2,2,29) soit p-1=2 ou 11 ou 22 mais alors r n’est pas premier.

      Si p=q alors l’égalité devient 15+7q=(p-1)q d’où p=8+15/q. q est donc un diviseur de 15 : 1,3,5 ou 15 . 1 et 15 donne p non premier, 3 donne (13,3,13) et 5 donne (11,5,11).

      Il n’y a pas d’autres solutions à moins que mon raisonnement soit erroné.

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      • Mai 2016, 2e défi

        le 13 mai à 11:17, par mesmaker

        Merci de confirmer ma démonstration et même de l’améliorer.

        Dans le cas p=q, j’avais vu que r=(15+7p)/(p-1) décroissait vers 0 et donc que
        les r étaient plus petits que 29. Donc j’avais testé tous les nombres premiers
        plus petit que 29 pour voir si l’un deux étaient solutions de cette équation.
        Fastidieux. Pour le reste c’était la même idée.

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        • Mai 2016, 2e défi

          le 13 mai à 20:40, par Philippe N

          Je trouve 5 triplets solutions.

          Comme déjà écrit plus haut, nécessairement p=q ou p=r.

          1/Cas p=r
          En simplifiant par p, on trouve que q divise 15, donc q est égal à 3 ou 5.
          On obtient comme seules solutions les deux triplets (13,3,13) et (11,5,11).

          2/ Cas p=q.
          On obtient alors 15 +7q = r (q-1).
          Donc q-1 divise 15 +7q = 22 + 7(q-1), ce qui n’est possible que si q-1 divise 22, donc pour q=2, q=3 ou q=12.
          D’où comme seules solutions pour ce cas : (2, 2, 29), (3, 3, 18) et (12,12, 9).

          CQFD :-)

          Répondre à ce message
          • Mai 2016, 2e défi

            le 19 mai à 18:12, par ROUX

            Je me trompe très souvent ici...
            Je vous le chuchote : « ... premiers... p, q et r sont premiers... » ;)

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    • Mai 2016, 2e défi

      le 17 mai à 16:14, par Numéro 6

      On arrive effectivement à p=q ou p=r avec un critère de divisibilité.
      Ensuite, si p=q, on obtient 15p + 7p²+pr=p²r et comme on peut diviser par p, cela donne pr-7p-r=15
      On considère alors le membre de gauche comme le début d’un développement, et on trouve
      (p-1)(r-7)=22
      Le reste vient tout seul.

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